Với giải Bài 20 trang 69 SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập ôn tập cuối năm giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài tập ôn tập cuối năm 

Bài 20 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD), tam giác SAB đều, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{a\sqrt{30}}{5}$ .

B. $\frac{a\sqrt{30}}{10}$ .

C. $\frac{a\sqrt{6}}{10}$ .

D. $\frac{a\sqrt{6}}{5}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: E. $\frac{a\sqrt{21}}{14}$ .

Vì tam giác SAB đều, H là trung điểm của AB nên SH là đường cao hay SH $\perp$ AB.

Do (SAB) $\perp$ (ABCD); (SAB) $\cap$ (ABCD) = AB mà SH $\perp$ AB nên SH $\perp$ (ABCD), suy ra SH $\perp$ AC.

Gọi N là trung điểm của AD.

Xét tam giác ABD có H là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD nên HN là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra HN // BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD mà HN // BD nên HN $\perp$ AC.

Vì HN $\perp$ AC và SH $\perp$ AC nên AC $\perp$ (SHN), suy ra (SAC) $\perp$ (SHN).

Gọi AC $\cap$ HN = I, kẻ HK $\perp$ SI tại K.

Vì (SAC) $\perp$ (SHN), (SAC) $\cap$ (SHN) = SI mà HK $\perp$ SI nên HK $\perp$ (SAC).

Do đó d(H, (SAC)) = HK.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của BD.

Xét tam giác ABD vuông tại A, có $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của BD nên BO = $\frac{BD}{2}$= $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác ABO có H là trung điểm của AB, HI // BO (do HN //BD) nên I là trung điểm của AO.

Vì I là trung điểm của AO, H là trung điểm của AB nên HI là đường trung bình của tam giác ABO, suy ra $HI=\frac{BO}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$ .

Vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a, SH là đường cao nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì SH $\perp$ (ABCD) nên SH $\perp$ HI hay tam giác SHI vuông tại H.

Xét tam giác SHI vuông tại H, HK là đường cao, có:

$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{I}^2}$$=\frac{4}{3a^2}+\frac{16}{2a^2}$$=\frac{28}{3a^2}$$\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{21}}{14}$.

Vậy d(H, (SAC)) = $\frac{a\sqrt{21}}{14}$ .