Giải Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Võ Hoàng Linh Nhi Ngày: 11-05-2022 Lớp 9

1.7 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương 9.

Giải bài tập Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1:Tính và so sánh: $\sqrt{\frac{16}{25}}$ và $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$

Phương pháp giải:

Tính từng biểu thức rồi so sánh.

Lời giải:

Ta có:

+) $\sqrt{\frac{16}{25}} = \sqrt{{(\frac{4}{5})}^{2}} = \frac{4}{5}$

+) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 17 SGK Toán 9 Tập 1:Tính

a) $\sqrt{\frac{225}{256}}$

b) $\sqrt{0, 0196}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai phương 1 thương:

Với $a \geq 0; b > 0$ ta có $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Lời giải:

\sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{256}} = \frac{15}{16}

\sqrt{0, 0196} = \sqrt{\frac{196}{10000}}

= \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{10000}} = \frac{14}{100} = 0, 14

Trả lời câu hỏi 3 trang 18 SGK Toán 9 Tập 1:Tính:

\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}}

\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

Với $a \geq 0; b > 0$ ta có $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\frac{999}{111}} = \sqrt{9} = 3$

b) $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$ $= \sqrt{\frac{52}{117}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 18 SGK Toán 9 Tập 1:Rút gọn

a) $\sqrt{\frac{2 a^{2} b^{4}}{50}}$ b) $\frac{\sqrt{2 a b^{2}}}{\sqrt{162}}$ với $a \geq 0.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} (A \geq 0; B > 0)$ ; $\sqrt{A B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}; \sqrt{A^{2}} = | A |$ ; $\sqrt{A^{2}} = | A | .$

Lời giải:

a) Ta có $\sqrt{\frac{2 a^{2} b^{4}}{50}} = \sqrt{\frac{a^{2} b^{4}}{25}} = \frac{\sqrt{a^{2} b^{4}}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{a^{2}} . \sqrt{b^{4}}}{5}$ $= \frac{\sqrt{a^{2}} . \sqrt{(b^{2})^{2}}}{5} = \frac{| a | b^{2}}{5}$

b) Ta có $\frac{\sqrt{2 a b^{2}}}{\sqrt{162}} = \sqrt{\frac{2 a b^{2}}{162}} = \sqrt{\frac{a b^{2}}{81}} = \frac{\sqrt{a b^{2}}}{\sqrt{81}}$ $= \frac{\sqrt{a} . \sqrt{b^{2}}}{9} = \frac{| b | \sqrt{a}}{9}$

Bài tập ( trang 18, 19, 20 SGK Toán 9 )

Bài 28 trang 18 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính:

a) $\sqrt{\frac{289}{225}}$ ; b) $\sqrt{2 \frac{14}{25}}$ ;

c) $\sqrt{\frac{0, 25}{9}}$ ; d) $\sqrt{\frac{8, 1}{1, 6}}$ .

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

+) Cách đổi hỗn số dương ra phân số:

$a \frac{b}{c} = \frac{a . b + c}{c}$ , với $c \neq 0$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{\frac{289}{225}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}} = \frac{\sqrt{17^{2}}}{\sqrt{15^{2}}} = \frac{17}{15}$ .

b) Ta có:

$\sqrt{2 \frac{14}{25}} = \sqrt{\frac{2.25 + 14}{25}} = \sqrt{\frac{50 + 14}{25}}$

$= \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{5^{2}}} = \frac{8}{5}$ .

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{0, 25}{9}} = \frac{\sqrt{0, 25}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{0, 5^{2}}}{\sqrt{3^{2}}} = \frac{0, 5}{3}$

$= 0, 5. \frac{1}{3} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .

d) Ta có:

$\sqrt{\frac{8, 1}{1, 6}} = \sqrt{\frac{81.0, 1}{16.0, 1}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{4^{2}}} = \frac{9}{4}$ .

Bài 29 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1: Tính:

a) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$

b) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}$

c) $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}$

d) $\frac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3} {.3}^{5}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ , với $a \geq 0, b > 0$ .

$(a . b)^{m} = a^{m} . b^{m}$ , với $m \in N$ .

