a) ${\displaystyle \sqrt{\frac{9}{169}}}$;

b) ${\displaystyle \sqrt{\frac{25}{144}}}$;

c) ${\displaystyle \sqrt{1\frac{9}{16}}}$;

d) ${\displaystyle \sqrt{2\frac{7}{81}}}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}$ 

Lời giải:

a)

${\displaystyle \sqrt{\frac{9}{169}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{169}}=\frac{3}{13}}$

 b)

${\displaystyle \sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}}=\frac{5}{12}}$

 c)

${\displaystyle \sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}}$

 d)

${\displaystyle \sqrt{2\frac{7}{81}}=\sqrt{\frac{169}{81}}=\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}}=\frac{13}{9}}$

a) ${\displaystyle \frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}}$

b) ${\displaystyle \frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}}$

c) ${\displaystyle \frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}}$

d) ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}}$

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với $A\ge 0$ và $B>0$ ta có: ${\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}$

Lời giải:

a)

${\displaystyle \frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{2300}{23}}=\sqrt{100}=10}$

 b)

${\displaystyle \frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}=\sqrt{\frac{12,5}{0,5}}=\sqrt{25}=5}$

 c)

${\displaystyle \frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{192}{12}}=\sqrt{16}=4}$

 d)

${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}=\sqrt{\frac{6}{150}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}}$

A = ${\displaystyle \sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}}$ và B = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}}$ 

a) Tim $x$ để A có nghĩa. Tìm $x$ để B có nghĩa .

b) Với giá trị nào của $x$ thì $A=B?$

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

+) Để ${\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}$ có nghĩa thì $A\ge 0;B>0$ 

+) Để $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}$ có nghĩa ta xét các trường hợp: 

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B>0\end{array}$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B<0\end{array}$ 

Lời giải:

a)

Ta có: ${\displaystyle \sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi ${\displaystyle \frac{2x+3}{x-3}\ge 0}$ 

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge {\displaystyle \frac{-3}{2}}\\ x>3\end{array}\iff x>3\end{array}$ 

Trường hợp 2: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x+3\le 0\\ x-3<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x\le -3\\ x<3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\le {\displaystyle \frac{-3}{2}}\\ x<3\end{array}\iff x\le {\displaystyle \frac{-3}{2}}\end{array}$ 

Vậy với $x>3$ hoặc x ${\displaystyle \le }$  ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$ thì biểu thức A có nghĩa.

Ta có: ${\displaystyle \frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}}$  có nghĩa khi và chỉ khi: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge {\displaystyle \frac{-3}{2}}\\ x>3\end{array}\iff x>3\end{array}$ 

Vậy $x>3$ thì biểu thức B có nghĩa.

 b)

Với $x>3$ thì A và B đồng thời có nghĩa.

Khi đó: $A=B$

$\iff {\displaystyle \sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}}}$ (luôn đúng)

Vậy với $x>3$ thì $A=B$. 

a) ${\displaystyle \frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}}}$ ($y>0$);

b) ${\displaystyle \frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}}}$ ($x>0$);

c) ${\displaystyle \frac{\sqrt{45m{n}^2}}{\sqrt{20m}}}$ ($m>0$ và $n>0$);

d) ${\displaystyle \frac{\sqrt{16a^4{b}^6}}{\sqrt{128a^6{b}^6}}}$ ($a<0$ và $b\ne 0$).

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}$ 

 $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Với $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Với $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}}=\sqrt{\frac{63y^3}{7y}}=\sqrt{9y^2}\\ & =\sqrt{9}.\sqrt{y^2}=3.\left|y\right|=3y(y>0)\end{array}$ 

 b)

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}}=\sqrt{\frac{48x^3}{3x^5}}\\ & =\sqrt{\frac{16}{x^2}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^2}}\\ & =\frac{4}{\left|x\right|}=\frac{4}{x}(x>0)\end{array}$ 

 c)

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{45m{n}^2}}{\sqrt{20m}}=\sqrt{\frac{45m{n}^2}{20m}}\\ & =\sqrt{\frac{9n^2}{4}}=\frac{\sqrt{9n^2}}{\sqrt{4}}\\ & =\frac{3\left|n\right|}{2}=\frac{3n}{2}(m>0;n>0)\end{array}$ 

 d)

