Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập trắc nghiệm về cực trị của hàm số, tài liệu bao gồm 30 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho bài thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài giảng Toán học 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án - Toán 12

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Phần 1. Các bài toán cực trị không chứa tham số

Đầu tiên chúng ta cùng nghiên cứu các bài tập tìm cực trị của hàm số không chứa tham số, các bài tập này khá đơn giản. Thường có hai cách để tìm cực trị của hàm số như sau:

Cách 1.

Bước 1: tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: tính đạo hàm và giải phương trình y' = 0.

Bước 3: lập bảng biến thiên và quan sát kết luận. Nếu hàm số xác định tại x₀ và đạo hàm đổi dấu từ - sang + thì x₀ là điểm cực tiểu, ngược lại đạo hàm đổi dấu từ + sang - thì x₀ là điểm cực đại.

Cách 2.

Bước 1: tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: tính đạo hàm và giải phương trình y' = 0 được các nghiệm x₁, x₂, x₃,... ,x_n.

Bước 3: kiểm xem nếu y''(x_i) > 0 thì x_i điểm cực tiểu với i = 1, 2, 3,..., n, ngược lại nếu y''(x_i) > 0 thì x_i điểm cực đại.

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

B. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

C. Hàm số có giá tri cực đại bằng 3.

D. Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 2. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x₀ và f(x) liên tục tại x₀ thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.

B. Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x₀ khi và chỉ khi x₀ là nghiệm của đạo hàm.

C. Nếu f'(x₀) = 0 và f ''(x₀) = 0 thì x₀ không phải là cực trị của hàm số y = f(x) đã cho.

D. Nếu f'(x₀) = 0và f ''(x₀) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại x₀.

Câu 2. Cho khoảng (a;b) chứa điểm 0 x , hàm số f x( ) có đạo hàm trong khoảng (a;b) (có thể từ điểm x₀). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu f(x) không có đạo hàm tại x₀ thì f(x) không đạt cực trị tại x₀.

B. Nếu f'(x) = 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x₀.

C. Nếu f'(x) = 0 và f''(x) = 0 thì f(x) không đạt cực trị tại điểm x₀.

D. Nếu f'(x) = 0 và f''(x) ¹ 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x₀.

Câu 3. Phát biểu nào dưới đây là sai?

A. Nếu tồn tại số h sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x Î (x₀ - h; x₀ + h) và x ¹ x₀, ta nói rằng hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.

B. Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ - h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x₀}, với h > 0 . Khi đó nếu f'(x) < 0 trên (x₀ - h; x₀) và f'(x) > 0 trên khoảng (x₀;x_{0 ­}+h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

C. x = a là hoành độ điểm cực tiểu khi và chỉ khi y'(a) = 0; y''(a) > 0

D. Nếu M(x₀;f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì y₀ = f(x₀) được gọi là giá trị cực trị của hàm số.

Câu 4. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b). Tìm mệnh đề sai?

A. Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì hàm số không có cực trị trên khoảng (a;b).

B. Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì hàm số không có cực trị trên khoảng (a;b).

C. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ Î (a;b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x₀;f(x₀)) song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ Î (a;b) thì f(x) đồng biến trên (a;x₀) và nghịch biến trên (x₀;b).

Câu 5. Cho khoảng (a;b) chứa m . Hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b). Có các phát biểu sau đây:

(1) m là điểm cực trị của hàm số khi f'(m) = 0.

(2) f(x) ³ f(m), "x Î (a;b) thì x = m là điểm cực tiểu của hàm số.

(3) f(x) < f(m), "x Î (a;b) \ {m} thì x = m là điểm cực đại của hàm số.

(4) f(x) ³ M, "x Î (a;b) thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b).

Số phát biểu đúng là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 6. Giá trị cực đại y_CĐ của hàm số y = x³ – 3x + 2 ?