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \sqrt{\frac{2}{18}} = \sqrt{\frac{2.1}{2.9}}$ $= \sqrt{\frac{1}{9}} = \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}} = \frac{1}{3}$ .

b) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}} = \sqrt{\frac{15}{735}} = \sqrt{\frac{15.1}{15.49}}$ $= \sqrt{\frac{1}{49}} = \sqrt{{(\frac{1}{7})}^{2}}$

$= \frac{1}{7}$ .

c) $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}} = \sqrt{\frac{12500}{500}} = \sqrt{\frac{500.25}{500}}$

$= \sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5$ .

d) $\frac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3} {.3}^{5}}} = \sqrt{\frac{6^{5}}{2^{3} {.3}^{5}}}$ $= \sqrt{\frac{(2.3)^{5}}{2^{3} {.3}^{5}}} = \sqrt{\frac{2^{5} {.3}^{5}}{2^{3} {.3}^{5}}}$

$= \sqrt{\frac{2^{5}}{2^{3}}}$ $= \sqrt{\frac{2^{3} {.2}^{2}}{2^{3}}} = \sqrt{2^{2}} = 2$

Bài 30 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1:Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{y}{x} . \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{4}}}$ với $x > 0, y \neq 0$ ;

Phương pháp giải:

+) $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , với $a \geq 0, b > 0$ .

+) $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .

+) $| a | = a$ , nếu $a \geq 0$ .

$| a | = - a$ , nếu $a < 0$ .

+) $a^{m . n} = a^{m} . a^{n}$ , với $m, n \in N$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{y}{x} . \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{4}}} = \frac{y}{x} . \frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{y^{4}}}$

$= \frac{y}{x} . \frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{(y^{2})^{2}}} = \frac{y}{x} . \frac{| x |}{| y^{2} |}$

Vì $x > 0$ nên $| x | = x$ .

Vì $y \neq 0$ nên $y^{2} > 0 \Rightarrow | y^{2} | = y^{2}$ .

$\Rightarrow \frac{y}{x} . \frac{| x |}{| y^{2} |} = \frac{y}{x} . \frac{x}{y^{2}} = \frac{y}{x} . \frac{x}{y . y} = \frac{1}{y}$ .

Vậy $\frac{y}{x} . \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{4}}} = \frac{1}{y}$ .

$2 y^{2} . \sqrt{\frac{x^{4}}{4 y^{2}}} = 2 y^{2} . \frac{\sqrt{x^{4}}}{\sqrt{4 y^{2}}} = 2 y^{2} . \frac{\sqrt{(x^{2})^{2}}}{\sqrt{2^{2} . y^{2}}}$

$= 2 y^{2} . \frac{\sqrt{(x^{2})^{2}}}{\sqrt{(2 y)^{2}}} = 2 y^{2} . \frac{| x^{2} |}{| 2 y |}$

Vì $x^{2} \geq 0 \Rightarrow | x^{2} | = x^{2}$ .

Vì $y < 0$ nên $2 y < 0 \Rightarrow | 2 y | = - 2 y$

$\Rightarrow 2 y^{2} . \frac{| x^{2} |}{| 2 y |} = 2 y^{2} . \frac{x^{2}}{- 2 y} = \frac{2 y^{2} . x^{2}}{- 2 y}$

$= \frac{x^{2} . y .2 y}{- 2 y} = - x^{2} y$ .

Vậy $2 y^{2} . \sqrt{\frac{x^{4}}{4 y^{2}}} = - x^{2} y$ .

c) Ta có:

$5 x y . \sqrt{\frac{25 x^{2}}{y^{6}}} = 5 x y . \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{\sqrt{y^{6}}} = 5 x y . \frac{\sqrt{5^{2} . x^{2}}}{\sqrt{(y^{3})^{2}}}$

$= 5 x y . \frac{\sqrt{(5 x)^{2}}}{\sqrt{(y^{3})^{2}}} = 5 x y . \frac{| 5 x |}{| y^{3} |}$

Vì $x < 0$ nên $| 5 x | = - 5 x$

Vì $y > 0 \Rightarrow y^{3} > 0 \Rightarrow | y^{3} | = y^{3}$ .