${\displaystyle \frac{\sqrt{16a^4{b}^6}}{\sqrt{128a^6{b}^6}}=\sqrt{\frac{16a^4{b}^6}{128a^6{b}^6}}=\sqrt{\frac{1}{8a^2}}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4.a^2.2}}}$${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{4}.\sqrt{a^2}.\sqrt{2}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\left|a\right|\sqrt{2}}=\frac{-1}{2a\sqrt{2}}}$

 (${\displaystyle a<0}$ và ${\displaystyle b\ne 0}$)

a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}}$ ($x\ge 0$);

b) ${\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{y}-1}}\sqrt{{\displaystyle \frac{y-2\sqrt{y}+1}{{(x-1)}^4}}}$ $(x\ne 1,y\ne 1$ và $y\ge 0).$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A\ge 0$ thì $A=\sqrt{A^2}$ 

Và $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Với $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

với $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$

$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

Lời giải:

a)

Vì $x\ge 0$ nên $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$

Ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}\\ & =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2+2\sqrt{x}+1}}\\ & =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}\end{array}}$

${\displaystyle {\displaystyle =\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}}{\sqrt{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}}}$ 

$={\displaystyle \frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\left|\sqrt{x}+1\right|}}={\displaystyle \frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}}$  

+) Nếu ${\displaystyle \sqrt{x}-1\ge 0\iff x\ge 1}$  thì ${\displaystyle \left|\sqrt{x}-1\right|=\sqrt{x}-1}$

Ta có: ${\displaystyle \frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}}$ (với $x\ge 1)$

+) Nếu ${\displaystyle \sqrt{x}-1<0\iff x<1}$ thì ${\displaystyle \left|\sqrt{x}-1\right|=1-\sqrt{x}}$

Ta có:

${\displaystyle \frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}$ (với $0\le x<1$)

 b)

Vì $y\ge 0$ nên $y={\left(\sqrt{y}\right)}^2$

Ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\sqrt{\frac{y-2\sqrt{y}+1}{{(x-1)}^4}}\\ & =\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{y}-1\right)}^2}}{\sqrt{{(x-1)}^4}}\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& =\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}.\frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{{(x-1)}^2}\\ & =\frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}\end{array}}$

+) Nếu $y>1$

 Ta có ${\displaystyle \left|\sqrt{y}-1\right|=\sqrt{y}-1}$ nên:

${\displaystyle \frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}=\frac{\sqrt{y}-1}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}}$$={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$

+) Nếu $0\le y<1$

Ta có  $\left|\sqrt{y}-1\right|=-(\sqrt{y}-1)$ nên:

${\displaystyle \frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}=\frac{-(\sqrt{y}-1)}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}}$$={\displaystyle \frac{-1}{x-1}}$

a) ${\displaystyle \sqrt{\frac{{(x-2)}^4}{{(3-x)}^2}}+\frac{x^2-1}{x-3}}$ ($x<3$); tại $x=0,5$ ;

b) ${\displaystyle 4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}}$ ($x>-2$); tại $x={\displaystyle -\sqrt{2}}$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$  

Với $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

với $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}$

Lời giải:

a)

Ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{{(x-2)}^4}{{(3-x)}^2}}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{\sqrt{{(x-2)}^4}}{\sqrt{{(3-x)}^2}}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{{(x-2)}^2}{\left|3-x\right|}+\frac{x^2-1}{x-3}\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& =\frac{x^2-4x+4}{3-x}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{-x^2+4x-4}{x-3}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{-x^2+4x-4+x^2-1}{x-3}\end{array}}$

${\displaystyle =\frac{4x-5}{x-3}}$ ($x<3$)

Với $x=0,5$ ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{4.0,5-5}{0,5-3}=\frac{-3}{-2,5}\\ & =\frac{3}{2,5}=\frac{6}{5}=1,2\end{array}}$

 b)

Với $x>-2,$ ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& 4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}\\ & =4x-\sqrt{8}+\sqrt{\frac{x^3+2x^2}{x+2}}\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& =4x-\sqrt{8}+\sqrt{\frac{x^2(x+2)}{x+2}}\\ & =4x-\sqrt{8}+\sqrt{x^2}\\ & =4x-\sqrt{8}+\left|x\right|\end{array}}$

