Từ đồ thị hàm số ta thấy, tại $x=0$ hàm số có giá trị lớn nhất bằng $1$.

Xét dấu đạo hàm:

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Tại $x=1$ hàm số có giá trị lớn nhất bằng ${\displaystyle \frac{4}{3}}$

Tại $x=3$ hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $0$.

Xét dấu đạo hàm:

$y=-2x+1;$

$y={\displaystyle \frac{x{(x-3)}^2}{3}}(H.8)$

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$\begin{array}{rl}& y^{\prime }=6{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-36;y^{\prime }=0\\ & \iff [\begin{array}{c}x=2\Rightarrow y=-54\hfill \\ x=-3\Rightarrow y=71\hfill \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0\iff x\in \left(-3;2\right)\\ y^{\prime }>0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };-3\right)\cup \left(2;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và  $y$CĐ $=71$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và $y$CT $=-54$

b)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=4{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}=4\mathrm{x}\left(x^2+1\right)$;

$y^{\prime }=0\iff x=0\Rightarrow y=-3$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }>0\Rightarrow x>0\\ y^{\prime }<0\Rightarrow x<0\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $y$CT $=-3$

c)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$\ { 0 }

$\begin{array}{rl}& y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2};y^{\prime }=0\\ & \iff x^2-1=0\iff [\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=2\hfill \\ x=-1\Rightarrow y=-2\hfill \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0\iff x\in \left(-1;1\right)\\ y^{\prime }>0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };-1\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, $y$CĐ $=-2$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, $y$CT  $=2$

d)

Tập xác định $D=\mathbb{R}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(x^3\right)}^{\prime }{\left(1-x\right)}^2+x^3{\left[{\left(1-x\right)}^2\right]}^{\prime }\\ =3x^2{\left(1-x\right)}^2+x^3.2\left(1-x\right){\left(1-x\right)}^{\prime }\\ =3x^2{\left(1-x\right)}^2+2x^3\left(1-x\right)\left(-1\right)\\ =3x^2{\left(1-x\right)}^2-2x^3\left(1-x\right)\\ =x^2\left(1-x\right)\left[3\left(1-x\right)-2x\right]\\ =x^2\left(1-x\right)\left(3-3x-2x\right)\\ =x^2\left(1-x\right)\left(3-5x\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=0\hfill \\ x=\frac{3}{5}\Rightarrow y=\frac{108}{3125}\hfill \\ x=0\Rightarrow y=0\hfill \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0\iff x\in \left(\frac{3}{5};1\right)\\ y^{\prime }>0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{3}{5}\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{3}{5};y=\frac{108}{3125}$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, $y$CT =$0$

e)

Vì  $x^2$ –$x+1>0,\forall \in \mathbb{R}$ nên tập xác định : $D=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=\frac{2\mathrm{x}-1}{2\sqrt{x^2-x+1}};y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }>0\iff x>\frac{1}{2};y^{\prime }<0\iff x<\frac{1}{2}\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{2};y_{CT}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x_i\left(i=1,2,...,n\right)$ là các nghiệm của nó.

$f^{″}\left(x\right)$ và $f^{″}\left(x_i\right)$.

Bước 4: Dựa vào dấu của $f^{″}\left(x_i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Lời giải:

a)

TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ ;

$y^{\prime }=0$ $\iff 4x(x^2-1)=0$ $\iff x=0,x=\pm 1$.

$y^{″}=12x^2-4$.

$y^{″}(0)=-4<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$,

$y$CĐ  = $y(0)=1$.

$y^{″}(\pm 1)=8>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$,

$y$CT  =  $y(\pm 1)$ = 0.

b)

TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=2\cos 2x-1$ ;
$y^{\prime }=0\iff \cos 2x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\iff 2x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi$

$\iff x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi .$

$y^{″}=-4\sin 2x$.

$y^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi \right)=-4\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi \right)$

$=-2\sqrt{3}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$,

$y$CĐ  = $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi )-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$.

$y^{″}\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi \right)=-4\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi \right)$

$=2\sqrt{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$,

$y$CT = $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi )+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ =$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$.

c)

TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$;

$y^{\prime }=\sqrt{2}\cos \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$ ;

 $y^{\prime }=0\iff \cos \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=0\iff$$x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi .$

$y^{″}=-\sqrt{2}\sin \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right).$

$y^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi \right)=-\sqrt{2}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$

$=-\sqrt{2}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \right)$

$=\{\begin{array}{c}-\sqrt{2}\text{ nếu k chẵn}\hfill \\ \sqrt{2}\text{ nếu k lẻ}\hfill \end{array}$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k2\pi$,

đạt cực tiểu tại các điểm $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).$

d)

TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=5x^4-3x^2-2=(x^2-1)(5x^2+2)$; $y^{\prime }=0\iff x^2-1=0\iff x=\pm 1$.

$y^{″}=20x^3-6x$.

$y^{″}(1)=14>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$,

$y$CT = $y(1)=-1$.

$y^{″}(-1)=-14<0$ hàm số đạt cực đại tại $x=-1$,

$y$CĐ = $y(-1)=3$.

Phương pháp giải:

B1: Tính $y^{\prime }$

B2: Chứng tỏ phương trình $y^{\prime }=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m

Từ đó suy ra dấy của $y^{\prime }$ và sự tồn tại cực đại cực tiểu.

- Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x_0$ $\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ y^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}$, từ đó tìm $a$.

- Thay $a$ vừa tìm được ở trên vào hàm số.

Tìm $b$ dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $\iff y_{CT}>0$.

Vận dụng kiến thức:

$x_0$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}$

Chú ý:

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

- Điểm cực trị $x_0$ của hàm số.

- Giá trị cực trị của hàm số.

- Điểm cực trị $\left(x_0;y_0\right)$ của đồ thị hàm số.

b) Nếu $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực trị tại $x_0\in \left(a;b\right)$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.