Trả lời nhanh
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức, em đánh giá biểu thức đó so với một hằng số rồi chỉ ra dấu “=” có xảy ra. Ba công cụ hay dùng: đưa về dạng bình phương cộng hằng số, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, hoặc dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. Luôn tìm điều kiện xác định trước và ghi rõ giá trị x làm dấu “=” xảy ra.
Hiểu đúng đề bài “tìm x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất”
Đề bài này hỏi hai thứ cùng lúc: giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức là bao nhiêu, và x bằng bao nhiêu thì biểu thức đạt giá trị đó. Vì vậy lời giải luôn có hai phần: chứng minh bất đẳng thức “A ≥ m với mọi x thuộc tập xác định” và chỉ ra x₀ để A = m.
Nếu em chỉ chứng minh A ≥ m mà không chỉ ra được x₀ thì m mới là một cận dưới, chưa phải giá trị nhỏ nhất. Đây là lỗi mất điểm phổ biến nhất ở dạng toán này.
Cách 1: Đưa về bình phương cộng (hoặc trừ) một hằng số
Với mọi biểu thức X, ta có X² ≥ 0. Vì thế:
- A = X² + m thì A ≥ m, giá trị nhỏ nhất là m khi X = 0.
- A = −X² + m thì A ≤ m, giá trị lớn nhất là m khi X = 0.
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x² − 6x + 11.
Ta có A = (x² − 6x + 9) + 2 = (x − 3)² + 2. Vì (x − 3)² ≥ 0 nên A ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi x = 3.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của B = −x² + 4x + 1.
B = −(x² − 4x + 4) + 5 = −(x − 2)² + 5. Vì −(x − 2)² ≤ 0 nên B ≤ 5. Dấu “=” xảy ra khi x = 2. Vậy B lớn nhất bằng 5 tại x = 2.
Ví dụ 3 (có căn thức). Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x − 4√x + 7.
Điều kiện xác định: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0, ta được C = t² − 4t + 7 = (t − 2)² + 3 ≥ 3. Dấu “=” xảy ra khi t = 2, tức √x = 2, suy ra x = 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy C nhỏ nhất bằng 3 khi x = 4.
Mẹo nhớ: với tam thức ax² + bx + c, hệ số a dương thì có giá trị nhỏ nhất, hệ số a âm thì có giá trị lớn nhất, đạt tại x = −b/(2a).
Cách 2: Dùng điều kiện của biến để đánh giá phân thức
Với biểu thức dạng phân thức chứa căn, ta tách phần nguyên rồi dùng điều kiện √x ≥ 0 để chặn giá trị.
Ví dụ 4. Cho D = (√x + 3)/(√x + 1) với x ≥ 0. Tìm giá trị lớn nhất của D.
Ta viết D = 1 + 2/(√x + 1). Vì √x ≥ 0 nên √x + 1 ≥ 1, suy ra 2/(√x + 1) ≤ 2, do đó D ≤ 3. Dấu “=” xảy ra khi √x = 0, tức x = 0. Vậy D lớn nhất bằng 3 tại x = 0.
Chú ý: ở bài này D luôn lớn hơn 1 nhưng không bao giờ bằng 1, nên D không có giá trị nhỏ nhất. Đừng vội kết luận “nhỏ nhất bằng 1”.
Cách 3: Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM)
Với hai số a, b không âm: a + b ≥ 2√(ab), dấu “=” xảy ra khi a = b. Cách này hiệu quả khi tích hai số hạng là một hằng số.
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x + 9/x với x > 0.
Áp dụng Cô-si cho hai số dương x và 9/x: E ≥ 2√(x · 9/x) = 2 · 3 = 6. Dấu “=” xảy ra khi x = 9/x, tức x² = 9, x = 3 (nhận vì x > 0). Vậy E nhỏ nhất bằng 6 khi x = 3.
Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của F = x + 4/(x − 1) với x > 1.
Viết F = (x − 1) + 4/(x − 1) + 1. Vì x − 1 > 0 nên (x − 1) + 4/(x − 1) ≥ 2√4 = 4. Suy ra F ≥ 5. Dấu “=” xảy ra khi x − 1 = 2, tức x = 3 (thỏa mãn x > 1). Vậy F nhỏ nhất bằng 5 tại x = 3.
