Trả lời nhanh
Mọi bài Vi-ét thi vào lớp 10 đều đi theo ba bước: (1) tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (a ≠ 0, Δ ≥ 0 hoặc Δ > 0); (2) viết tổng S = x1 + x2 = −b/a và tích P = x1x2 = c/a; (3) biến đổi yêu cầu đề bài về S, P rồi giải tìm m và đối chiếu điều kiện. Quên bước 1 và bước đối chiếu là hai lỗi mất điểm phổ biến nhất.
1. Kiến thức cần nhớ trước khi làm bài
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), Δ = b2 − 4ac (hoặc Δ’ = b’2 − ac với b = 2b’). Nếu phương trình có hai nghiệm x1, x2 thì:
- S = x1 + x2 = −b/a;
- P = x1x2 = c/a.
Ngược lại, hai số có tổng S và tích P là hai nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0 (có nghiệm khi S2 − 4P ≥ 0).
Nhẩm nghiệm nhanh: nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1, x2 = c/a; nếu a − b + c = 0 thì x1 = −1, x2 = −c/a.
Bảng biến đổi biểu thức đối xứng về S và P
| Biểu thức | Viết theo S, P |
|---|---|
| x12 + x22 | S2 − 2P |
| (x1 − x2)2 | S2 − 4P |
| x13 + x23 | S3 − 3SP |
| x12x2 + x1x22 | SP |
| 1/x1 + 1/x2 (x1x2 ≠ 0) | S/P |
| x1/x2 + x2/x1 | (S2 − 2P)/P |
| (x1 + k)(x2 + k) | P + kS + k2 |
Mẹo nhớ: chỉ cần thuộc (x1 + x2)2 = x12 + 2x1x2 + x22, mọi dòng còn lại suy ra được trong 10 giây. Muốn ôn lại phần lý thuyết gốc, em xem bài giảng tại Phương trình bậc hai và ứng dụng của định lí Vi-ét.
2. Quy trình chung cho bài toán chứa tham số
- Tìm điều kiện: a ≠ 0 (nếu hệ số a chứa m) và Δ ≥ 0 (đề nói “có nghiệm”) hoặc Δ > 0 (đề nói “hai nghiệm phân biệt”).
- Viết S, P theo m.
- Biến đổi hệ thức đề cho thành phương trình theo m.
- Giải, đối chiếu điều kiện ở bước 1, kết luận.
3. Các dạng toán thường gặp và ví dụ
Dạng 1. Phương trình có một nghiệm cho trước, tìm m và nghiệm còn lại
Cách làm: thay nghiệm vào phương trình để tìm m, sau đó dùng tổng hoặc tích để tìm nghiệm còn lại.
Ví dụ 1. Cho x2 − (m + 2)x + 2m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.
Thay x = 3: 9 − 3(m + 2) + 2m = 3 − m = 0, suy ra m = 3. Khi đó S = m + 2 = 5 nên nghiệm còn lại là 5 − 3 = 2. Kiểm tra: x2 − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm 2 và 3. Vậy m = 3, nghiệm còn lại là 2.
Dạng 2. Hệ thức có (x1 − x2) hoặc |x1 − x2|
Cách làm: hoặc bình phương để dùng (x1 − x2)2 = S2 − 4P, hoặc ghép hệ gồm “x1 + x2 = S” và hệ thức đề cho để tìm riêng từng nghiệm.
Ví dụ 2. Cho x2 − 5x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả x1 − x2 = 3.
Điều kiện: Δ = 25 − 4m > 0, tức m < 25/4. Ta có S = 5, P = m. Bình phương hệ thức: (x1 − x2)2 = 9 ⇔ S2 − 4P = 9 ⇔ 25 − 4m = 9 ⇔ m = 4. Thoả điều kiện. Kiểm tra: x2 − 5x + 4 = 0 có nghiệm 4 và 1, hiệu bằng 3.
Dạng 3. Biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm
Cách làm: dùng bảng ở mục 1 để đưa về S, P rồi giải phương trình theo m.
Ví dụ 3. Cho x2 − 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0. Tìm m để hai nghiệm thoả x12 + x22 = 10.
Δ’ = (m + 1)2 − (m2 + 2) = 2m − 1. Phương trình có nghiệm khi m ≥ 1/2. Ta có S = 2(m + 1), P = m2 + 2, nên
x12 + x22 = 4(m + 1)2 − 2(m2 + 2) = 2m2 + 8m.
