Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 30-10-2024 Lớp 12

Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 1 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác BCD. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

B. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

C. $\vec{C B} + \vec{C D} = 3 \vec{C G}$ .

D. $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 3 \vec{A G}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác BCD. Phát biểu nào sau đây là sai?

Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Vậy đáp án A đúng.

Do G là trọng tâm tam giác BCD, có $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ nên ta có:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{G A} + \vec{0} = \vec{G A}$ . Vậy đáp án B sai.

Có $\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C G} + \vec{G B} + \vec{C G} + \vec{G D}$ = $2 \vec{C G} + \vec{G B} + \vec{G D}$ = $2 \vec{C G} - \vec{G C}$ = $3 \vec{C G}$ . Vậy đáp án C đúng.

Có $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{A G} + \vec{G C} + \vec{A G} + \vec{G D}$

$= 3 \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D}$

= $3 \vec{A G}$ .

Vậy đáp án D đúng.

Bài 2 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B B'} = \vec{A C'}$ .

B. $\vec{A' B'} + \vec{A' D'} + \vec{A' A} = \vec{A C'}$ .

C. $\vec{A B} + \vec{B D} + \vec{A' A} = \vec{A C'}$ .

D. $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A' A} = \vec{A C'}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B B'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'}$ = $\vec{A C'}$ .

Bài 3 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ và số thực k, ta có: k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ .

B. Với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ và số thực k, ta có: k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = $\vec{a}$ k + $\vec{b}$ k.

C. Với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ và số thực k, ta có: ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ )k = $\vec{a}$ k + $\vec{b}$ k.

D. Với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ và số thực k, ta có: k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + $\vec{b}$ k.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ và số thực k, ta có: k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ .

Bài 4 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ $\vec{B D}$ , $\vec{B' C}$ bằng:

A. 30°.

B. 45°.

C. 120°.

D. 60°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ BD, vectơ B'C bằng

Ta có $(\vec{B D}, \vec{B' C}) = (\vec{B' D'}, \vec{B' C}) = \hat{C B' D'} .$

Ta chứng minh được tam giác CB'D' đều nên $\hat{C B' D'}$ = 60°.

Vậy $(\vec{B D}, \vec{B' C}) =$ 60°.

Bài 5 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ $\vec{A C}$ , $\vec{D A'}$ bằng:

A. 30°.

B. 45°.

C. 120°.

D. 60°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ AC, vectơ DA' bằng

Coi cạnh hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài là 1.

Ta có: $\vec{A C} . \vec{D A'}$ = − $\vec{C A} . \vec{D A'}$ = −| $\vec{C A}$ |.| $\vec{D A'}$ |.cos $(\vec{C A}, \vec{D A'})$

= − $\sqrt{2} . \sqrt{2} . \cos (\vec{C A}, \vec{C B'})$

= − $\sqrt{2} . \sqrt{2} . \cos 60 °$ = −1.

⇒ cos $(\vec{A C}, \vec{D A'})$ = Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ AC, vectơ DA' bằng = $\frac{- 1}{\sqrt{2} . \sqrt{2}}$ = $\frac{- 1}{2}$ .

Vậy $(\vec{A C}, \vec{D A'}) = 120 °$ .

Bài 6 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ tạo với nhau một góc 60° và | $\vec{a}$ | = 3 cm, | $\vec{b}$ | = 4 cm. Khi đó $\vec{a}$ . $\vec{b}$ bằng:

A. 12.

B. 6.

C. 6 $\sqrt{3}$ .

D. −6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = | $\vec{a}$ |.| $\vec{b}$ |.cos60° = 3.4. $\frac{1}{2}$ = 6.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 7 trang 61 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = $\sqrt{2}$ (Hình 9).

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = acăn2 (Hình 9)

a) Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SAB đều.
b) $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 0 và $(\vec{S A}, \vec{A B})$ = 120°.
c) $\vec{S C} . \vec{A B} = \frac{a^{2}}{2}$ .
d) $\cos (\vec{S C}, \vec{A B})$ = $\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Nhận thấy: AB² + AC² = a² + a² = 2a² = BC².

Định lý Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại A.

Có SA = SB = AB nên tam giác SAB đều.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 0.

Ta có $(\vec{S A}, \vec{A B})$ = 180° − $\hat{S A B}$ = 120°.

Ta có: $\vec{S C} . \vec{A B} = (\vec{S A} + \vec{A C}) . \vec{A B}$ = $\vec{S A} . \vec{A B} + \vec{A C} . \vec{A B}$ = $\vec{S A} . \vec{A B}$

= | $\vec{S A}$ |.| $\vec{A B}$ |.cos120^o = $\frac{- a^{2}}{2}$ .

Suy ra $\cos (\vec{S C}, \vec{A B})$ = Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = acăn2 (Hình 9) = $\frac{\frac{- a^{2}}{2}}{a^{2}}$ = $\frac{- 1}{2}$ .