$\Rightarrow 5 x y . \frac{| 5 x |}{| y^{3} |} = 5 x y . \frac{- 5 x}{y^{3}} = \frac{5 x y . (- 5 x)}{y^{3}}$

$= \frac{[5. (- 5)] . (x . x) . y}{y^{2} . y} = \frac{- 25 x^{2}}{y^{2}}$

Vậy $5 x y . \sqrt{\frac{25 x^{2}}{y^{6}}} = \frac{- 25 x^{2}}{y^{2}}$ .

d) Ta có:

$0, 2 x^{3} y^{3} . \sqrt{\frac{16}{x^{4} y^{8}}} = 0, 2 x^{3} y^{3} . \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^{4} y^{8}}}$

$= 0, 2 x^{3} y^{3} \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{(x^{2})^{2} . (y^{4})^{2}}}$

$= 0, 2 x^{3} y^{3} . \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{(x^{2})^{2}} . \sqrt{(y^{4})^{2}}} = 0, 2 x^{3} y^{3} . \frac{4}{| x^{2} | . | y^{4} |}$ .

Vì $x \neq 0, y \neq 0$ nên $x^{2} > 0$ và $y^{4} > 0$

$\Rightarrow | x^{2} | = x^{2}$ và $| y^{4} | = y^{4}$ .

$\Rightarrow 0, 2 x^{3} y^{3} . \frac{4}{| x^{2} | . | y^{4} |} = 0, 2 x^{3} y^{3} . \frac{4}{x^{2} y^{4}}$

$= \frac{0, 2 x^{3} y^{3} .4}{x^{2} y^{4}}$

$= \frac{0, 8 x}{y} .$

Vậy $0, 2 x^{3} y^{3} . \sqrt{\frac{16}{x^{4} y^{8}}} = \frac{0, 8 x}{y}$ .

Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1:

a) So sánh

\sqrt{25 - 16}

và

\sqrt{25} - \sqrt{16}

Phương pháp giải:

Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh

Lời giải:

a) Ta có:

+) $\sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = \sqrt{3^{2}} = 3.$
+) $\sqrt{25} - \sqrt{16}$ $= \sqrt{5^{2}} - \sqrt{4^{2}}$ $= 5 - 4 = 1$ .

Vì $3 > 1 \Leftrightarrow \sqrt{25 - 16} > \sqrt{25} - \sqrt{16}$ .

Vậy $\sqrt{25 - 16} > \sqrt{25} - \sqrt{16}$

b) Chứng minh rằng: với $a > b > 0$ thì $\sqrt{a} - \sqrt{b} < \sqrt{a - b}$

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

$a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

+) $\sqrt{a^{2}} = a$ , với $a \geq 0$ .

+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương $a, b$ ta có: $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Lời giải:

Bài ra cho $a > b > 0$ nên $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ và $\sqrt{a - b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt{a}$ với $\sqrt{a - b} + \sqrt{b}$

Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương $a - b$ và $b,$ ta sẽ có:

$\sqrt{a - b} + \sqrt{b} > \sqrt{a - b + b}$

Suy ra:

$\sqrt{a - b} + \sqrt{b} > \sqrt{a} \Leftrightarrow \sqrt{a - b} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$

Vậy $\sqrt{a} - \sqrt{b} < \sqrt{a - b}$ với $a > b > 0.$

Cách khác 1:

Với $a > b > 0$ ta có ${\begin{cases} \sqrt{a} > \sqrt{b} \\ a - b > 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \sqrt{a} - \sqrt{b} > 0 \\ \sqrt{a - b} > 0 \end{cases}$

Xét $\sqrt{a} - \sqrt{b} < \sqrt{a - b}$ , bình phương hai vế ta được ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} < {(\sqrt{a - b})}^{2}$ $\Leftrightarrow {(\sqrt{a})}^{2} - 2. \sqrt{a} . \sqrt{b} + {(\sqrt{b})}^{2} < a - b$