Cho bằng 10: m2 + 4m − 5 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = −5. Đối chiếu m ≥ 1/2: nhận m = 1, loại m = −5. Thử lại: x2 − 4x + 3 = 0 có nghiệm 1 và 3, 1 + 9 = 10.
Ví dụ 4 (có mẫu). Cho x2 − 2(m + 1)x + 4m = 0. Tìm m để 1/x1 + 1/x2 = 3/4.
Δ’ = (m + 1)2 − 4m = (m − 1)2 ≥ 0 với mọi m. Để biểu thức có nghĩa cần P = 4m ≠ 0, tức m ≠ 0. Khi đó 1/x1 + 1/x2 = S/P = 2(m + 1)/(4m) = (m + 1)/(2m). Cho bằng 3/4: 4(m + 1) = 6m ⇔ m = 2 (thoả m ≠ 0). Thử lại: x2 − 6x + 8 = 0 có nghiệm 2 và 4, 1/2 + 1/4 = 3/4.
Dạng 4. Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
Cách làm: viết S và P theo m, rồi khử m bằng cách thế hoặc cộng trừ.
Ví dụ 5. Cho x2 − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m.
Δ’ = (m − 1)2 − (2m − 5) = m2 − 4m + 6 = (m − 2)2 + 2 > 0 với mọi m, nên luôn có hai nghiệm phân biệt. Ta có S = 2m − 2 và P = 2m − 5, trừ vế: S − P = 3. Vậy x1 + x2 − x1x2 = 3. Thử với m = 3: x2 − 4x + 1 = 0 có S = 4, P = 1, 4 − 1 = 3.
Mẹo: để chứng minh Δ luôn dương, hãy tách thành bình phương cộng một số dương như trên.
Dạng 5. Hệ thức dạng x1 = kx2 (nghiệm gấp k lần nghiệm kia)
Cách làm: thay x1 = kx2 vào S và P. Ta được (k + 1)x2 = S và kx22 = P, suy ra điều kiện kS2 = (k + 1)2P.
Ví dụ 6. Cho x2 − 3x + m = 0. Tìm m để một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Δ = 9 − 4m ≥ 0. Giả sử x1 = 2x2, từ x1 + x2 = 3 có 3x2 = 3, x2 = 1, x1 = 2. Do đó m = P = 2, thoả Δ = 1 > 0. Kiểm tra bằng công thức: 2S2 = 18 = 9P nên P = 2. ✓.
Dạng 6. Xét dấu các nghiệm
| Yêu cầu | Điều kiện |
|---|---|
| Hai nghiệm trái dấu | ac < 0 (khi đó tự có Δ > 0) |
| Hai nghiệm cùng dấu | Δ ≥ 0 và P > 0 |
| Hai nghiệm dương | Δ ≥ 0, S > 0, P > 0 |
| Hai nghiệm âm | Δ ≥ 0, S < 0, P > 0 |
Ví dụ 7. Cho x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0. Tìm m để (a) hai nghiệm trái dấu; (b) hai nghiệm dương.
(a) P = m − 3 < 0 ⇔ m < 3.
(b) Δ’ = (m − 1)2 − (m − 3) = m2 − 3m + 4 có biệt thức 9 − 16 < 0 nên luôn dương. Cần S = 2(m − 1) > 0 ⇔ m > 1 và P = m − 3 > 0 ⇔ m > 3. Kết hợp: m > 3. Thử m = 4: x2 − 6x + 1 = 0 có hai nghiệm 3 ± 2√2, đều dương.
Dạng 7. Lập phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích
Ví dụ 8. Tìm hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12: hai số là nghiệm của x2 − 7x + 12 = 0, tức 3 và 4.
Ví dụ 9. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2 + √3 và 2 − √3: S = 4, P = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1, nên phương trình là x2 − 4x + 1 = 0.
Dạng 8. Đường thẳng cắt parabol
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm; dùng Vi-ét để xử lý điều kiện về hai giao điểm. Em có thể luyện thêm ở Chuyên đề Parabol luyện thi vào lớp 10.
Ví dụ 10. Cho (P): y = x2 và (d): y = mx + 2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thoả x12 + x22 = 8.
Phương trình hoành độ: x2 − mx − 2 = 0. Vì ac = −2 < 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt. S = m, P = −2, nên x12 + x22 = m2 + 4 = 8 ⇔ m = ±2. Kiểm tra m = 2: x2 − 2x − 2 = 0, S = 2, P = −2, 4 + 4 = 8. ✓
4. Lỗi sai thường gặp khi làm bài Vi-ét
- Không xét Δ: áp dụng Vi-ét khi phương trình vô nghiệm thì kết quả vô nghĩa. Luôn ghi điều kiện trước.
