Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Chứng minh về cực trị của hàm số Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 3 trang, tuyển chọn 6 bài tập Chứng minh về cực trị của Hàm số đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
Bài giảng Toán học 12 Bài 2: Cực trị của hàm số
CHỨNG MINH VỀ CỰC TRỊ
I. Phương pháp giải
Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\].
Khi đó, nếu f có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì \[f'\left( {{x_0}} \right) = 0\].
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu:
- Cho \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên khoảng (a;b) chứa \[{x_0}\], có đạo hàm trên các khoảng \[\left( {a;{x_0}} \right)\]và \[\left( {{x_0};b} \right)\]:
Nếu \[f'\left( x \right)\] đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại \[{x_0}\]
Nếu \[f'\left( x \right)\] đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại \[{x_0}\].
- Cho \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa \[{x_0}\]:
Nếu \[f'\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[f''\left( {{x_0}} \right) > 0\] thì f đạt cực tiểu tại \[{x_0}\]
Nếu \[f'\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[f''\left( {{x_0}} \right) < 0\] thì f đạt cực đại tại \[{x_0}\].
Chú ý:
1) Giá trị cực đại (cực tiểu) \[f\left( {{x_0}} \right)\] của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D; \[f\left( {{x_0}} \right)\] chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) nào đó chứa điểm \[{x_0}\].
2) Bài toán đơn điệu, cực trị không được đặt ẩn phụ.
II. Ví dụ minh họa
Bài toán 1. Chứng minh hàm số \[f\left( x \right) = \left| x \right|\] không có đạo hàm tại \[x = 0\] nhưng đạt cực trị tại điểm đó.
Giải
Hàm số xác định và liên tục tại \[\mathbb{R}\]. Ta có:
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\,\,khi\,\,x < 0\\x\,\,khi\,\,x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\]
Do đó hàm số không có đạo hàm tại \[x = 0\] và BBT
Vậy hàm số đạt CT\[\left( {0;0} \right)\].
Bài toán 2. Chứng minh hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2x\,\,khi\,\,x < 0\\\sin \frac{x}{2}\,\,khi\,\,x \ge 0\end{array} \right.\]
không có đạo hàm tại \[x = 0\] nhưng đạt cực trị tại điểm đó.
Giải
Hàm số xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Ta có: \[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2x\,\,khi\,\,x < 0\\\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\]
nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f'\left( x \right) = - 2 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f'\left( x \right) = \frac{1}{2}\], do đó f không có đạo hàm tại \[x = 0\].
BBT trên khoảng \[\left( { - \pi ;\pi } \right)\].
Vậy hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\] và
Bài toán 3. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:
\[y = {x^3} + a{x^2} - \left( {1 + {b^2}} \right)x + 2a + b - 3ab\] với mọi a, b.
Giải
\[D = \mathbb{R}\]. Ta có \[y' = 3{x^2} + 2ax - 1 - {b^2}\]
\[\Delta ' = {a^2} + 3\left( {1 + {b^2}} \right) > 0,\forall a,\forall b\] nên \[y' = 0\] luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\].
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài toán 4. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:
\[y = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\] với mọi a, b, c thỏa mãn \[a < b < c\].
Giải
\[D = \mathbb{R}\]. \[y' = \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\]
\[ = 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca\]
\[\Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] > 0\] với \[a < b < c\].
Do đó \[y' = 0\] có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu 2 lần khi qua 2 nghiệm nên luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài toán 5. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:
\[y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 2}}{{x + m}}\] với mọi m
Giải
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\]. Ta có: \[y' = \frac{{{x^2} + 2mx + 2m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\]
Xét hàm số \[g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m - 2\].
Ta có \[\Delta ' = {m^2} - 2m + 2 > 0,\forall m\] và \[g\left( { - m} \right) = - {m^2} + 2m - 2 \ne 0,\forall m\].
Do đó \[y' = 0\] luôn có hai nghiệm phân biệt khác \[ - m\], \[y'\] đổi dấu hai lần khi qua 2 nghiệm, vậy hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài toán 6. Chứng minh đồ thị \[y = \frac{{{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m + 4}}{{2\left( {x + m} \right)}}\] luôn luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu không đổi.
Giải
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\]. Ta có \[y' = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 4}}{{2{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} - 4 = 0,x \ne - m\]
Vì \[\Delta ' = 4 > 0,\forall m\] và \[g\left( { - m} \right) = - 4 \ne 0,\forall m\] nên đồ thị hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. Hai cực trị \[A\left( { - m - 2; - \frac{3}{2}} \right),B\left( { - m + 2;\frac{5}{2}} \right)\].
Khoảng cách \[AB = \sqrt {16 + 16} = 4\sqrt 2 \]: không đổi.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