A. y_CĐ = 4

B. y_CĐ = 1

C. y_CĐ = 0

D. y_CĐ = -1

Câu 7. Hàm số y = x³ – 5x² + 3x + 1 đạt cực trị khi:

A. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 3}\\{x =  - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\]

B. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \frac{{10}}{3}}\end{array}} \right.\]

C. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  - \frac{{10}}{3}}\end{array}} \right.\]

D. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\]

Câu 8. Đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² có hai điểm cực trị là:

A. (0;0) hoặc (1; -2).

B. (0;0) hoặc (2;4).

C. (0;0) hoặc (2; -4).

D. (0;0) hoặc (-2; -4).

Câu 9. Hàm số y = x³ – 3x + 1 đạt cực đại là:

A. x =-1.

B. x = 0.

C. x =1.

D. x = 2.

Câu 10. Hàm số y = x³ + 4x² – 3x + 7  đạt cực tiểu tại x_CT. Kết luận nào sau đây đúng?

A. \[{x_{CT}} = \frac{1}{3}\]

B. \[{x_{CT}} =  - 3\]

C. \[{x_{CT}} =  - \frac{1}{3}\]

D. \[{x_{CT}} = 1\]

Câu 11. Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại y_CĐ và giá trị cực tiểu y_CT của hàm số

y = x³ – 3x là:

A. y_CT = 2y_CĐ

B.

C. y_CT = y_CĐ

D. y_CT = -y_CĐ

Câu 12. Cho hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 4. Nếu hàm số đạt cực đại tại x₁ và cực tiểu tại x₂ thì tích của y(x₁).y(x₂) có giá trị bằng:

A. – 302.

B. – 82.

C. – 207.

D. 25.

Câu 13. Khoảng cách giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm sốy = (x+1)(x-2)² là:

A. \[2\sqrt 5 \].

B. 2.

C. 4.

D. \[5\sqrt 2 \].

Câu 14. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào đi qua trung điểm đoạn thẳng nối các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 1?

A. y = 2x - 3.

B. \[y =  - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\]

C. y = 2x + 3.

D. y = -2x - 1.

Câu 15. Đồ thị hàm số y= -x⁴ + 2x² + 3 có

A. 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

B. 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

C. 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

D. 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.

Câu 16. Đồ thị hàm số y = x⁴ – x² + 1 có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ dương?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 17. Cho hàm số f(x) = (x² – 3)². Giá trị cực đại của hàm số f'(x) bằng:

A. 8.

B. -8.

C. 0.

D. \[\frac{1}{2}\].

Câu 18. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Nếu f'(x) đỗi đấu từ dương sang âm khi x qua điểm x₀ và f(x) liên tục tại x₀ thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x₀ .

B. Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x₀ khi và chỉ khi x₀ là nghiệm của đạo hàm.

C. Nếu f'(x) = 0 và f''(x₀) = 0 thì x₀ không phãi là cực trị của hàm số y = f(x) đã cho.

D. Nếu f'(x) = 0 và f''(x) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại x₀.

Câu 19. Cho khoảng (a;b) chứa điểm x₀, hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) (có thể trừ điểm x₀). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu f(x) không có đạo hàm tại x₀ thì f(x) không đạt cực trị tại x₀.

B. Nếu f'(x) = 0 thì f(x) đạt cực trị tại x₀.

C. Nếu f'(x) = 0 và f''(x) = 0 thì f(x) không đạt cực trị tại x₀.

D. Nếu f'(x) = 0 có nghiệm x₀ và f''(x) ¹ 0 thì f(x) đạt cực trị tại x₀.

Câu 20. Đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

A.?(−1; 10).

B. ?(0; −1).

C. N(1; -10)

D. ?(1; 0).

Câu 21. Phát biểu nào dưới đây là sai?

A. Nếu tồn tại số h sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x Î (x₀ - h; x₀ + h) và x ¹ x₀, ta nói rằng hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.

B. Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ - h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x₀}, với h > 0 . Khi đó nếu f'(x) < 0 trên (x₀ - h; x₀) và f'(x) > 0 trên khoảng (x₀;x_{0 ­}+h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

C. x = a là hoành độ điểm cực tiểu khi và chỉ khi y'(a) = 0; y''(a) > 0

D. Nếu M(x₀;f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì y₀ = f(x₀) được gọi là giá trị cực trị của hàm số.

Câu 22. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b). Tìm mệnh đề sai?

A. Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì hàm số không có cực trị trên khoảng (a;b).

B. Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì hàm số không có cực trị trên khoảng (a;b).

C. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ Î (a;b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x₀;f(x₀)) song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ Î (a;b) thì f(x) đồng biến trên (a;x₀) và nghịch biến trên (x₀;b).

Câu 23: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

A. M(0; 2)    B. N(-2; -14)

C. P(2; -14)     D. N(-2; -14) và P(2; -14)

Dựa vào định nghĩa cực trị.

Chọn đáp án A.

Câu 24: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có đúng hai cực trị

B. Hàm số có điểm cực tiểu là -2

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1

Dựa vào định nghĩa cực trị và bảng biến thiên.

Chọn đáp án D.

Câu 25: Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x³ + ax² + bx + c có giá trị bằng 0 khi x = 1 và đạt cực trị khi bằng 0 khi x = -1 .

Sử dụng giả thiết và điều kiện cần của cực trị ta có

y(1) = 0; y'(-1) = 0; y(-1) = 0

Trong đó , y' = 3x² + 2ax + b

Từ đó suy ra:

Với a = 1; b = -1; c = -1 thì hàm số đã cho trở thành y = x³ + x² - x - 1

Ta có y' = 3x² + 2x - 1, y'' = 6x + 2. Vì y''=(-1) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1 . Vậy a = 1; b = -1; c = -1 là các giá trị cần tìm.

Chọn đáp án C.

Câu 26: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu f'(x₀) = 0 thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

B. Nếu f'(x₀) = 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

C. Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

D. Nếu f(x) có đạo hàm tại x₀ và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

Xem lại điều kiện cần và đủ để có cực trị của hàm số.

Chọn đáp án D.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 2x² +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1.

A.m = -1    B. m = 1     C. m = 4/3     D. Không tồn tại.

Ta có y' = 3x₂ - 4x + m

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì y'(1) = 0 ⇒ 3.1² - 4.1 + m = 0 ⇒ m = 1

Với m = 1 thì hàm số đã cho trở thành y = x³ - 2x² + x + 1

Ta có y' = 3x² - 4x + 1, y'' = 6x - 4 Vì y''(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Do vậy không có m thỏa mãn. Chọn đáp án D.

Chú ý. Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'(1) = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B.

Câu 28: Cho hàm số y = x³ - 2x² + 3. Điểm M(0; 3) là:

A. Cực đại của hàm số     C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số

B. Điểm cực đại của hàm số     D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Ta có: y' = 3x² -4x; y'' = 6x - 4;

y''(0) = -4 < 0

Do đó, điểm M(0;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án C.

Chú ý. Phân biệt các khái niệm: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu 29: Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin²x + √3cosx + 1 với x ∈ (0; π)

A. x = 0     B. x = π     C. π/6    D. π/3

Ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 30: Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các phát biểu sau?

1. Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

2. Hàm số không liên tục tại x = 0.

3. Hàm số không có cực trị tại x = 0.

4. Hàm số đạt cực trị tại x = 0.

A. 0     B. 1     C. 2     D. 3.

Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ.

Từ đồ thị trong hình ta có hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0

Do đó mệnh đề 1 và 4 đúng. Chọn đáp án C

Câu 31: Cho hàm số y = -3x⁴ - 2x³ + 3

Hàm số có

A. Một cực đại và hai cực tiểu

B. Một cực tiểu và hai cực đại

C. Một cực đại và không có cực tiểu

D. Một cực tiểu và một cực đại.

Ta có y' = -12x³ - 4x

Xét y'=0 => x = 0

Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0. Chọn đáp án C.

Câu 32: Cho hàm số y = x⁴ - 2(m - 1)x² + m². Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông

A. m = 0

B.m= 1

C. m= -1

D. m = 2

C. y = a²x⁴ - 2x² + 3     D. y = x⁴ + 2x² + 3a

Câu 33: Cho hàm số f có đạo hàm là f'(x) = x(x+1)²(x-2)⁴ với mọi x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số f là:

A. 0     B. 1     C. 2     D.3

Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Vậy hàm số có một cực trị

Câu 34: Điểm cực đại của hàm số y = -x³ - 3x² + 1 là:

A. x = 0     B. x = -2     C. x = 2    D. Không tồn tại

Ta có y' = -3x² - 6x, y'' = -6x - 6 .