$\Leftrightarrow a - 2 \sqrt{a b} + b < a - b$ $\Leftrightarrow 2 b - 2 \sqrt{a b} < 0$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{b} (\sqrt{b} - \sqrt{a}) < 0$ luôn đúng vì ${\begin{cases} \sqrt{b} > 0 \\ \sqrt{b} - \sqrt{a} < 0 (d o 0 < b < a) \end{cases}$

Vậy $\sqrt{a} - \sqrt{b} < \sqrt{a - b}$ với $a > b > 0.$

Cách khác 2:

Bài ra cho $a > b > 0$ nên $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ và $\sqrt{a - b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt{a}$ với $\sqrt{a - b} + \sqrt{b}$

Ta có $\sqrt{a - b} + \sqrt{b}$ là số dương và

${(\sqrt{a - b} + \sqrt{b})}^{2}$ $= a - b + 2 \sqrt{b (a - b)} + b$ $= a + 2 \sqrt{b (a - b)}$

Rõ ràng $2 \sqrt{b (a - b)} > 0$ nên ${(\sqrt{a - b} + \sqrt{b})}^{2} > a$ (1)

Ta có $\sqrt{a}$ là số không âm và ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

${(\sqrt{a - b} + \sqrt{b})}^{2} > {(\sqrt{a})}^{2}$ (3)

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

$\sqrt{{(\sqrt{a - b} + \sqrt{b})}^{2}} > \sqrt{{(\sqrt{a})}^{2}}$

Hay $| \sqrt{a - b} + \sqrt{b} | > | \sqrt{a} |$

Hay $\sqrt{a - b} + \sqrt{b} > \sqrt{a}$

Từ kết quả $\sqrt{a} < \sqrt{a - b} + \sqrt{b}$ , ta có $\sqrt{a} - \sqrt{b} < \sqrt{a - b}$

Bài 32 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính

a) $\sqrt{1 \frac{9}{16} .5 \frac{4}{9} .0, 01}$

b) $\sqrt{1, 44.1, 21 - 1, 44.0, 4}$

c) $\sqrt{\frac{165^{2} - 124^{2}}{164}}$

d) $\sqrt{\frac{149^{2} - 76^{2}}{457^{2} - 384^{2}}}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức đổi hỗn số ra phân số:

$a \frac{b}{c} = \frac{a . c + b}{c}$ .

+ $\sqrt{a^{2}} = a$ , với $a \geq 0$ .

+ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},$ với $a \geq 0, b > 0$ .

+ $\sqrt{a b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ , với $a, b \geq 0$ .

Lời giải:

Ta có:

$\sqrt{1 \frac{9}{16} .5 \frac{4}{9} .0, 01} = \sqrt{\frac{1.16 + 9}{16} . \frac{5.9 + 4}{9} . \frac{1}{100}}$

$= \sqrt{\frac{16 + 9}{16} . \frac{45 + 4}{9} . \frac{1}{100}}$

$= \sqrt{\frac{25}{16} . \frac{49}{9} . \frac{1}{100}}$

$= \sqrt{\frac{25}{16}} . \sqrt{\frac{49}{9}} . \sqrt{\frac{1}{100}}$

$= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} . \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} . \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}$

$= \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4^{2}}} . \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{3^{2}}} . \frac{1}{\sqrt{10^{2}}}$

$= \frac{5}{4} . \frac{7}{3} . \frac{1}{10} = \frac{5.7.1}{4.3.10} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} .$

b) Ta có

$\sqrt{1, 44.1, 21 - 1, 44.0, 4}$ $= \sqrt{1, 44 (1, 21 - 0, 4)}$

$= \sqrt{1, 44.0, 81}$

$= \sqrt{1, 44} . \sqrt{0, 81}$

$= \sqrt{1, 2^{2}} . \sqrt{0, 9^{2}}$

$= 1, 2.0, 9 = 1, 08$ .

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{165^{2} - 124^{2}}{164}}$ $= \sqrt{\frac{(165 - 124) (165 + 124)}{164}}$

$= \sqrt{\frac{41.289}{41.4}}$ $= \sqrt{\frac{289}{4}}$

$= \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}$ $= \frac{\sqrt{17^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$ $= \frac{17}{2}$ .

d) Ta có:

$\sqrt{\frac{149^{2} - 76^{2}}{457^{2} - 384^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{(149 - 76) (149 + 76)}{(457 - 384) (457 + 384)}}$

$= \sqrt{\frac{73.225}{73.841}}$ $= \sqrt{\frac{225}{841}}$

$= \sqrt{\frac{15^{2}}{29^{2}}} = \sqrt{{(\frac{15}{29})}^{2}} = \frac{15}{29}$ .

