Bài toán lãi suất ôn thi vào lớp 10: lãi đơn, lãi kép, gửi hàng tháng

1. Các đại lượng cần nắm

• Vốn (gốc) A: số tiền ban đầu gửi hoặc vay.
• Lãi suất r: tỉ lệ phần trăm sinh ra trong mỗi kì hạn. Lãi suất 6%/năm tương ứng r = 0,06 mỗi năm, hoặc 0,5% mỗi tháng nếu chia đều theo tháng.
• Kì hạn: khoảng thời gian cố định mà ngân hàng tính lãi (tháng, quý, 6 tháng, năm).
• Số kì n: tổng thời gian gửi chia cho độ dài một kì.
• S: tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được sau n kì.

Mẹo quan trọng: luôn đổi r và n về cùng một đơn vị thời gian trước khi thay vào công thức.

2. Ba dạng chính

Dạng 1. Lãi đơn

Tiền lãi mỗi kì luôn bằng A·r, kì trước sinh ra lãi không được tính lại. Sau n kì: S = A + n·A·r = A(1 + n·r). Đây là hàm bậc nhất theo n, đồ thị là đường thẳng.

Dạng 2. Lãi kép

Hết một kì, tiền lãi được nhập vào vốn. Sau kì 1: A(1 + r); sau kì 2: A(1 + r)²; tổng quát sau n kì: S = A(1 + r)ⁿ. Đây là dạng “lãi mẹ đẻ lãi con”, tăng nhanh dần.

Dạng 3. Gửi tiền hàng tháng

Đầu mỗi tháng gửi thêm A đồng, lãi kép r mỗi tháng. Số tiền sau n tháng: S = A/r · [(1 + r)ⁿ − 1] · (1 + r). Dạng này thường xuất hiện ở lớp 12; ở đề vào lớp 10 thường chỉ gặp dạng 1 và 2, nên em cần nắm chắc hai dạng đầu.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 (tìm số tiền nhận được). Bác Lan gửi 250 triệu đồng, lãi kép 5%/năm. Hỏi sau 3 năm bác nhận được bao nhiêu tiền?

Giải: S = 250 000 000 × (1 + 0,05)³ = 250 000 000 × 1,157625 = 289 406 250 đồng. Tiền lãi là 289 406 250 − 250 000 000 = 39 406 250 đồng.

Ví dụ 2 (tìm vốn ban đầu). Sau 2 năm gửi lãi kép 8%/năm, ông Nam nhận được 135 triệu đồng. Hỏi ông đã gửi bao nhiêu?

Giải: 135 000 000 = A × 1,08² = A × 1,1664. Suy ra A = 135 000 000 : 1,1664 ≈ 115 740 741 đồng (làm tròn đến đồng).

Ví dụ 3 (kì hạn nhỏ hơn năm). Gửi 80 triệu đồng, lãi suất 6%/năm, kì hạn 6 tháng, lãi kép. Sau 2 năm được bao nhiêu?

Giải: Mỗi kì 6 tháng có lãi suất 6% : 2 = 3% = 0,03. Hai năm có 4 kì. S = 80 000 000 × 1,03⁴ ≈ 80 000 000 × 1,12550881 ≈ 90 040 705 đồng.

Ví dụ 4 (tìm thời gian). Gửi lãi kép 7%/năm, sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền gấp đôi?

Giải: Cần (1,07)ⁿ ≥ 2. Thử: 1,07¹⁰ ≈ 1,967 (chưa đủ); 1,07¹¹ ≈ 2,105 (đủ). Vậy cần ít nhất 11 năm. Với kiến thức lớp 12, n ≥ ln2 : ln1,07 ≈ 10,24.

4. Lỗi sai thường gặp

• Dùng r = 6 thay vì 0,06 khi tính (phải đổi phần trăm sang số thập phân).
• Nhầm lãi đơn với lãi kép: đề có cụm “lãi nhập vào vốn”, “lãi mẹ đẻ lãi con” nghĩa là lãi kép.
• Quên đổi kì hạn: lãi 6%/năm kì hạn 3 tháng thì mỗi kì chỉ có 1,5%, và 1 năm có 4 kì.
• Làm tròn quá sớm: nên giữ nhiều chữ số thập phân khi tính luỹ thừa, chỉ làm tròn ở bước cuối.
• Nhầm giữa số tiền cả vốn lẫn lãi S và tiền lãi (S − A).

5. Mẹo giải nhanh khi thi

1. Gạch chân từ khoá: lãi đơn hay lãi kép, kì hạn, tổng thời gian.
2. Lập bảng ngắn: A, r, n, S; cái nào chưa biết là ẩn.
3. Viết công thức rồi mới thay số, tránh sai thứ tự phép tính.
4. Dùng máy tính cầm tay: nhập 1,05 ^ 3 rồi nhân với vốn.
5. Ước lượng để kiểm tra: lãi kép luôn lớn hơn hoặc bằng lãi đơn trong cùng điều kiện.

6. Bài tự luyện (có đáp án)

1. Gửi 120 triệu đồng, lãi đơn 5%/năm. Sau 3 năm nhận bao nhiêu?
   Đáp án: 120 000 000 × (1 + 3 × 0,05) = 138 000 000 đồng.
2. Cũng 120 triệu đồng, lãi kép 5%/năm, sau 3 năm nhận bao nhiêu?
   Đáp án: 120 000 000 × 1,05³ = 138 915 000 đồng, nhiều hơn lãi đơn 915 000 đồng.
3. Gửi 100 triệu đồng, lãi kép, sau 2 năm được 121 triệu. Tìm lãi suất mỗi năm.
   Đáp án: (1 + r)² = 1,21 nên 1 + r = 1,1, r = 10%.
4. Vay 200 triệu đồng, lãi kép 1%/tháng. Sau 3 tháng phải trả cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu?
   Đáp án: 200 000 000 × 1,01³ = 206 060 200 đồng.
5. Mỗi tháng gửi đầu tháng 2 triệu đồng, lãi kép 0,5%/tháng. Sau 12 tháng nhận bao nhiêu?
   Đáp án: S = 2 000 000/0,005 × (1,005¹² − 1) × 1,005 ≈ 24 794 480 đồng.

Câu hỏi thường gặp

Công thức lãi kép là gì?

S = A(1 + r)^n, trong đó A là vốn, r là lãi suất mỗi kì dạng thập phân và n là số kì. Lãi mỗi kì được cộng vào vốn để sinh lãi cho kì sau.

Lãi đơn khác lãi kép chỗ nào?

Lãi đơn chỉ tính trên số vốn gốc ban đầu, S = A(1 + n·r). Lãi kép tính cả trên tiền lãi đã nhập vào vốn nên tăng nhanh hơn.

Lãi suất 6%/năm, kì hạn 6 tháng thì mỗi kì bao nhiêu phần trăm?

Mỗi kì là 3%. Đổi kì hạn xong mới tính số kì, ví dụ 2 năm có 4 kì.

Bài toán lãi suất có hay ra trong đề thi vào lớp 10 không?

Dạng toán thực tế này thường xuất hiện ở mức vận dụng với lãi đơn hoặc lãi kép vài kì. Em nên chắc công thức và rèn kĩ năng lập phương trình tìm lãi suất hoặc vốn.

Bài học liên quan

• Bất phương trình dạng tích, thương: phương pháp giải và bài tập vận dụng
• So sánh P với 1: so sánh biểu thức chứa căn với một số
• Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: cách làm và bài tập
• Các phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy (có ví dụ)
• 50 bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có đáp án (Toán 9)
• 50 bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án