Xét

y''(0) = -6 < 0; y''(-2) = 6 > 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0

Câu 35: Điểm cực tiểu của hàm số y = x⁴ + 4x² + 2 là:

A. x = 1     B. x = √2     C. x = 0     D. Không tồn tại

Ta có: y' = 4x³ + 8x, y'' = 12x² + 8. y' = 0 <=> 4x(x² + 2) = 0 <=> x = 0

y''(0) = 2 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Câu 36: Cho hàm số y = x³ - 2x² - 1 (1) và các mệnh đề

(1) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 hoặc x = 4/3

(2) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3

(3) Điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3

(4) Cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:

A.0     B.1     C.2     D.3

Ta có: y' = 3x² - 4x, y'' = 6x - 4;

y''(0) = -4 < 0; y''(4/3) = 4 > 0. Do đó hàm số có hai cực trị là x = 0 và x = 4/3

Các mệnh đề (1); (2) và (3) sai;mệnh đề (4) đúng.

Câu 37: Cho hàm số y = x⁴ - 2x² - 2 (2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số (2) đạt cực đại tại y = -2

B. Hàm số (2) đạt giá trị cực đại tại y = -2

C. Đồ thị hàm số (2) có điểm cực đại là y = -2

D. Hàm số (2) có giá trị cực đại là y = -2

Ta có: y' = 4x³ - 4x, y'' = 12x² - 4

y''(-1) = 8 > 0; y''(1) = 8 > 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0 và có giá trị cực đại là y(0)=-2

Câu 38: Hàm số y = cosx đạt cực trị tại những điểm

y' = -sinx; y'' = -cosx. y' = 0 <=> -sinx = 0 <=> x = kπ

y''(kπ) = ±1. Do đó hàm số đạt cực trị tại x = kπ

Câu 39: Với giá trị nào của m, hàm số y = x³ - 2x² + mx - 1 không có cực trị?

y' = 3x² - 4x + m. Hàm số không có cực trị <=> y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép <=> Δ' ≤ 0 <=> 2² - 3m ≤ 0 <=> m ≥ 4/3

Do đó hàm số không có cực trị khi m ≥ 4/3

Câu 40: Với giá trị nào của m, hàm số y = -mx⁴ + 2(m - 1)x² + 1 - 2m có một cực trị

A.0 ≤ m ≤ 1     B. m > 1 hoặc m < 0     C. 0 < m < 1     D. 0 < m ≤ 1

Xét hàm số y = -mx⁴ +2(m - 1)x² + 1 - 2m(1)

TH1: m = 0 (1) trở thành y = -2x² + 1

Vậy với m = 0 hàm số luôn có một cực trị.

TH2: m ≠ 0. y' = -4mx³ + 4(m - 1)x

Để hàm số (1) có một cực trị thì

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

Kết hợp cả hai trường hợp ta có 0 ≤ m ≤ 1

Câu 41: Giá trị của m để hàm số y = x³ - 3mx² + (m² - 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là:

A. m = 1     B. m = 11     C. m = -1     D. Không tồn tại

y' = 3x² - 6mx + m² - 1; y'' = 6x - 6m

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi

Câu 42: Với giá trị nào của m, hàm số y = (x - m)³ - 3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0?

A. m = 1    B. m = -1     C. m = 0     D. Không tồn tại

Xét y = x³ - 3mx² + (3m² - 3)x - m²

Ta có: y' = 3² - 6mx + 3m² - 3, y'' = 6x - 6m

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 khi

Câu 43: Với giá trị nào của m, hàm số y = x³ + 2(m - 1)x² + (m² - 4m + 1)x + 2(m² + 1) có hai điểm cực trị x₁,x₂ thỏa mãn

A. m = 1/2    B. m = 2     C. m = 1/2 hoặc m = 2     D. Không tồn tại

Ta có y' = 3x² + 4(m - 1)x + m² - 4m + 1. Hàm số có hai cực trị

=> y' = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> 4(m - 1)² - 3(m² - 4m + 1) > 0

<=> m² + 4m + 1 > 0

Áp dụng Vi-ét cho phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ta có :

Đối chiếu điều kiện (*) có m = 5 hoặc m = 1

Câu 44: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 3(m² - 1)x - m ³ + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O là gốc tọa độ?

