Sách bài tập Toán 11 Bài 31 (Kết nối tri thức): Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1.8 K

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Giải SBT Toán 11 trang 57

Bài 9.1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số y = 2x2 + 3x – 1 tại điểm x0 = 1.

Lời giải:

Tại điểm x0 = 1 ta có y0 = 2×12 + 3×1 – 1 = 4.

Với x ≠ 1, ta có y4x1=2x2+3x14x1=2x2+3x5x1

=2x+5x1x1=2x+5 .

Do đó y'(1) = limx1y4x1=limx1(2x+5) = 7. Vậy y'(1) = 7.

Bài 9.2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x(2x – 1)2. Tính f'(0) và f'(1).

Lời giải:

+ Có f'(0) = limx0fxf0x0=limx0x2x12x=limx0(2x-1)2 = 1.

Vậy f'(0) = 1.

+ Có f'(1) = limx1fxf1x1=limx1x2x121x1

=limx1x12x12+2x121x1

=limx1x12x12+2x112x1+1x1

=limx1x12x12+4xx1x1

Cho hàm số f(x) = x(2x – 1)^2. Tính f'(0) và f'(1)

Vậy f'(1) = 5.

Bài 9.3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = Cho hàm số f(x) = (x-1)^2 khi x lớn hơn hoặc bằng 0 . Tính f'(0).

Lời giải:

Ta có f(0) = (0 – 1)2 = 1.

Ta có limx0+fxf0x0=limx0+x121x=limx0+x22xx=limx0+(x-2) = -2 ;

limx0fxf0x0=limx012x1x=limx02xx=2.

Suy ra limx0fxf0x0=limx0+fxf0x0=limx0fxf0x0=2 .

Vậy f'(0) = −2.

Bài 9.4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số:

a) y = ax2 (a là hằng số) tại điểm x0 bất kì.

b) y=1x1 tại điểm x0 bất kì, x0 ≠ 1.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = ax2.

Ta có y'(x0) = limxx0fxfx0xx0=limxx0ax2ax02xx0

=limxx0ax2x02xx0=limxx0axx0x+x0xx0

Tính đạo hàm của hàm số y = ax^2 (a là hằng số)

Vậy y'(x0) = 2ax0.

b) Đặt y = f(x) = 1x-1.

Ta có y'(x0) = limxx0fxfx0xx0=limxx01x11x01xx0

=limxx0x01x1x1x01xx0=limxx0x0xx1x01xx0

=limxx01x1x01=1x012.

Vậy y'x0=1x012 , x0 ≠ 1.

Bài 9.5 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 + 1, biết hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M bằng 3.

Lời giải:

Giả sử M(a; a3 + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x3 + 1.

Đặt y = f(x) = x3 + 1. Có y'(a) = limxafxfaxa

=limxax3+1a3+1xa=limxax3a3xa

=limxaxax2+ax+a2xa

=limxax2+ax+a2=3a2.

Theo đề bài, ta có y'(a) = 3 nên 3a2 = 3 a = 1 hoặc a = −1.

Với a = 1 thì M(1; 2);

Với a = −1 thì M(−1; 0).

Vậy M(1; 2) và M(−1; 0) là tọa độ điểm cần tìm.

Bài 9.6 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −3x2, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5.

Lời giải:

Đặt y = f(x) = −3x2. Với x0 bất kì, ta có:

y'(x0) = limxx0fxfx0xx0=limxx03x2+3x02xx0

=limxx03x2x02xx0=limxx03xx0x+x0xx0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −3x^2

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến có dạng k = y'(x0) = −6x0 (x = x0 là hoành độ tiếp điểm).

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6. Do đó −6x0 = 6 x0 = −1.

Với x0 = −1 thì y(−1) = −3.

Khi đó, ta có phương trình tiếp tuyến là: y + 3 = 6(x + 1) hay y = 6x + 3.

Vậy y = 6x + 3 là phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Bài 9.7 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình s = t3 – 4t2 + 4t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 3 giây và t = 5 giây.

Lời giải:

Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t0 bất kì là

v(t0) = s'(t0) = limtt0stst0tt0

=limtt0t34t2+4tt034t02+4t0tt0

=limtt0t3t034t2t02+4tt0tt0

=limtt0tt0t2+tt0+t024tt0t+t0+4tt0tt0

Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình s = t^3 – 4t^2 + 4t

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3×32 − 8×3 + 4 = 7 m/s.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là v(5) = 3×52 − 8×5 + 4 = 39 m/s.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Bài tập ôn tập cuối năm

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0(a;b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

 

limxx0f(x)f(x0)xx0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f(x0) hoặc y(x0).

- Cách viết khác của định nghĩa:

f(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h.

- Quy tắc tính đọa hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:

Bước 1: Tính f(x)f(x0).

Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số f(x)f(x0)xx0 với x(a;b),xx0.

Bước 3: Tìm giới hạn limxx0f(x)f(x0)xx0.

2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0;f(x0)) là k=f(x0) nếu đạo hàm f(x0) tồn tại.

- Phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0;y0)y0=f(x0) là:

yy0=f(x0)(xx0).

4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t là v(t) = s’(t).

Đánh giá

0

0 đánh giá