Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – bản 1, tài liệu bao gồm 99 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – bản 1

Chương III : Véctơ trong không gian

Quan hệ vuông góc trong không gian

§1. Vectơ trong không gian và sự đồng phẳng của các vectơ

I. Các định nghĩa

A. Kiến thức cần nấm

1. Vecto', giá và độ dài của vecto'

- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \(\overrightarrow {AB} \), chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vectơ còn được kí hiệu là \(\vec a,\vec b,\vec x,\vec y, \ldots \)

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại hai vectơ có giá cắt nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng.

- Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Kí hiệu \(|\overrightarrow {AB} |\). Như vậy \(|\overrightarrow {AB} | = AB\)

2. Hai vecto bằng nhau, vecto không

- Hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Kí hiệu \(\vec a = \vec b\)

- Vectơ không là một vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau; cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Kí hiệu \(\vec 0 = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow {BB}  =  \ldots \)

II. Phép cộng và phép trừ vecto

1. Định nghĩa

- Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, vẽ \(\overrightarrow {AB}  = \vec a,\overrightarrow {BC}  = \vec b\). Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), kí hiệu \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \vec a + \vec b\)

- Vectơ \(\vec b\) là vectơ đối của \(\vec a\) nếu \(|\vec a| = |\vec b|\) và \(\vec a,\vec b\) ngược hướng với nhau, kí hiệu \(\vec b =  - \vec a\)

- \(\vec a - \vec b = \vec a + ( - \vec b)\)

2. Tính chất

- $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}($tính chất giao hoán)

- $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ (tính chất kết hợp)

- \(\vec a + \vec 0 = \vec 0 + \vec a = \vec a\) (tính chất vectơ không)

\( - \vec a + ( - \vec a) =  - \vec a + \vec a = \vec 0\)

3. Các quy tắc cần nhớ khi tính toán

a. Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có:

- \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC} \)

- \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overline {AB} \)

b. Quy tắc hình bình hành

Với A B C D là hình bình hành

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

c. Tính chất trung điểm, trọng tâm của tam giác

Với  Ilà trung điểm của AB. Ta có:

-\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \vec 0\)

- \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \) với mọi điểm M

G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0\) với

- \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \) với mọi điểm \(M\)

d. Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

\(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {A{A^\prime }} \)

III. Phép nhân vecto với một số

1. Định nghĩa: Cho số \(k \ne 0\) và vectơ \(\vec a \ne \vec 0\). Tích của số k với vectơ \(\vec a\) là một vectơ, kí hiệu \(k \cdot \vec a\), cùng hướng với \(\vec a\) nếu \(k > 0\), ngược hướng với \(\vec a\) nếu k <0 và có độ dài bằng \(|k||\vec a|\)

2. Tính chất: Với mọi vectơ \(\vec a,\vec b\) và mọi số m, n ta có:

\[\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{ - m(\vec a + \vec b) = m\vec a + m\vec b}&{ - (m + n)\vec a = m\vec a + n\vec a}&{}\\\begin{array}{l} - m(n\vec a) = (mn) \cdot \vec a\\ - 1 \cdot \vec a = \vec a\end{array}&\begin{array}{l}\\ - ( - 1) \cdot \vec a =  - \vec a\end{array}&{}\end{array}\\ - 0 \cdot \vec a = \vec 0;k \cdot \vec 0 = \vec 0\end{array}\]

IV. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đều khác vectơ-không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\) thì xảy ra hai trường hợp:

TH1. Các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng

Ba vec tơ \(\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} ,\overrightarrow {\rm{c}} \) không đồng phẳng

TH2. Các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng.

Ba vec tơ \(\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} ,\overrightarrow {\rm{c}} \) đồng phẳng

2. Định nghĩa

Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

3. Điều kiện để ba vecto' đồng phẳng

Định lí 1. Cho ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\), trong đó \(\vec a\) và \(\vec b\) không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng là có các số m, n sao cho \(\vec c = m\vec a + n\vec b\). Hơn nữa, các số m, n là duy nhất.

4. Phân tích ( biểu thị) 1 vecto theo ba vecto không đồng phẳng

Định lí 2: Nếu \(\vec a,\vec b,\vec c\) là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ \(\vec d\), ta tìm được các số m, n, p sao cho \(\vec d = m\vec a + n\vec b + p\vec c\). Hơn nữa các số m, n, p là duy nhất.

B. Bài tập

Dạng 1. Xác định các yếu tố của vecto

Phương pháp:

- Dựa vào định nghĩa các yếu tố của vectơ

- Dựa vào các tính chất hình học của hình đã cho

Bài 1.1. Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp lần lượt bằng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} ,\overrightarrow {AC} \)

Hướng dẫn giải

Theo tính chất hình hộp, ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}  = \overrightarrow {{D^\prime }{C^\prime }} \)

\(\overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {CD}  =  - \overrightarrow {{B^\prime }{A^\prime }}  =  - \overrightarrow {{C^\prime }{D^\prime }} \)

 \(\overrightarrow {A{A^\prime }}  = \overrightarrow {B{B^\prime }}  = \overrightarrow {C{C^\prime }}  = \overrightarrow {D{D^\prime }} \)

 \(\overrightarrow {A{A^\prime }}  =  - \overrightarrow {{B^\prime }B}  =  - \overrightarrow {{C^\prime }C}  =  - \overrightarrow {{D^\prime }D} \)

\(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} ;\overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} , \ldots \)

DẠNG 2. Chứng minh các đẳng thức vecto'

Phương pháp:

- Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, các tính chất trung điểm, trọng tâm để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.

- Sử dụng các tính chất của các phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.

Bài 1.2. Cho tứ diện ABCD, Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,BC và g là trong tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

b) \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} )\)

c) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \)

 Giải

a) Theo qui tắc ba điểm, ta có \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \).

Do đó

\(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} {\rm{ }} = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + (\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DC} ) = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

b) Ta có

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \)

Do đó

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} \)\( + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \)

Vì M là trung điểm của đoạn AD nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\) và N là trung điểm của đoạn \({\rm{BC}}\) nên \[\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow 0 \]

Do vậy: \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} )\)

c) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} }\\{\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} }\\{\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} }\end{array}} \right.\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \) ( Vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\) )

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD, nên

\(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\)

Vậy \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \)

Bài 1.3. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AG} \)

Giải

Theo tính chất hình hộp ta có,

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{ }}&{\rm{ }}\\{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow {AG} }&{\rm{ }}\\{{\rm{ Vay }}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AG} }&{\rm{ }}\end{array}\)

Hoặc ta dựa vào qui tắc hình hộp ta có ngay đpcm

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AG} \) ( Gọi là qui tắc hình hộp)

Bài 1.4. Cho hình chóp S,ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

Giải.

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \) (1) và \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

Bài 1.5 Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 3\overrightarrow {DG} \)

Giải

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DG}  + \overrightarrow {GA} }\\{\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {DG}  + \overrightarrow {GB} {\rm{ }}}\\{\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DG}  + \overrightarrow {GC} }\end{array}} \right.\)

\({\rm{Suy ra }}\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 3\overrightarrow {DG} ({\rm{ V\`i  }}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0{\rm{ ) }}\)

 Bài 1.6. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ giác ABCD. Gọi I là trung điểm của  đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \vec 0\)

b) \(\overrightarrow {PI}  = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD} )\)

Giải

a) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \vec 0\)

Ta có \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IM} \)

\(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {ID}  = 2\overrightarrow {IN} \)

Cộng vế theo vế, ta có

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 2(\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {IN} ) = \vec 0\) đpcm

b) \(\overrightarrow {PI}  = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD} )\)

Với P là một điểm bất kì trong không gian, ta có

\(\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {PA}  - \overrightarrow {PI} ;\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {PB}  - \overrightarrow {PI} \)

\(\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {PC}  - \overrightarrow {PI} ;\overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {PD}  - \overrightarrow {PI} \)

Do đó:

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD}  - 4\overrightarrow {PI} \)

Mà \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \vec 0\)

Vậy \(\overrightarrow {PI}  = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD} )\)

(I gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD )

DẠNG 3. Chứng minh ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng

Phương pháp:

- Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) có giá song song với một mặt phẳng

- Ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \) có cặp số m, n duy nhất sao cho \(\vec c = m\vec a + n\vec b\), trong đó \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương.

Bài 1.7 Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.

Giải

Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AC và BD

Ta có PN song song với MQ và \(PN = MQ = \frac{1}{2}AD\). Vậy Tứ giác MPNQ là hình bình hành. Mặt phẳng (MNPQ) chứa đường thẳng MN và song song với các đường thẳng AD và BC.

Từ đó suy ra ba đường thẳng MN.AD,BC cùng song song với một mặt phẳng. Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.

Bài 1.8  Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF.

Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} \) đồng phẳng.

Giải

Vectơ \(\overrightarrow {BD} \) có giá thuộc mp(ABCD). Vectơ \(\overrightarrow {IK} \) có giá song song với đướng thẳng AC thuộc \({\rm{mp}}({\rm{ABCD}})\). Vectơ \(\overrightarrow {GF} \) có giá song song với đường thẳng BC thuộc \({\rm{mp}}({\rm{ABCD}})\). Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} \) đồng phẳng

Cách khác:

Ta có

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  =  - \overrightarrow {GF}  + (\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} )\\ =  - \overrightarrow {GF}  - \overrightarrow {GF}  - 2\overrightarrow {IK} (do\overrightarrow {AC}  =  - 2\overrightarrow {IK} )\end{array}\]

Vậy \(\overrightarrow {BD}  =  - 2\overrightarrow {GF}  - 2\overrightarrow {IK} \). Điều này chứng tỏ ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} \) đồng phẳng.

Bài 1. 9 Cho hình hộp ABCD,EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF. Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {KI} ,\overrightarrow {FG} \) đồng phẳng.

HD giải

Ta có \({\rm{KI}}//{\rm{EF}}//{\rm{AB}}\) nên \({\rm{KI}}//({\rm{ABC}})\),

\({\rm{FG}}//{\rm{BC}}\) và \(AC \subset (ABC)\)

Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {KI} ,\overrightarrow {FG} \) có giá cùng song song với một \({\rm{mp}}(\alpha )\) là mặt phẳng song song với mp(ABC).

Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {KI} ,\overrightarrow {FG} \) đồng phẳng

Bài 1.10 Cho tứ diên ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho \(\overrightarrow {AP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BQ}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \). Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng.