Ta có:

Chọn đáp án C.

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 3: Giá trị của x trong phương trình 

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 4: Nghiệm của phương trình 

Ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 5: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức sau  là?

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 6: Rút gọn biểu thức  với a>0; b> 0; ta được kết quả:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 8: Rút gọn biểu thức  với y < 1; x ≠ 1 ta được kết quả:

Ta có:

Chọn đáp án C.

Ta có:

Chọn đáp án A.

Ta có:

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Với nội dung quy tắc căn bậc hai, hãy tìm giá trị hợp lý của các biểu thức dưới đây:

a) $\sqrt{10}.\sqrt{40}$

b) $\sqrt{5}.\sqrt{45}$

c) $\sqrt{52}.\sqrt{13}$

d)  $\sqrt{2}.\sqrt{162}$

Đáp án:

a) Giải : $\sqrt{10}.\sqrt{40}=\sqrt{10.40}=\sqrt{400}=20$

b) 15 ;                         

c) 26 ;                   

d) 18

Bài 2: Yêu cầu tính giá trị của các công thức sau khi áp dụng quy tắc nhân:
a) $\sqrt{45.80}$ ;

b)  $\sqrt{75.48}$;

c) $\sqrt{90.6,4}$;

d) $\sqrt{2,5.14,4}$. 

Đáp án:

a) Giải : $\sqrt{45.80}=\sqrt{\mathrm{9.5.5.16}}=\sqrt{9}.\sqrt{25}.\sqrt{16}$ = 3.5.4 = 60 ;

b) Đáp Số : 60 ;

c) Đáp Số : 24 ;

d) Đáp Số : 6

Bài 3: Áp dụng quy tắc khai phương để so sánh kết quả của từng cặp phép tính dưới đây?

a)  $\sqrt{2}+\sqrt{3}và\sqrt{10};$

b) $\sqrt{3}+2và\sqrt{2}+\sqrt{6};$

c) $16và\sqrt{15}.\sqrt{17}$;

d) $8và\sqrt{15}+\sqrt{17}.$

Đáp án:

a) Đưa về so sánh ${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2}với(\sqrt{10}{)}^2$ hay so sánh $5+2\sqrt{2}.\sqrt{3}$ với 10.

Kết quả được $\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$ .

b) Tương tự câu a) :

So sánh $(\sqrt{3}+2{)}^2$ với ${(\sqrt{2}+\sqrt{6})}^2$

hay so sánh $7+4\sqrt{3}$ với $8+2\sqrt{12}$ .

Do $8+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}nên7+4\sqrt{3}<8+2\sqrt{12}.$

Từ đó suy ra $\sqrt{3}+2<\sqrt{2}+\sqrt{6}.$

c) Biến đổi $\sqrt{15}.\sqrt{17}=\sqrt{16-1}.\sqrt{16+1}=\sqrt{{16}^2-1}$

Do ${16}^2-1<{16}^{2}nên\sqrt{{16}^2-1}<\sqrt{{16}^2}$

Vậy $\sqrt{15}.\sqrt{17}<16$.

d) So sánh hai bình phương là $8^{2}và{(\sqrt{15}+\sqrt{17})}^2$

$32=2.16với2\sqrt{15}.\sqrt{17}=2\sqrt{{16}^2-1}.$

Kết quả được $\sqrt{15}+\sqrt{17}<8.$

Bài 4: Dùng phương pháp tính nhẩm để so sánh các kết quả của hai biểu thức sau:

$\sqrt{2003}+\sqrt{2005}và2\sqrt{2004}.$

Đáp án:

Kết quả $\sqrt{2004}+\sqrt{2005}<2.\sqrt{2004}$

Bài 5: Biểu diễn $\sqrt{ab}$ với điều kiện cho phép là a < 0 và b < 0 và áo dụng quy tắc nhân. Qua đó, tính giá trị $\sqrt{(-25).(-64)}$

Đáp án:

Do $a,b<0\to -a,-b>0$

Khi đó, ta có $\sqrt{a.b}=\sqrt{(-a)}.\sqrt{(-b)}=\sqrt{-a}.\sqrt{-b}$

Áp dụng, ta có $\sqrt{-25}.\sqrt{-64}=\sqrt{25}.\sqrt{64}=5.8=40$

7. Giá trị của  $\sqrt{1,6}.\sqrt{2,5}$ bằng

$\sqrt{1.6}.\sqrt{2.5}=\sqrt{1.6\times 2.5}=\sqrt{4}=2$

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Rút gọn biểu thức sau:

Câu 2: Rút gọn biểu thức sau:

Câu 3: Giải phương trình 

B. Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

1. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}$;

b) $\sqrt{\frac{144}{25}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}$;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}}=\frac{8}{11}$.

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (với a \ge 0, b > 0).$

Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}}=\frac{7}{12}$;

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}=\sqrt{\frac{25}{64}}:\sqrt{\frac{49}{16}} \\ =\frac{5}{8}:\frac{7}{4}=\frac{5}{14} \end{gathered}$$

3. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$(với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;

b) $\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}$.

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}}:\sqrt{\frac{25}{12}} \\ =\sqrt{\frac{27}{4}:\frac{25}{12}} \end{gathered}$$

$=\sqrt{\frac{27}{4}.\frac{12}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9a^2}{64}}$;

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}$với a > 0.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{9a^2}{64}}=\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{64}} \\ =\frac{\sqrt{9}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}\left|a\right| \end{gathered}$$

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}=\sqrt{\frac{63a}{7a}}=\sqrt{9}=3$với a > 0.