Bài 2 trang 124 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

12.4 K

Với giải Bài 2 trang 124 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Các đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài 2 trang 124 Toán lớp 10: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:

a) 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.

b) 13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23.

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} .$

+) số trung bình $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$

+) phương sai $S^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + . . . + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ hoặc $S^{2} = \frac{1}{n} ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + . . . + {x_{n}}^{2}) - {\bar{x}}^{2}$

=> Độ lệch chuẩn $S = \sqrt{S^{2}}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$

+) Khoảng biến thiên: $R = X_{n} - X_{1}$

Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$

Bước 2: $Q_{2} = M_{e} = {\begin{cases} X_{k + 1} (n = 2 k + 1) \\ \frac{1}{2} (X_{k} + X_{k + 1}) (n = 2 k) \end{cases}$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

+) Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x > Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}$ hoặc $x < Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}$

Lời giải:

a) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4}{9} = 5$ .

Phương sai mẫu số liệu là:

$S^{2} = \frac{1}{9}$ (62 + 82 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 22 + 42) – 52 = .

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: $S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$ .

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 8 – 2 = 6.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 4; 4. Do đó Q1 = 3,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 8. Do đó Q3 = 6,5.

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆Q = 6,5 – 3,5 = 3.

Ta có: Q3 + 1,5∆Q = 6,5 + 1,5 . 3 = 11 và Q1 – 1,5∆Q = 3,5 – 1,5 . 3 = – 1.

Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.

Số trung bình: $\bar{x} = \frac{13 + 37 + 64 + 12 + 26 + 43 + 29 + 23}{8} = 30, 875$ .

Phương sai mẫu số liệu là: $S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{255, 86} \approx 16$

$S^{2} = \frac{1}{8}$ (132 + 372 + 642 + 122 + 262 + 432 + 292 + 232) – (30,875)2 ≈ 255,86.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: .

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 64 – 12 = 52.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = $\frac{1}{2} (26 + 29) = 27, 5$ .

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 12; 13; 23; 26. Do đó Q1 = 18.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 29; 37; 43; 64. Do đó Q3 = 40.

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆Q = 40 – 18 = 22.

Ta có: Q3 + 1,5∆Q = 40 + 1,5 . 22 = 73 và Q1 – 1,5∆Q = 18 – 1,5 . 22 = – 15.

Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ (nếu có) của mẫu số liệu sau: 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.

Hướng dẫn giải

Số trung bình: $\bar{x} = \frac{6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4}{9} = 5$ .

Phương sai mẫu số liệu là:

$S^{2} = \frac{1}{9}$ (6² + 8² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 2² + 4²) – 5² = $\frac{10}{3}$ .

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: $S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$ .

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 8 – 2 = 6.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 4; 4. Do đó Q₁ = 3,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 8. Do đó Q₃ = 6,5.

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 6,5 – 3,5 = 3.

Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 6,5 + 1,5 . 3 = 11 và Q₁ – 1,5∆_Q = 3,5 – 1,5 . 3 = – 1.

Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.

Bài 2. Hai lớp 10A, 10B của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Toán theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây:

Điểm thi Toán của lớp 10A

Điểm thi	5	6	7	8	9	10	Cộng
Tần số	3	7	12	14	3	1	40

Điểm thi Toán của lớp 10B

Điểm thi	6	7	8	9	Cộng
Tần số	8	18	10	4	40

a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu đã cho.

b) Xét xem kết quả làm bài thi môn Toán ở lớp nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

* Lớp 10A:

Số trung bình: $\bar{x_{A}} = \frac{1}{40}$ (3 . 5 + 7 . 6 + 12 . 7 + 14 . 8 + 3 . 9 + 1 . 10) = 7,25.

Phương sai mẫu số liệu:

$S_{A}^{2} = \frac{1}{40}$ (3 . 5² + 7 . 6² + 12 . 7² + 14 . 8² + 3 . 9² + 1 . 10²) – 7,25² = 1,2875.

Độ lệch chuẩn: S_A = $\sqrt{S_{A}^{2}} = \sqrt{1, 2875} \approx 1, 135$ .