+) Nếu $x\ge 0$ thì ${\displaystyle \left|x\right|=x}$

Ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& 4x-\sqrt{8}+\left|x\right|\\ & =4x-\sqrt{8}+x=5x-\sqrt{8}\end{array}}$

+) Nếu $-2<x<0$ thì ${\displaystyle \left|x\right|=-x}$

Ta có: 

${\displaystyle 4x-\sqrt{8}+\left|x\right|}$$=4x-\sqrt{8}-x=3x-\sqrt{8}$

Với $x=-\sqrt{2}<0$ ta có: ${\displaystyle 3\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{8}}$

a) ${\displaystyle \sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2}$

b) ${\displaystyle \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2}$

c) ${\displaystyle \sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}=3}$

d) ${\displaystyle \frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3.}$

Phương pháp giải:

Áp dụng với $\mathrm{A}\ge 0;\mathrm{B}\ge 0$ thì $\sqrt{A}=B\iff A=B^2$

Để $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}$ có nghĩa ta xét các trường hợp: 

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B>0\end{array}$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B<0\end{array}$ 

Lời giải:

a)

Ta có:

${\displaystyle \sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}}$  xác định khi và chỉ khi   ${\displaystyle \frac{2x-3}{x-1}\ge 0}$ 

Trường hợp 1:  

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2x-3\ge 0\hfill \\ x-1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x\ge 3\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge 1,5\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\iff x\ge 1,5\end{array}}$

Trường hợp 2: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2x-3\le 0\hfill \\ x-1<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x\le 3\hfill \\ x<1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\le 1,5\hfill \\ x<1\hfill \end{array}\iff x<1\end{array}}$

Với $x\ge 1,5$ hoặc $x<1$ ta có:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2\iff \frac{2x-3}{x-1}=4\\ & \Rightarrow 2x-3=4(x-1)\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \iff 2x-3=4x-4\\ & \iff 2x=1\iff x=0,5\end{array}}$

Giá trị $x=0,5$ thỏa mãn điều kiện $x<1.$

 b)

Ta có: ${\displaystyle \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}}$ xác định khi và chỉ khi:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2x-3\ge 0\hfill \\ x-1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x\ge 3\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge 1,5\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\iff x\ge 1,5\end{array}}$

Với $x\ge 1,5$ ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\iff \frac{2x-3}{x-1}=4\\ & \Rightarrow 2x-3=4(x-1)\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \iff 2x-3=4x-4\\ & \iff 2x=1\iff x=0,5\end{array}}$

Giá trị $x=0,5$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để ${\displaystyle \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2}$

 c)

Ta có: ${\displaystyle \sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}}$ xác định khi và chỉ khi ${\displaystyle \frac{4x+3}{x+1}\ge 0}$

Trường hợp 1:  

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}4x+3\ge 0\hfill \\ x+1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}4x\ge -3\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -0,75\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\iff x\ge -0,75\end{array}}$

Trường hợp 2:  

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}4x+3\le 0\hfill \\ x+1<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}4x\le -3\hfill \\ x<-1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -0,75\hfill \\ x<-1\hfill \end{array}\iff x<-1\end{array}}$

Với $x\ge -0,75$ hoặc $x<-1$ ta có:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}=3\iff \frac{4x+3}{x+1}=9\\ & \Rightarrow 4x+3=9(x+1)\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \iff 4x+3=9x+9\\ & \iff 5x=-6\iff x=-1,2\end{array}}$

Giá trị $x=-1,2$ thỏa mãn điều kiện $x<-1$.

 d)

Ta có : ${\displaystyle \frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}}$ xác định khi và chỉ khi:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}4x+3\ge 0\hfill \\ x+1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}4x\ge -3\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -0,75\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\iff x\ge -0,75\end{array}}$

Với $x\ge -0,75$ ta có: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3\iff \frac{4x+3}{x+1}=9\\ & \Rightarrow 4x+3=9(x+1)\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \iff 4x+3=9x+9\\ & \iff 5x=-6\iff x=-1,2\text{(không thỏa mãn)}\end{array}}$

Vậy không có giá trị nào của x để ${\displaystyle \frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3.}$