Bài 33 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1 :Giải phương trình

a) $\sqrt{2} . x - \sqrt{50} = 0$

b) $\sqrt{3} . x + \sqrt{3} = \sqrt{12} + \sqrt{27}$

c) $\sqrt{3} . x^{2} - \sqrt{12} = 0$

d) $\frac{x^{2}}{\sqrt{5}} - \sqrt{20} = 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức

+ $\sqrt{A B} = \sqrt{A} . \sqrt{B} (A; B \geq 0)$

+ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$ (với $A \geq 0; B > 0$ )

+ $\sqrt{A^{2}} = | A | = {\begin{cases} A k h i A \geq 0 \\ - A k h i A < 0 \end{cases}$

Lời giải:

a) $\sqrt{2} . x - \sqrt{50} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} x = \sqrt{50}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{50}{2}}$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{25}$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{5^{2}}$

$\Leftrightarrow x = 5$ .

Vậy $x = 5$ .

$\sqrt{3} . x + \sqrt{3} = \sqrt{12} + \sqrt{27}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . x = \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . x = \sqrt{4.3} + \sqrt{9.3} - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . x = \sqrt{4} . \sqrt{3} + \sqrt{9} . \sqrt{3} - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . x = \sqrt{2^{2}} . \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} . \sqrt{3} - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . x = 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . x = (2 + 3 - 1) . \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . x = 4 \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x = 4$ .

Vậy $x = 4$ .

$\sqrt{3} x^{2} - \sqrt{12} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} x^{2} = \sqrt{12}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} x^{2} = \sqrt{4.3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} x^{2} = \sqrt{4} . \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x^{2} = \sqrt{4}$

$\Leftrightarrow x^{2} = \sqrt{2^{2}}$

$\Leftrightarrow x^{2} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow | x | = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$ .

Vậy $x = \pm \sqrt{2}$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{5}} - \sqrt{20} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{20}$

$\Leftrightarrow x^{2} = \sqrt{20} . \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow x^{2} = \sqrt{20.5}$

$\Leftrightarrow x^{2} = \sqrt{100}$

$\Leftrightarrow x^{2} = \sqrt{10^{2}}$

$\Leftrightarrow x^{2} = 10$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{10}$

$\Leftrightarrow | x | = \sqrt{10}$

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{10}$ .

Vậy $x = \pm \sqrt{10}$ .

Bài 34 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1:Rút gọn các biểu thức sau:

a) $a b^{2} . \sqrt{\frac{3}{a^{2} b^{4}}}$ với $a < 0, b \neq 0$

b) $\sqrt{\frac{27 (a - 3)^{2}}{48}}$ với $a > 3$

c) $\sqrt{\frac{9 + 12 a + 4 a^{2}}{b^{2}}}$ với $a \geq - 1, 5$ và $b < 0.$

d) $(a - b) . \sqrt{\frac{a b}{(a - b)^{2}}}$ với $a < b < 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

+ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \geq 0; b > 0$

+ $\sqrt{A^{2}} = | A | = {\begin{cases} A k h i A \geq 0 \\ - A k h i A < 0 \end{cases}$

Lời giải:

a) Ta có:

$a b^{2} . \sqrt{\frac{3}{a^{2} b^{4}}} = a b^{2} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} b^{4}}}$ $= a b^{2} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2}} . \sqrt{b^{4}}}$

$= a b^{2} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2}} . \sqrt{(b^{2})^{2}}}$ $= a b^{2} . \frac{\sqrt{3}}{| a | . | b^{2} |}$

$= a b^{2} . \frac{\sqrt{3}}{- a b^{2}} = - \sqrt{3}$ .