- Nhầm “có nghiệm” với “hai nghiệm phân biệt”: một bên Δ ≥ 0, một bên Δ > 0.
- Quên a ≠ 0 khi hệ số của x2 chứa tham số, ví dụ mx2 − 2x + 1 = 0.
- Chia cho x1, x2 mà không điều kiện khác 0 (xem Ví dụ 4).
- Không đối chiếu nghiệm m với điều kiện của Δ (xem Ví dụ 3, loại m = −5).
- Sai dấu khi tính S: S = −b/a, nên với x2 − 6x + m thì S = +6.
- Bình phương hai vế với hệ thức có giá trị tuyệt đối hoặc hiệu có thể thêm nghiệm ngoại lai; nên thử lại.
5. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Cho x2 − 7x + m = 0. Tìm m để hai nghiệm thoả x1 − x2 = 3.
Bài 2. Cho x2 − 2mx + 2m − 1 = 0. Tìm m để x12 + x22 = 10.
Bài 3. Cho x2 − (2m + 1)x + m2 + m − 6 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và tìm m để hai nghiệm trái dấu.
Bài 4. Cho (P): y = x2 và (d): y = 2x + m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thoả x12 + x22 = 10.
Đáp án và hướng dẫn
- Δ = 49 − 4m > 0. (x1 − x2)2 = 49 − 4m = 9 nên m = 10 (thoả vì 49 − 40 = 9 > 0). Hai nghiệm là 5 và 2.
- Δ’ = (m − 1)2 ≥ 0 với mọi m. S = 2m, P = 2m − 1 nên x12 + x22 = 4m2 − 2(2m − 1) = 4m2 − 4m + 2 = 10 ⇔ m2 − m − 2 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = −1. Cả hai đều thoả. (Nếu đề yêu cầu phân biệt thì cần m ≠ 1; hai giá trị này vẫn nhận.)
- Δ = (2m + 1)2 − 4(m2 + m − 6) = 25 > 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt (là m + 3 và m − 2). Trái dấu khi P = (m + 3)(m − 2) < 0 ⇔ −3 < m < 2.
- Phương trình hoành độ x2 − 2x − m = 0 có Δ’ = 1 + m > 0 ⇔ m > −1. S = 2, P = −m nên x12 + x22 = 4 + 2m = 10 ⇔ m = 3 (thoả m > −1).
6. Lộ trình ôn luyện
Em nên làm theo thứ tự: nắm chắc bảng biến đổi, làm thành thạo Dạng 1–3, sau đó mới sang Dạng 4–8 vốn hay xuất hiện ở câu cuối của đề tuyển sinh. Để luyện thêm, em có thể làm Bài tập Hệ thức Vi-et và ứng dụng, thử sức với trắc nghiệm Hệ thức Vi-ét và ứng dụng hoặc xem Bài tập ôn thi học kì 2 lớp 9 – Hệ thức Viét và ứng dụng. Khi đã quen tay, hãy bấm giờ giải một đề hoàn chỉnh trong bộ 10 đề thi vào lớp 10 môn Toán để rèn tốc độ.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào được dùng hệ thức Vi-ét?
Khi phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm, tức Δ ≥ 0. Vì vậy trong bài có tham số luôn phải tìm điều kiện của Δ trước, rồi mới viết tổng và tích hai nghiệm.
Đề nói "hai nghiệm phân biệt" và "có nghiệm" khác nhau thế nào?
"Hai nghiệm phân biệt" yêu cầu Δ > 0 (hoặc Δ' > 0). "Có nghiệm" hoặc "có hai nghiệm x1, x2" chỉ cần Δ ≥ 0, gồm cả trường hợp nghiệm kép.
Làm sao tính x1³ + x2³ theo tổng và tích?
Dùng x1³ + x2³ = (x1 + x2)³ − 3x1x2(x1 + x2) = S³ − 3SP. Sau đó thay S, P theo tham số m rồi giải phương trình.
Giải xong tìm được m thì có cần thử lại không?
Có. Em phải đối chiếu giá trị m với điều kiện Δ (và các điều kiện như x1, x2 khác 0, a ≠ 0) rồi mới kết luận, nếu không có thể nhận nhầm giá trị không thoả đề.