Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Hình nón chi tiết sách Toán 9 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Hình nón

Khởi động trang 98 Toán 9 Tập 2: Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường gặp một số vật thể có dạng hình nón, như ở Hình 16.

Hình nón có những đặc điểm gì?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Hình nón ở hình vẽ trên có:

⦁ Điểm A là đinh;

⦁ Hình tròn tâm O bán kính OC là mặt đáy;

⦁ Độ dài cạnh OC được gọi là bán kính đáy;

⦁ Độ dài cạnh AO được gọi là chiều cao;

⦁ Cạnh AC quét nên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của cạnh AC được gọi là một đường sinh.

I. Hình nón

Hoạt động 1 trang 98 Toán 9 Tập 2: Cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông AOC. Khi quay miếng bìa một vòng quanh đường thẳng cố định chứa cạnh AO (Hình 17a), miếng bìa đó tạo nên một hình như ở Hình 17b. Hình đó có dạng hình gì?

Lời giải:

Hình được tạo ra khi quay tam giác vuông AOC một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa cạnh góc vuông AO của nó là hình nón.

Hoạt động 2 trang 99 Toán 9 Tập 2: a) Cắt một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính 3 cm và tạo một đoạn dây mảnh không dãn có độ dài bằng chu vi của đường tròn bán kính 3 cm (Hình 19a).

b) Lấy một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính bằng 8 cm; đánh dấu điểm C trên mép ngoài của hình tròn đó; gắn một đầu của đoạn dây ở Hình 19a vào điểm C rồi cuốn đoạn dây xung quanh hình tròn và đánh dấu đầu mút cuối của sợi dây là điểm D trên mép ngoài của hình tròn; cắt ra từ miếng bìa tròn đó hình quạt tròn CAD (Hình 19b).

c) Ghép và dán các miếng bìa vừa cắt ở câu a, b (Hình 20a) để được một hình nón như ở Hình 20b.

Lời giải:

HS thực hiện theo hướng dẫn của GV và SGK để cắt ghép được hình nón.

Luyện tập 1 trang 100 Toán 9 Tập 2: Tạo lập một hình nón có bán kính đáy là 3 cm, chiều cao là 4 cm.

Lời giải:

Để tạo lập được một hình nón có bán kính đáy là 3 cm, chiều cao là 4 cm, ta làm như sau:

Bước 1. Cắt một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính 3 cm và tạo một đoạn dây mảnh không dãn có độ dài bằng chu vi của đường tròn bán kính 3 cm (Hình a).

Bước 2. Độ dài đường sinh là $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ (cm).}$ Lấy một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính bằng 5 cm; đánh dấu điểm C trên mép ngoài của hình tròn đó; gắn một đầu của đoạn dây ở Hình a vào điểm C rồi cuốn đoạn dây xung quanh hình tròn và đánh dấu đầu mút cuối của sợi dây là điểm D trên mép ngoài của hình tròn; cắt ra từ miếng bìa tròn đó hình quạt tròn CAD (Hình b).

Bước 3. Ghép và dán các miếng bìa vừa cắt ở Bước 1, Bước 2 (Hình c) để được một hình nón như ở Hình d.

II. Diện tích xung quanh hình nón

Hoạt động 3 trang 100 Toán 9 Tập 2: Thực hiện các hoạt động sau:

a) Chuẩn bị một hình nón bằng giấy có bán kính đáy là r, chiều cao là h và độ dài đường sinh là l (Hình 21a);

b) Từ hình nón đó, cắt rời đáy và cắt dọc theo đường sinh AC rồi trải phẳng ra, ta được hình khai triển mặt xung quanh của hình nón là một hình quạt tròn CAD tâm A với bán kính bằng độ dài đường sinh và độ dài cung CD bằng độ dài đường tròn đáy của hình nón (Hình 21b).

c) Tính diện tích hình quạt tròn CAD theo r và l.

Lời giải:

a) Chuẩn bị hình nón bằng giấy có bán kính đáy là r, chiều cao là h và độ dài đường sinh là l như ở Hình 21a (tạo lập như Luyện tập 1, trang 100, SGK Toán lớp 9, Tập hai)

b) Từ hình nón đó, cắt rời hai đáy và cắt dọc theo đường sinh AC rồi trải phẳng ra, ta được hình khai triển mặt xung quanh của hình nón là một hình quạt tròn CAD tâm A với bán kính bằng độ dài đường sinh và độ dài cung CD bằng độ dài đường tròn đáy của hình nón (Hình 21b).

c) Diện tích hình quạt tròn CAD là:

$S=\frac{2\pi r\cdot l}{2}=\pi rl$ (đơn vị diện tích).

Luyện tập 2 trang 101 Toán 9 Tập 2: Một chiếc nón lá có dạng hình nón với đường kính đáy khoảng 44 cm, chiều cao khoảng 20 cm. Hỏi diện tích xung quanh của chiếc nón đó bằng bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Bán kính đáy của chiếc nón lá có dạng hình nón là: 44 : 2 = 22 (cm).