(Vì $a < 0$ nên $| a | = - a$ và $b \neq 0$ nên $b^{2} > 0 \Rightarrow | b^{2} | = b^{2})$ .

b) Ta có:

$\sqrt{\frac{27 (a - 3)^{2}}{48}} = \sqrt{\frac{27}{48} . (a - 3)^{2}}$ $= \sqrt{\frac{27}{48}} . \sqrt{(a - 3)^{2}}$

$= \sqrt{\frac{9.3}{16.3}} . \sqrt{(a - 3)^{2}}$ $= \sqrt{\frac{9}{16}} . \sqrt{(a - 3)^{2}}$

$= \sqrt{\frac{3^{2}}{4^{2}}} . \sqrt{(a - 3)^{2}}$ $= \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4^{2}}} . \sqrt{(a - 3)^{2}}$

$= \frac{3}{4} | a - 3 | = \frac{3}{4} (a - 3)$ .

( Vì $a > 3$ nên $a - 3 > 0 \Rightarrow | a - 3 | = a - 3)$

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{9 + 12 a + 4 a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{\frac{3^{2} + 2.3.2 a + 2^{2} . a^{2}}{b^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{3^{2} + 2.3.2 a + (2 a)^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{\frac{(3 + 2 a)^{2}}{b^{2}}}$

$= \frac{\sqrt{(3 + 2 a)^{2}}}{\sqrt{b^{2}}} = \frac{| 3 + 2 a |}{| b |}$

Vì $a \geq - 1, 5 \Rightarrow a + 1, 5 > 0$

$\Leftrightarrow 2 (a + 1, 5) > 0$

$\Leftrightarrow 2 a + 3 > 0$

$\Leftrightarrow 3 + 2 a > 0$

$\Rightarrow | 3 + 2 a | = 3 + 2 a$

Vì $b < 0 \Rightarrow | b | = - b$

Do đó: $\frac{| 3 + 2 a |}{| b |} = \frac{3 + 2 a}{- b} = - \frac{3 + 2 a}{b}$ .

Vậy $\sqrt{\frac{9 + 12 a + 4 a^{2}}{b^{2}}} = - \frac{3 + 2 a}{b}$ .

d) Ta có:

$(a - b) . \sqrt{\frac{a b}{(a - b)^{2}}} = (a - b) . \frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{(a - b)^{2}}}$

$= (a - b) . \frac{\sqrt{a b}}{| a - b |}$

$= (a - b) . \frac{\sqrt{a b}}{- (a - b)} = - \sqrt{a b}$ .

(Vì $a < b < 0$ nên $a - b < 0 \Rightarrow | a - b | = - (a - b)$ và $a b > 0) .$

Bài 35 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1 :Tìm $x$ , biết:

a) $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} = 9$

b) $\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = 6$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A |$ đưa phương trình về dạng $| A | = m (m \geq 0) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A = m \\ A = - m \end{array}$

Lời giải:

Ta có:

$\sqrt{{(x - 3)}^{2}} = 9 \Leftrightarrow | x - 3 | = 9$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 3 = 9 \\ x - 3 = - 9 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 9 + 3 \\ x = - 9 + 3 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 12 \\ x = - 6 \end{matrix}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 12$ và $x = - 6$ .

b) Ta có:

$\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = 6 \Leftrightarrow \sqrt{2^{2} x^{2} + 4 x + 1} = 6$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2 x)^{2} + 2.2 x + 1^{2}} = 6$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2 x + 1)^{2}} = 6$

$\Leftrightarrow | 2 x + 1 | = 6$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x + 1 = 6 \\ 2 x + 1 = - 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = 6 - 1 \\ 2 x = - 6 - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = 5 \\ 2 x = - 7 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{5}{2} \\ x = \frac{- 7}{2} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm $x = \frac{5}{2}$ và $x = \frac{- 7}{2}$ .

Bài 36 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ?

a) $0, 01 = \sqrt{0, 0001}$ ;

b) $- 0, 5 = \sqrt{- 0, 25}$ ;

c) $\sqrt{39} < 7$ và $\sqrt{39} > 6$ ;

d) $(4 - 13) .2 x < \sqrt{3} (4 - \sqrt{13}) \Leftrightarrow 2 x < \sqrt{3}$ .

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A \geq 0$ .