Bài 8 trang 61 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a (Hình 10).

Cho hình chóp S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a (Hình 10)

a) Tứ giác ABCD là hình vuông.
b) Tam giác SAC vuông cân tại S.
c) $(\vec{S A}, \vec{A C})$ = 45°.
d) $\vec{S A} . \vec{A C}$ = −a².

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

Theo đề bài, hình chóp tứ giác có tất cả các cạnh bằng a nên S.ABCD là hình chóp tứ giác đều do đó đáy ABCD là hình vuông.

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC = BD = $a \sqrt{2}$ .

Tam giác SAC có SA = SC = a, AC = $a \sqrt{2}$ .

Áp dụng định lý Pythagore đảo có SA² + SC² = AC² do đó tam giác SAC vuông cân tại S, suy ra $\hat{S A C}$ = 45°.

Do đó, $(\vec{S A}, \vec{A C})$ = 180° − $\hat{S A C}$ = 180° − 45° = 135°.

$\vec{S A} . \vec{A C}$ = | $\vec{S A}$ |.| $\vec{A C}$ | = a. $a \sqrt{2}$ . $(\frac{- \sqrt{2}}{2})$ = −a².

Bài 9* trang 61 SBT Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn (Hình 11). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L (inch). Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}},$ $\vec{F_{3}}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu lực căng tối đa là 10 N.

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

Lời giải:

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

Gọi A₁, B₁, C₁ lần lượt là các điểm sao cho $\vec{O A_{1}} = \vec{F_{1}}$ , $\vec{O B_{1}} = \vec{F_{2}}$ , $\vec{O C_{1}} = \vec{F_{3}}$ . Khi đó, hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O A_{1}}$ cùng phương, do đó tồn tại số k ≠ 0 sao cho: $\vec{O A_{1}} = k \vec{O A}$ .

Tương tự, $\vec{O B_{1}} = k \vec{O B}$ , $\vec{O C_{1}} = k \vec{O C}$ .

Suy ra, F = | $\vec{F_{1}}$ | = k.| $\vec{O A}$ | = k. L. (1)

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{P}$ . Gọi I là tâm của chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác ABC là tam giác đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác.

Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác ABC, ta được:

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O I}$ ⇔ $\frac{1}{k} ({\vec{O A}}_{1} + \vec{O B_{1}} + \vec{O C_{1}}) = 3 \vec{O I}$ hay $\vec{P} = 3 k . \vec{O I}$ .

Theo giả thiết bài toán, trọng lượng của chiếc đèn là 24 (N) hay | $\vec{P}$ |, do đó OI = $\frac{8}{k}$ .

Mặt khác, xét hình chóp tam giác đều O.ABC, có OI vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Khi đó:

OI = $\sqrt{O A^{2} - A I^{2}}$ = $\sqrt{L^{2} - 18^{2}}$ = $\sqrt{L^{2} - 324}$ .

Suy ra, $\frac{8}{k}$ = $\sqrt{L^{2} - 324}$ hay k = $\frac{8}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ .

Thay k = $\frac{8}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ vào (1), ta được công thức hàm số F = $\frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ (N).

b) Khảo sát hàm số F = $\frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ , (L > 18).

$\lim_{L \to 18^{+}}$ F = +∞, do đó đường thẳng L = 18 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{L \to + \infty}$ F = 8, do đó đường thẳng F = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: F' = $\frac{- 2592}{(L^{2} - 324) . \sqrt{L^{2} - 324}}$ < 0, ∀L > 18.

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (18; +∞).

Ta có bảng biến thiên:

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

Đồ thị hàm số:

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

c) Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 10 N, ta có:

$\frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ = 10 ⇒ 8L = 10 $\sqrt{L^{2} - 324}$ ⇔ L = 30 (thỏa mãn điều kiện L > 18).

Dựa vào đồ thị hàm số ở câu b, ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 10 N là 30 inch.

Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

1. Khái niệm vecto trong không gian

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng

- Các khái niệm có liên quan đến vecto trong không gian như: giá của vecto, độ dài của vecto, vecto cùang phương, vecto cùng hướng, vecto-không, hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng

2. Các phép toán vecto trong không gian

a) Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Khi đó, vecto $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$

- Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (Quy tắc 3 điểm)

- Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (Quy tắc hình bình hành)

- Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ (Quy tắc hình hộp)

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Hiệu của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng của hai vecto $\vec{a}$ và vecto đối của $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$

Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$ (Quy tắc hiệu)

b) Tích của một số với một vecto trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực $k \neq 0$ với một vecto $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vecto, kí hiệu là $k \vec{a}$ , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k > 0; ngược hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k < 0

- Có độ dài bằng $| k | . | \vec{a} |$

c) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ . Khi đó, góc $\hat{A O B} (0^{\circ} \leq \hat{A O B} \leq 180^{\circ})$ được gọi là góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , được xác định bởi công thức