Cấu tạo, kích thước của chiếc nón lá được mô phỏng như hình vẽ dưới đây:

Độ dài đường sinh của chiếc nón lá có dạng hình nón là:

$l=\sqrt{{20}^2+{22}^2}=\sqrt{884}=2\sqrt{221}\text{ (cm).}$

Diện tích xung quanh của chiếc nón lá là:

$S_{xq}=\pi \cdot 22\cdot 2\sqrt{221}=44\pi \sqrt{221}{\text{ (cm}}^2\text{)}\approx 2055{\text{ (cm}}^2\text{).}$

III. Thể tích của hình nón

Hoạt động 4 trang 101 Toán 9 Tập 2: Cho hai dụng cụ đựng nước: một dụng cụ có dạng hình nón và một dụng cụ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy của hai dụng cụ bằng nhau (Hình 22a).

Đổ đầy nước vào dụng cụ có dạng hình nón rồi đổ nước từ dụng cụ đó sang dụng cụ có dạng hình trụ (Hình 22b). Ta cứ làm như thế ba lần và quan sát thấy dụng cụ có dạng hình trụ vừa đầy nước. Từ đó, hãy cho biết thể tích của dụng cụ có dạng hình trụ gấp bao nhiêu lần thể tích của dụng cụ có dạng hình nón.

Lời giải:

Do đổ 3 lần nước từ dụng cụ hình nón sang dụng cụ hình trụ thì đầy nước nên thể tích của dụng cụ có dạng hình trụ gấp 3 lần thể tích của dụng cụ có dạng hình nón.

Bài tập

Bài 1 trang 102 Toán 9 Tập 2: Trong các hình 24a, 24b, 24c, hình nào có dạng hình nón (trong đó, O là tâm của mặt đáy, r là bán kính đáy, h là chiều cao)?

Lời giải:

Trong các hình trên, Hình 24a có dạng hình nón.

Bài 2 trang 103 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác cân ACD có O là trung điểm cạnh đáy CD. Xét hình nón được tạo ra khi quay tam giác vuông AOC một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa cạnh AO của tam giác vuông đó (Hình 25).

Quan sát Hình 25, hãy chỉ ra:

a) Đỉnh của hình nón;

b) Hai bán kính đáy của hình nón;

c) Chiều cao của hình nón;

d) Hai đường sinh của hình nón.

Lời giải:

a) Đỉnh của hình nón là đỉnh A.

b) Hai bán kính đáy của hình nón là OC và OD.

c) Chiều cao của hình nón là AO.

d) Hai đường sinh của hình nón là AC và AD.

Bài 3 trang 103 Toán 9 Tập 2: Phần mái lá của một ngôi nhà có dạng hình nón (không có đáy) với đường kính đáy khoảng 12 m và độ dài đường sinh khoảng 8,5 m (Hình 26). Chi phí để làm phần mái lá đó là 250 000 đồng/1 m² . Hỏi tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái lá đó là bao nhiêu đồng?

Lời giải:

Bán kính đáy của phần mái lá của một ngôi nhà có dạng hình nón là:

12 : 2 = 6 (m).

Diện tích xung quanh của phần mái lá có dạng hình nón đó là:

S_xq = π.6.8,5 = 51π (m²).

Tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà đó là:

51π . 250 000 = 12 750 000π (đồng) ≈ 40 055 000 (đồng).

Bài 4 trang 103 Toán 9 Tập 2: Chú hề trên sân khấu thường có trang phục như Hình 27a. Mũ của chú hề có dạng hình nón. Có thể mô phỏng cấu tạo, kích thước chiếc mũ của chú hề như Hình 27b.

a) Để phủ kín mặt ngoài chiếc mũ của chú hề như Hình 27b cần bao nhiêu centimét vuông giấy màu (không tính phần mép dán và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Hỏi thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề ở Hình 27b bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

a) Bán kính đáy của chiếc mũ có dạng hình nón đó là:

(26 – 3 – 3): 2 = 10 (cm).

Diện tích xung quanh phần hình nón của chiếc mũ là:

S_xq = π.10.30 = 300π (cm²).

Bán kính đáy của đường viền lớn bên ngoài của vành mũ là:

26 : 2 = 13 (cm).

Diện tích phần vành mũ (chính là diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính 13 cm và 10 cm) là:

S_vành = π.(13² – 10²) = 69π (cm²).

Để phủ kín mặt ngoài chiếc mũ của chú hề như Hình 27b cần số centimét vuông giấy màu (không tính phần mép dán) là:

S = S_xq + S_vành = 300π + 69π = 369π (cm²) ≈ 1 159 (cm²).

b) Chiều cao của chiếc mũ hình nón đó là:

$\sqrt{{30}^2-{10}^2}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}\text{ (cm).}$

Thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề ở Hình 27b bằng số centimét khối là:

$\frac{1}{3}\pi \cdot {10}^2\cdot 20\sqrt{2}=\frac{2000\pi \sqrt{2}}{3}{\text{ (cm}}^3\text{)}\approx 2961,92{\text{ (cm}}^3\text{).}$

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§1. Hình trụ

§2. Hình nón

§3. Hình cầu

Bài tập cuối chương 10

Chủ đề 3. Tạo đồ dùng dạng hình nón, hình trụ

Thực hành phần mền Geogebra

Lý thuyết Hình nón

1. Hình nón

1.1. Nhận biết hình nón

Cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông AOC. Khi quay miếng bìa một vòng quanh đường thẳng cố định chứa cạnh AO (Hình a), miếng bìa đó tạo nên một hình như ở Hình b.

Nhận xét: Hình được tạo ra khi quay một hình tam giác vuông một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa một cạnh góc vuông của tam giác đó là hình nón.

Với hình nón như ở hình vẽ trên, ta có:

⦁ Điểm A là đỉnh;

⦁ Hình tròn tâm O bán kính OC là mặt đáy;

⦁ Độ dài cạnh OC được gọi là bán kính đáy;

⦁ Độ dài cạnh AO được gọi là chiều cao;

⦁ Cạnh AC quét nên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của cạnh AC được gọi là một đường sinh.

Chú ý: Nếu gọi độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là l, h và r thì theo định lí Pythagore ta có: l² = h² + r².

Ví dụ 1. Một hình nón có đường sinh là 13 cm, bán kính đáy là 5 cm. Tính chiều cao của hình nón đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: h² = l² – r² = 13² – 5² = 144.

Suy ra h = 12 (cm).

Vậy chiều cao của hình nón là 12 cm.

Ví dụ 2. Quan sát hình nón ở hình bên và cho biết:

a) Đỉnh, bán kính đáy và chiều cao của hình nón.

b) Trên hình vẽ có các đường sinh nào? Cho biết độ dài đường sinh của hình nón.

Hướng dẫn giải

a) Hình nón đã cho có A là đỉnh, bán kính đáy là r = OC = 4 cm, chiều cao là h = AO = 6 cm.

b) Trên hình vẽ có các đường sinh AB, AC, AD.

Ta có: l² = h² + r² = 6² + 4² = 52.

Suy ra $l=2\sqrt{13}$ (cm).

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là $2\sqrt{13}$ cm.

1.2. Tạo lập hình nón

a) Cắt một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính 3 cm và tạo một đoạn dây mảnh không dãn có độ dài bằng chu vi của đường tròn bán kính 3 cm (Hình a).

b) Lấy một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính bằng 8 cm; đánh dấu điểm C trên mép ngoài của hình tròn đó; gắn một đầu của đoạn dây ở Hình a vào điểm C rồi cuốn đoạn dây xung quanh hình tròn và đánh dấu đầu mút cuối của sợi dây là điểm D trên mép ngoài của hình tròn; cắt ra từ miếng bìa tròn đó hình quạt tròn CAD (Hình b).

c) Ghép và dán các miếng bìa vừa cắt ở câu a, b (Hình c) để được một hình nón như ở Hình d.

Ví dụ 3. Tạo lập một hình nón có bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm.

Hướng dẫn giải

Để tạo lập được một hình nón có bán kính đáy là 6 cm, chiều cao là 8 cm, ta làm như sau:

Bước 1. Cắt một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính 6 cm và tạo một đoạn dây mảnh không dãn có độ dài bằng chu vi của đường tròn bán kính 6 cm (Hình a).

Bước 2. Độ dài đường sinh là $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\text{(cm).}$ Lấy một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính bằng 10 cm; đánh dấu điểm C trên mép ngoài của hình tròn đó; gắn một đầu của đoạn dây ở Hình a vào điểm C rồi cuốn đoạn dây xung quanh hình tròn và đánh dấu đầu mút cuối của sợi dây là điểm D trên mép ngoài của hình tròn; cắt ra từ miếng bìa tròn đó hình quạt tròn CAD (Hình b).

Bước 3. Ghép và dán các miếng bìa vừa cắt ở Bước 1, Bước 2 (Hình c) để được một hình nón như ở Hình d.

2. Diện tích xung quanh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh: $S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot C\cdot l=\pi rl,$trong đó S_xq là diện tích xung quanh, r là bán kính đáy, C là chu vi đáy, l là độ dài đường sinh của hình nón.

Chú ý: Tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của hình nón gọi là diện tích toàn phần của hình nón đó.

Diện tích toàn phần của hình nón được tính theo công thức:

S_tp = πrl + πr² = πr(l + r),

trong đó S_tp là diện tích toàn phần, r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh của hình nón.

Ví dụ 4. Một hình nón có bán kính đáy 2 cm, độ dài đường sinh là 7 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π.2.7 = 14π (cm²).

b) Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πr(l + r) = π.2.(7 + 2) = 18π (cm²).

3. Thể tích của hình nón

Thể tích của hình nón bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao: $V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,$trong đó V là thể tích, S là diện tích đáy, r là bán kính đáy, h là chiều cao của hình nón.

Ví dụ 5. Một hình nón có bán kính đáy là 4 dm, chiều cao là 12 dm. Tính thể tích của hình nón đó.

Hướng dẫn giải

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4^2\cdot 12=64\pi$(dm³).