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai:

$a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ , với $a, b \geq 0$ .

+ $a . c > b . c \Leftrightarrow a > b$ , với $c > 0$ .

Lời giải:

a) Đúng. Vì $\sqrt{0, 0001} = \sqrt{0, 01^{2}} = 0, 01$

Vì $V P = \sqrt{0, 0001} = \sqrt{0, 01^{2}} = 0, 01 = V T$ .

b) Sai.

Vì vế phải không có nghĩa do số âm không có căn bậc hai.

c) Đúng. $\sqrt{0, 0001} = \sqrt{0, 01^{2}} = 0, 01$

Vì: $36 < 39 < 49$ $\Leftrightarrow \sqrt{36} < \sqrt{39} < \sqrt{49}$

$\Leftrightarrow \sqrt{6^{2}} < \sqrt{39} < \sqrt{7^{2}}$

$\Leftrightarrow 6 < \sqrt{39} < 7$

Hay $\sqrt{39} > 6$ và $\sqrt{39} < 7$ .

d) Đúng.

Xét bất phương trình đề cho:

$(4 - \sqrt{13}) .2 x < \sqrt{3} . (4 - \sqrt{13})$ $(1)$

Ta có:

$16 > 13 \Leftrightarrow \sqrt{16} > \sqrt{13}$

$\Leftrightarrow \sqrt{4^{2}} > \sqrt{13}$

$\Leftrightarrow 4 > \sqrt{13}$

$\Leftrightarrow 4 - \sqrt{13} > 0$

Chia cả hai vế của bất đẳng thức $(1)$ cho số dương $(4 - \sqrt{13})$ , ta được:

$\frac{(4 - \sqrt{13}) .2 x}{(4 - \sqrt{13})} < \frac{\sqrt{3} . (4 - \sqrt{13})}{(4 - \sqrt{13})}$

$\Leftrightarrow 2 x < \sqrt{3} .$

Vậy phép biến đổi tương đương trong câu d là đúng.

Bài 37 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1 :Đố: Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh $1 c m$ , cho bốn điểm $M, N, P, Q$ (h.3).

Giải Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương (ảnh 1)

Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác $M N P Q$ .

Phương pháp giải:

+ Sử dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông.

+ Công thức tính diện tích hình vuông cạnh $a$ là: $S = a^{2}$ .

+ Dấu hiệu nhận biết hình vuông: hình thoi có hai đường chéo bằng nhau (hay tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và có hai đường chéo bằng nhau) thì là hình vuông.

Lời giải:

Nối các điểm ta có tứ giác $M N P Q$

Giải Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương (ảnh 1)

Tứ giác $M N P Q$ có:

- Các cạnh bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài $2 c m$ , chiều rộng $1 c m$ . Do đó theo định lí Py-ta-go, ta có:

$M N = N P = P Q = Q M = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} (c m)$ .

Hay $M N P Q$ là hình thoi.

- Các đường chéo bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài $3 c m$ , chiều rộng $1 c m$ nên theo định lý Py-ta-go ta có độ dài đường chéo là:

$M P = N Q = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10} (c m) .$

Như vậy hình thoi $M N P Q$ có hai đường chéo bằng nhau nên $M N P Q$ là hình vuông.

Vậy diện tích hình vuông $M N P Q$ bằng $M N^{2} = (\sqrt{5})^{2} = 5 (c m^{2})$ .

Lý thuyết Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

1. Định lí

Với số $a$ không âm và số $b$ dương ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$ , trong đó a không âm, b dương, ta có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ 2.

3. Quy tắc chia các căn bậc hai

Muốn chia các căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương ta có thể chia a cho cho b rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý: Một cách tổng quát, với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

4. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Ví dụ: $\sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Ví dụ: Rút gọn $\frac{\sqrt{27 y^{3}}}{\sqrt{3 y}}$ với $y > 0$

Ta có: $\frac{\sqrt{27 y^{3}}}{\sqrt{3 y}} = \sqrt{\frac{27 y^{3}}{3 y}}$ $= \sqrt{9 y^{2}} = \sqrt{{(3 y)}^{2}}$ $= | 3 y | = 3 y$