* Lớp 10B:

Số trung bình: $\bar{x_{B}} = \frac{1}{40}$ (8 . 6 + 18 . 7 + 10 . 8 + 4 . 9) = 7,25.

Phương sai mẫu số liệu:

$S_{B}^{2} = \frac{1}{40}$ (8 . 6² + 18 . 7² + 10 . 8² + 4 . 9²) – 7,25² = 0,7875.

Độ lệch chuẩn: S_B = $\sqrt{S_{B}^{2}} = \sqrt{0, 7875} \approx 0, 887$ .

b) Vì 0,887 < 1,135 nên S_B< S_A hay độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 10B nhỏ hơn lớp 10A.

Vậy kết quả làm bài thi của học sinh lớp 10B đồng đều hơn.

Bài 3. Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Hướng dẫn giải

* Nhà máy A:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng: $\bar{x_{A}} = \frac{4 + 5 + 5 + 47 + 5 + 6 + 4 + 4}{8} = 10$ .

+ Giá trị 4 và 5 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy A là 4 và 5.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q_2A = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 4; 4; 4; 5. Do đó Q_1A = 4.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 6; 47. Do đó Q_3A = 5,5.

+ Phương sai mẫu:

$S_{A}^{2} = \frac{1}{8}$ (4² + 5² + 5² + 47² + 5² + 6² + 4² + 4²) – 10² = 196.

+ Độ lệch chuẩn: S_A = $\sqrt{S_{A}^{2}} = \sqrt{196} = 14$ .

* Nhà máy B:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng: $\bar{x_{B}} = \frac{2 + 9 + 9 + 8 + 10 + 9 + 9 + 11 + 9}{9} \approx 8, 4$ .

+ Giá trị 9 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy B là 9.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2B = 9.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 8; 9; 9. Do đó Q_1B = 8,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 9; 10; 11. Do đó Q_3B = 9,5.

+ Phương sai mẫu:

$S_{B}^{2} = \frac{1}{9}$ (2² + 8² + 9² + 9² + 9² + 9² + 9² + 10² + 11²) – 8,4² = 6,55.

+ Độ lệch chuẩn: S_B = $\sqrt{S_{B}^{2}} = \sqrt{6, 55} \approx 2, 6$ .

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy A là: ∆_QA = 5,5 – 4 = 1,5.

Ta có: Q_3A + 1,5∆_QA = 5,5 + 1,5 . 1,5 = 7,75 và Q_1A – 1,5∆_QA = 4 – 1,5 . 1,5 = 1,75.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy A là 47.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy B là: ∆_QB = 9,5 – 8,5 = 1.

Ta có: Q_3B + 1,5∆_QB = 9,5 + 1,5 . 1 = 11 và Q_1B – 1,5∆_QB = 8,5 – 1,5 . 1 = 7.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy B là 2.

+ Quan sát các số liệu tính được ở câu a), ta thấy

- Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân ở nhà máy A cao hơn nhà máy B.

- Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở nhà máy A cao hơn nhà máy B nên mức lương hằng tháng của công nhân nhà máy A có độ phân tán cao hơn nhà máy B, do đó mức lương của công nhân nhà máy B ổn định hơn nhà máy A.

- Mức lương xuất hiện nhiều nhất trong mẫu A là 4 và 5 triệu đồng, nhà máy B là 9 triệu đồng.

Do đó, ta có thể khẳng định công nhân nhà máy A có mức lương cao hơn (đều và ổn định hơn).

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

HĐ Khởi động trang 120 Toán lớp 10: Nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu và Lâm Đồng (đơn vị: độ C)...

HĐ Khám phá 1 trang 120 Toán lớp 10: Thời gian hoàn thành bài chạy 5 km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:...

Thực hành 1 trang 121 Toán lớp 10: Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:...

Vận dụng 1 trang 121 Toán lớp 10: Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học)...

Thực hành 2 trang 122 Toán lớp 10: Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10...

HĐ Khám phá 2 trang 122 Toán lớp 10: Hai cung thủ A và B đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:...

Vận dụng 2 trang 124 Toán lớp 10: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau...

Bài 1 trang 124 Toán lớp 10: Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi đo chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn nam hay các bạn nữ đồng đều hơn...

Bài 3 trang 125 Toán lớp 10: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:...