Ta có y' = 3x² - 6mx + 3(m² - 1).

Hàm số có hai cực trị => y' = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> (3m)² - 3.3(m² - 1) > 0 <=> 9 > 0 đúng với mọi m. Ta có điểm cực đại là B(m - 1; -2m + 2) và cực tiểu là C(m + 1; -2m - 2)

Câu 45: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + m có hai điểm cực trị B, C thẳng hàng với điểm A(-1;3)?

A. m = 0     B. m = 1     C. m = -3/2     D. m = -3/2 hoặc m = 1

y’= 3x² - 6mx = 3x(x - 2m)

Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m ≠ 0 (*)

Tọa độ hai điểm cực trị là B(0;m) và C(2m;-4m³ + m)

AB→ =(1;m – 3); AC→ =(2m+1; -4m³ + m-3)

A, B, C thẳng hàng

Câu 46: Cho hàm số y = x³ - 3x² - 6x + 8 (C). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là:

A. y = 6x - 6     B. y = -6x - 6     C. y = 6x + 6     D. y = -6x + 6

Cách 1: Ta có y’=3x²-6x-6 ; y”=6x - 6

Do đó đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(1 + √3; -6√3) và B(1 - √3; 6√3) .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Cách 2: Ta có:

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình y’(x)= 3x²-6x-6=0 . Khi đó ta có A(x₁, y(x₁)), BA(x₂, y(x₂)) là hai cực trị của đồ thị hàm số C với y'(x₁) = y'(x₂) = 0 .

Do đó ta có:

Vậy A, B thuộc đường thẳng y= - 6x+6.

Câu 47: Cho hàm số y = x³ -3x² - 9x + 4. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên là:

A. y = -8x + 1     B. y = x + 7     C. y = -x + 1     D. Không tồn tại

y' = 3x² - 6x - 9, y'' = 6x - 6

Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(-1;9) và B(3;-23).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Câu 48: Với giá trị nào của m, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 3mx + 1 - m tạo với đường thẳng Δ: 3x + y - 8 = 0 một góc 45^o ?

A. m = 0    B. m = 2    C.m = 3/4    D. m = 2 hoặc m = 3/4

Ta có y' = 3x² - 6x + 3m. Hàm số có hai điểm cực trị <=> y’=0 có hai nghiệm phân biệt

<=> Δ' = 3² -3.3m > 0 <=> m < 1 (*)

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của y’=0

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng (d) : y= (2m-2)x+1

(d) có vectơ pháp tuyến là n₁→ = (2m - 2; -1)

(Δ) : 3x+y-8=0 có vectơ pháp tuyến là n₂→(3; 1)

Vì góc giữa đường thẳng (d) và (Δ) là 45^o nên

Đối chiếu điều kiện (*) có m = 3/4

Câu 49: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ + 3x² + m²x + m có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng:

A. m = 0    B. m = 1     C. m = -1    D. Không tồn tại

y' = 3x² + 6x + m² . Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' = 3² - 3.m² > 0 <=> -√3 < m < √3

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của y’=0.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng

(d) có vectơ pháp tuyến là

 

Vì hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (Δ) nên (d) ⊥ (Δ)

Thử lại khi m=0 ta có: y = x³ + 3x²; y' = 3x² + 6x; y'' = 6x + 6

y''(0) = 6 > 0; y''(-2) = -6 < 0

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là O(0;0), A(-2;4)

Trung điểm của OA là I(-1;2).

Ta thấy I(-1,2) không thuộc đường thẳng (Δ) . Vậy không tồn tại m.

Câu 50: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x⁴ - 2mx² + m ⁴ + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều?

A. m = 0     B. m = ∛3    C.-∛3     D. Không tồn tại

y' = 4x³ - 4mx = 4x(x² - m)

Hàm số có ba điểm cực trị => y’=0 có ba nghiệm phân biệt <=> m > 0.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là :

A(0; m⁴ + 2m), B(-√m; m⁴ - m² + 2m), C(√m; m⁴ - m² + 2m)

ΔABC đều khi AB=AC

Đối chiếu với điều kiện tồn tại cực trị ta có m = ∛3 là giá trị cần tìm.