Giải SBT Toán 11 trang 69 Tập 2 Kết nối tri thức

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 15-12-2023 Lớp 11

114

Với lời giải SBT Toán 11 trang 69 Tập 2 chi tiết trong Bài tập ôn tập cuối năm sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 18 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng c. Gọi a là đường thẳng nằm trên (P) và vuông góc với đường thẳng c, b là đường thẳng nằm trên (Q) tạo với đường thẳng c một góc 60°. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng

A. 60°.

B. 90°.

C. 150°.

D. 30°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Có Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau $\Rightarrow$ a $⊥$ (Q) mà b $\subset$ (Q) nên a $⊥$ b hay (a, b) = 90°.

Bài 19 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng

A. 90°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 45°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên các mặt là hình vuông.

Có AA' // CC' và AA' = CC' (vì chúng cùng song song và bằng BB') nên ACC'A' là hình bình hành, suy ra AC // A'C'.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng góc giữa hai đường thẳng A'C' và BC', mà (A'C', BC') = $\hat{B C^{'} A^{'}}$ .

Xét tam giác BB'C' vuông tại B', có $B C^{'} = \sqrt{B {B^{'}}^{2} + B^{'} {C^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B', có $A^{'} C^{'} = \sqrt{A^{'} {B^{'}}^{2} + B^{'} {C^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác BB'A' vuông tại B', có $B A^{'} = \sqrt{B {B^{'}}^{2} + B^{'} {A^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'BC' có A'B = BC' = A'C' = a $\sqrt{2}$ nên tam giác A'BC' đều, suy ra $\hat{B C^{'} A^{'}} = 60 °$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng 60°.

Bài 20 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD), tam giác SAB đều, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{a \sqrt{30}}{5}$ .

B. $\frac{a \sqrt{30}}{10}$ .

C. $\frac{a \sqrt{6}}{10}$ .

D. $\frac{a \sqrt{6}}{5}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: E. $\frac{a \sqrt{21}}{14}$ .

Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy

Vì tam giác SAB đều, H là trung điểm của AB nên SH là đường cao hay SH $⊥$ AB.

Do (SAB) $⊥$ (ABCD); (SAB) $\cap$ (ABCD) = AB mà SH $⊥$ AB nên SH $⊥$ (ABCD), suy ra SH $⊥$ AC.

Gọi N là trung điểm của AD.

Xét tam giác ABD có H là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD nên HN là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra HN // BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD mà HN // BD nên HN $⊥$ AC.

Vì HN $⊥$ AC và SH $⊥$ AC nên AC $⊥$ (SHN), suy ra (SAC) $⊥$ (SHN).

Gọi AC $\cap$ HN = I, kẻ HK $⊥$ SI tại K.

Vì (SAC) $⊥$ (SHN), (SAC) $\cap$ (SHN) = SI mà HK $⊥$ SI nên HK $⊥$ (SAC).

Do đó d(H, (SAC)) = HK.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của BD.

Xét tam giác ABD vuông tại A, có $B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của BD nên BO = $\frac{B D}{2}$ = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác ABO có H là trung điểm của AB, HI // BO (do HN //BD) nên I là trung điểm của AO.

Vì I là trung điểm của AO, H là trung điểm của AB nên HI là đường trung bình của tam giác ABO, suy ra $H I = \frac{B O}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a, SH là đường cao nên $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì SH $⊥$ (ABCD) nên SH $⊥$ HI hay tam giác SHI vuông tại H.

Xét tam giác SHI vuông tại H, HK là đường cao, có:

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H I^{2}}$ $= \frac{4}{3 a^{2}} + \frac{16}{2 a^{2}}$ $= \frac{28}{3 a^{2}}$ $\Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{21}}{14}$ .

Vậy d(H, (SAC)) = $\frac{a \sqrt{21}}{14}$ .

Bài 21 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA bằng a $\sqrt{2}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là

A. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

C. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

Gọi O là giao điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $⊥$ (ABCD), suy ra SO $⊥$ BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD.

Vì SO $⊥$ BD và AC $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SAC).

Kẻ OE $⊥$ SC tại E. Vì BD $⊥$ (SAC) nên BD $⊥$ OE. Do đó d(BD, SC) = OE.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra AO = OC = $\frac{A C}{2}$ = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ AC.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = $\sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Xét tam giác SOC vuông tại O, có $\frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} = \frac{4}{6 a^{2}} + \frac{4}{2 a^{2}} = \frac{8}{3 a^{2}}$

$\Rightarrow O E = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Vậy d(BD, SC) = $\frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Bài 22 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều cạnh bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều

Gọi O là tâm của tam giác A'B'C'.

Do AA'B'C' là hình tứ diện đều nên O là trọng tâm đồng thời là trực tâm của tam giác A'B'C' và AO $⊥$ (A'B'C').

Gọi A'O $\cap$ B'C' = H, suy ra A'H $⊥$ B'C'.

Xét tam giác A'B'C' đều cạnh a, A'H là đường cao nên A'H = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ , $S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vì A'O = $\frac{2}{3}$ A'H nên A'O = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Vì AO $⊥$ (A'B'C') nên AO $⊥$ A'O hay tam giác AA'O vuông tại O.

Xét tam giác AA'O vuông tại O, có AO = $\sqrt{A A' - A^{'} O^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Khi đó $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A^{'} B^{'} C^{'}} \cdot A O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

Bài 23 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = a, AA' = a $\sqrt{2}$ . Thể tích khối tứ diện ACB'D' bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$ .

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = a

Ta có V_ACB'D' = V_{ABCD.A'B'C'D'} – V_A.A'B'D' – V_B'.ABC – V_C.C'D'B' – V_D'.DAC.

Vì hình chữ nhật ABCD có AB = AD = a nên ABCD là hình vuông.

Do đó ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông.

Do A'B'C'D' là hình vuông nên S_A'B'D' = S_B'C'D' = $\frac{1}{2} S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ .

Do ABCD là hình vuông nên S_ABC = S_ADC = $\frac{1}{2} S_{A B C D}$ .

Có V_A.A'B'D' $= \frac{1}{3} A^{'} A \cdot S_{A^{'} B^{'} D^{'}}$ $= \frac{1}{3} A^{'} A \cdot \frac{1}{2} S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ $= \frac{1}{6} A^{'} A \cdot S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ $= \frac{1}{6} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ .

V_B'.ABC $= \frac{1}{3} B B^{'} \cdot S_{A B C}$ $= \frac{1}{3} B B^{'} \cdot \frac{1}{2} S_{A B C D}$ $= \frac{1}{6} B B^{'} \cdot S_{A B C D}$ $= \frac{1}{6} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ .

V_C.C'D'B' $= \frac{1}{3} C C^{'} \cdot S_{B^{'} C^{'} D^{'}}$ $= \frac{1}{3} C C^{'} \cdot \frac{1}{2} S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ $= \frac{1}{6} C C^{'} \cdot S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ $= \frac{1}{6} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ .

V_{D'.DAC $= \frac{1}{3} \cdot S_{A D C}$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{A B C D}$ $= \frac{1}{6} \cdot S_{A B C D}$ $= \frac{1}{6} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$} .

V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.AB.AD = a $\sqrt{2}$ .a.a = a^{3 $\sqrt{2}$}.

Khi đó:

V_ACB'D' = V_{ABCD.A'B'C'D'} – V_A.A'B'D' – V_B'.ABC – V_C.C'D'B' – V_D'.DAC $= \frac{1}{3} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ $= \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .