HĐ Khám phá 2 trang 122 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

1.8 K

Với giải HĐ Khám phá 2 trang 122 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Các đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

HĐ Khám phá 2 trang 122 Toán lớp 10: Hai cung thủ A và B đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:

Cung thủ A	8	9	10	7	6	10	6	7	9	8
Cung thủ B	10	6	8	7	9	9	8	7	8	8

a) Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên

b) Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?

Lời giải:

a) Kết quả trung bình của Cung thủ A là:

$\frac{8 + 9 + 10 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 9 + 8}{10} = 8$

Kết quả trung bình của Cung thủ A là:

$\frac{10 + 6 + 8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8}{10} = 8$

+) Khoảng biến thiên số điểm của cung thủ A là: $R = 10 - 6 = 4$

Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:

$\begin{matrix} 6 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 \end{matrix}$

Cỡ mẫu là $n = 10$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_{2} = 8.$

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $6, 6, 7, 7, 8$ . Do đó $Q_{1} = 7.$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $8, 9, 9, 10, 10$ . Do đó $Q_{3} = 9$

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $Δ_{Q} = 9 - 7 = 2$

+) Khoảng biến thiên số điểm của cung thủ A là: $R = 10 - 6 = 4$

Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:

$\begin{matrix} 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 \end{matrix}$

Cỡ mẫu là $n = 10$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_{2} = 8.$

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $6, 6, 7, 7, 8$ . Do đó $Q_{1} = 7.$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $8, 9, 9, 10, 10$ . Do đó $Q_{3} = 9$

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $Δ_{Q} = 9 - 7 = 2$

=> Nếu so sánh khoảng chênh lệch và khoảng tứ phân vị thì không xác định được kết quả của cung thủ nào ổn định hơn.

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn

2.1. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

* Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

• Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức: $S^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}],$

trong đó $\bar{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

• Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:

$S^{2} = \frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2}) - {\bar{x}}^{2}$ .

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

${\hat{s}}^{2} = \frac{1}{n - 1} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ .

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Giá trị	x₁	x₂	…	x_k
Tần số	n₁	n₂	…	n_k

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

$S^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + n_{k} {(x_{k} - \bar{x})}^{2}],$

trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k.

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành

$S^{2} = \frac{1}{n} (n_{1} x_{1}^{2} + n_{2} x_{2}^{2} + ... + n_{k} x_{k}^{2}) - \bar{x}$ .

Ví dụ: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu sau:

8; 10; 9; 7; 6; 10; 6; 7; 8; 9.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 10.

Số trung bình: (8 + 10 + 9 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 8 + 9) : 10 = 8.

Phương sai mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{10}$ (8² + 10² + 9² + 7² + 6² + 10² + 6² + 7² + 8² + 9²) – 8² = 2.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là S = $\sqrt{S^{2}} = \sqrt{2} \approx 1, 41$ .

Ví dụ: Điều tra số con của mỗi hộ gia đình trong tổ dân cư xóm 2, kết quả được ghi lại ở bảng sau:

Số con	0	1	2	3	4
Số hộ gia đình	4	4	8	3	1

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Tổng số hộ gia đình là: n = 4 + 4 + 8 + 3 + 1 = 20 (hộ gia đình).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là

$\bar{x} = \frac{1}{20}$ (4 . 0 + 4 . 1 + 8 . 2 + 3 . 3 + 1 . 4) = 1,65

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

S² = (4 . 0² + 4 . 1² + 8 . 2² + 3 . 3² + 1 . 4²) – 1,65² = 1,2275

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{1, 2275} \approx 1, 11$ .

2.2. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

Ví dụ: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Hướng dẫn giải

* Tỉnh Tuyên Quang:

+ Số trung bình:

$\bar{x_{1}} = \frac{25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145}{12} \approx 131, 67$ .

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là: $S_{1}^{2} = \frac{1}{12} (25^{2} + 89^{2} + 72^{2} + 117^{2} + 106^{2} + 177^{2} + 156^{2} + 203^{2} + 227^{2} + 146^{2} + 117^{2} + 145^{2})$ ≈ 2920,34.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là:

S₁ = $\sqrt{S_{1}^{2}} = \sqrt{2920, 34} \approx 54, 04$ .

* Tỉnh Cà Mau:

+ Số trung bình:

$\bar{x_{2}} = \frac{180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173}{12} = 172$ .

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

$S_{2}^{2} = \frac{1}{12}$ (180² + 223² + 257² + 245² + 191² + 111² + 141² + 134² + 130² + 122² + 157² + 173²) – 172² = 2183.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

S₂ = $\sqrt{S_{2}^{2}} = \sqrt{2183} \approx 46, 72$ .

b) Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang cao hơn tỉnh Cà Mau nên tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng ở tỉnh Tuyên Quang có độ phân tán cao hơn ở tỉnh Cà Mau. Do đó, sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở tỉnh Cà Mau ổn định (có ít sự thay đổi) hơn so với tỉnh Tuyên Quang.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

HĐ Khởi động trang 120 Toán lớp 10: Nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu và Lâm Đồng (đơn vị: độ C)...

HĐ Khám phá 1 trang 120 Toán lớp 10: Thời gian hoàn thành bài chạy 5 km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:...

Thực hành 1 trang 121 Toán lớp 10: Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:...

Vận dụng 1 trang 121 Toán lớp 10: Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học)...

Thực hành 2 trang 122 Toán lớp 10: Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10...

Vận dụng 2 trang 124 Toán lớp 10: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau...

Bài 1 trang 124 Toán lớp 10: Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi đo chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn nam hay các bạn nữ đồng đều hơn...

Bài 2 trang 124 Toán lớp 10: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:...

Bài 3 trang 125 Toán lớp 10: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:...

Bài 4 trang 125 Toán lớp 10: Hãy so sánh số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của ba mẫu số liệu sau:...

Bài 5 trang 125 Toán lớp 10: Sản lượng lúa các năm từ 2014 đến 2018 của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị: nghìn tấn)...