Chìa khóa của dạng này là kỹ thuật cộng bớt một hằng số để tạo ra hai số hạng có tích không đổi.
Cách 4: Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Dùng |a| + |b| ≥ |a + b|, dấu “=” xảy ra khi a · b ≥ 0.
Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của G = |x − 1| + |5 − x|.
Ta có G ≥ |(x − 1) + (5 − x)| = |4| = 4. Dấu “=” xảy ra khi (x − 1)(5 − x) ≥ 0, tức 1 ≤ x ≤ 5. Vậy G nhỏ nhất bằng 4, đạt được với mọi x thuộc đoạn [1; 5]. Ở bài này giá trị nhỏ nhất đạt tại cả một đoạn chứ không riêng một điểm.
Bảng chọn cách làm nhanh
| Dạng biểu thức | Hướng xử lý |
|---|---|
| Tam thức bậc hai, hoặc t² + pt + q với t = √x | Đưa về bình phương cộng hằng số |
| Phân thức có tử và mẫu cùng bậc theo √x | Tách phần nguyên, dùng √x ≥ 0 |
| Tổng hai số dương có tích không đổi | Bất đẳng thức Cô-si |
| Tổng các giá trị tuyệt đối | |a| + |b| ≥ |a + b| |
Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện xác định, dẫn đến nhận x không hợp lệ (ví dụ √x = −2).
- Dùng Cô-si khi các số hạng có thể âm. Chẳng hạn với x < 0 thì x + 9/x ≤ −6 chứ không phải ≥ 6.
- Không kiểm tra dấu “=” xảy ra, nên kết luận sai về giá trị nhỏ nhất.
- Nhầm giữa “giá trị nhỏ nhất” (một số) với “giá trị của x” (điểm đạt được).
Nếu em đang ôn vào lớp 10, hãy luyện thêm các bài về phương trình bậc hai ở bài toán tham số trong phương trình bậc hai, vì nhiều đề kết hợp hai nội dung này.
Bài luyện tập có đáp án
- Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x² + 2x + 5.
Đáp án: P = (x + 1)² + 4 ≥ 4, nhỏ nhất bằng 4 khi x = −1. - Tìm giá trị lớn nhất của Q = −2x² + 8x − 3.
Đáp án: Q = −2(x − 2)² + 5 ≤ 5, lớn nhất bằng 5 khi x = 2. - Với x ≥ 0, tìm giá trị lớn nhất của R = √x − x.
Đáp án: R = −(√x − 1/2)² + 1/4 ≤ 1/4, lớn nhất bằng 1/4 khi √x = 1/2, tức x = 1/4.
Em hãy tự làm trước rồi mới đối chiếu đáp án, và nhớ luôn viết dòng “dấu = xảy ra khi…” ở cuối mỗi bài.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao biết biểu thức có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất?
Với tam thức bậc hai ax² + bx + c, a dương thì chỉ có giá trị nhỏ nhất, a âm thì chỉ có giá trị lớn nhất. Với phân thức hay biểu thức chứa căn, em đánh giá theo điều kiện của biến rồi kiểm tra dấu bằng có xảy ra hay không.
Khi nào được dùng bất đẳng thức Cô-si?
Khi các số hạng đều không âm và tích của chúng là hằng số hoặc đưa được về hằng số. Dấu bằng xảy ra khi hai số hạng bằng nhau, em phải giải ra x và kiểm tra thuộc điều kiện xác định.
Vì sao phải tìm điều kiện xác định trước?
Vì x chỉ được chọn trong tập xác định. Nếu giá trị x làm dấu bằng xảy ra nằm ngoài tập này thì giá trị đó không phải là nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức.
Biểu thức không có giá trị nhỏ nhất thì làm thế nào?
Em kết luận biểu thức không có giá trị nhỏ nhất, kèm lý do: dấu bằng không bao giờ xảy ra hoặc biểu thức nhận giá trị nhỏ tùy ý.