Với lời giải SBT Toán 11 trang 70 Tập 2 chi tiết trong Bài tập ôn tập cuối năm sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 25 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Cho sinx = -$\frac{1}{3}$, x$\in$$\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ . Tính giá trị cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$.

Lời giải:

Có sin²x + cos²x = 1 nên ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+co{s}^{2}x=1$$\iff co{s}^{2}x=\frac{8}{9}$$\iff cosx=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Mà $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ nên cosx < 0. Do đó cosx = -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Lại có cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = cos2xcos$\frac{\pi }{3}$+sin2xsin$\frac{\pi }{3}$

= $\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x

= $\frac{1}{2}$(1-2sin²x) + $\sqrt{3}$sinxcosx

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2\right)+\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$.

Vậy $cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$.

Bài 26 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) sin3x = 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x);

b) $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}=\tan 2x$.

Lời giải:

a) Có sin(60° − x) sin(60° + x) = -$\frac{1}{2}$(cos120^o - cos(-2x))

= -$\frac{1}{2}$$\left(-\frac{1}{2}-cos2x\right)$ = $=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$cos2x.

Do đó 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x) = 4sinx$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x\right)$ = sinx + 2sinxcos2x

= sinx + sin3x + sin(−x) = sinx + sin3x – sinx = sin3x.

Vậy sin3x = 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x).

b) Vế phải = $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}$$=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)-\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)-\cos 2x}$

$=\frac{2\sin 2x\cos x-\sin 2x}{2\cos 2x\cos x-\cos 2x}$$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x-1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x-1\right)}$= tan2x = vế trái.

Vậy $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}$= tan2x.

Bài 27 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không. Tìm số hạng đầu tiên và công sai/công bội nếu có.

a) u_n = 5n – 7; b) u_n = 9.2ⁿ; c) u_n = n² – n + 1.

Lời giải:

a) + Có u_{n + 1} = 5(n + 1) – 7 = 5n – 2.

Xét u_{n + 1} – u_n = 5n – 2 – (5n – 7) = 5 với mọi n.

Do đó (u_n) là cấp số cộng với u₁ = −2 và d = 5.

+ Có u₁ = −2; u₂ = 3; u₃ = 8.

Vì $\frac{u_2}{u_1}=-\frac{3}{2}\ne \frac{8}{3}=\frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) không là cấp số nhân.

b) + Có u_{n + 1} = 9.2^{n + 1} = 18.2ⁿ.

Vì $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{18\cdot 2^n}{9\cdot 2^n}=2$ với mọi n nên (u_n) là cấp số nhân.

+ Có u₁ = 18; u₂ = 36; u₃ = 72.

Vì u₂ – u₁ = 36 – 18 = 18 ≠ u₃ – u₂ = 72 – 36 = 36 nên (u_n) không là cấp số cộng.

c) Có u₁ = 1; u₂ = 3; u₃ = 7.

Vì u₂ – u₁ = 3 – 1 ≠ u₃ – u₂ = 7 – 3 nên (u_n) không là cấp số cộng.

Vì $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{1}\ne \frac{7}{3}=\frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) không là cấp số nhân.

Bài 28 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Một công ty kĩ thuật đưa ra hai phương án về lương cho kĩ sư làm việc tại công ty như sau:

Phương án 1: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 64,5 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 10 triệu đồng mỗi quý.

Phương án 2: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 24 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 1,2 lần mỗi quý.

Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 5 năm làm việc cho công ty này theo mỗi phương án trên. Kĩ sư nên chọn phương án nhận lương nào?

Lời giải:

Ta có 5 năm là 20 quý.

Phương án 1: Ta thấy (u_n) là cấp số cộng với u₁ = 64,5 và d = 10.

Tổng số tiền lương kĩ sư nhận được sau 5 năm là:

$S_{20}=\frac{\left(u_1+u_{20}\right)20}{2}$$=\frac{\left(u_1+u_1+19d\right)20}{2}$$=\frac{\left(64,5\cdot 2+19\cdot 10\right)20}{2}$ = 3 190 (triệu đồng).

Phương án 2: Ta thấy (u_n) là cấp số nhân với u₁ = 24 và q = 1,2.

Tổng số tiền lương kĩ sư nhận được sau 5 năm là:

$S_{20}=\frac{u_1\left(1-q^{20}\right)}{1-q}$$=\frac{24\left(1-1,2^{20}\right)}{1-1,2}\approx$4 480,5 (triệu đồng).

Vậy kĩ sư nên chọn phương án nhận lương thứ 2.

Bài 29 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Giả sử u_n là số hạng thứ n của dãy số (u_n) và $u_n=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^n-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^n}{2^n\sqrt{5}}$.

a) Chứng tỏ rằng u₁ = 1, u₂ = 1 và u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n với mọi n $\in$ ℕ^*. Từ đó suy ra (u_n) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ đầu tiên.

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Lời giải:

a) Ta có a^{n + 2} – b^{n + 2} = a^{n + 1}.a − b^{n + 1}.b

= a^{n + 1}.a + a^{n + 1}.b − b^{n + 1}.b − b^{n + 1}.a − a^{n + 1}.b + b^{n + 1}.a

= a^{n + 1}.(a + b) − b^{n + 1}.(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ)

= (a^{n + 1} − b^{n + 1}).(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ) (*)

Có $u_1=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^1-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^1}{2^1\sqrt{5}}$$=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=1$.

$u_2=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2}{2^2\sqrt{5}}$$=\frac{4\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=1$.

Áp dụng (*), ta có:

$u_{n+2}=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^{n+2}-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^{n+2}}{2^{n+2}\sqrt{5}}$

$=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^{n+1}-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{5}}+\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^n-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^n}{2^n\sqrt{5}}$ = u_n+1 + u_n.

Vậy u_{n + 2} = u_n+1 + u_n. Do đó (u_n) là dãy Fibonacci.

b) Ta có bảng sau

Ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^{n+1}-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{5}}}{\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^n-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^n}{2^n\sqrt{5}}}$

Bài 30 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2-x-10}{x+2}$; b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x+1}-x}{2x+1}$;

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}\right)$; d) $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }\frac{2x}{x+5}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2-x-10}{x+2}$$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(2x-5\right)\left(x+2\right)}{x+2}$$=\underset{x\to -2}{\lim }$(2x-5) = -9.

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x+1}-x}{2x+1}$=

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-x}{2x+1}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}{2+\frac{1}{x}}$$=-\frac{3}{2}$.

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}\right)$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2-2}{{\left(x-2\right)}^2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-4}{{\left(x-2\right)}^2}=-\infty$.

(do $\underset{x\to 2}{\lim }$(x-4) = -2 < 0 và $\underset{x\to 2}{\lim }$(x-2)² = 0, (x-2)²>0, $\forall x\ne$2).

d) $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }\frac{2x}{x+5}=+\infty$ (do $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }$(2x) = -10 < 0 và $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }$(x+5) = 0, x + 5 < 0, ∀x < −5).