Gọi  là số có bốn chữ số đôi một khác nhau và thỏa yêu cầu bài toán.

a. Số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau là:

* có 9 cách chọn a.

* Sau khi chọn a, còn 9 số khác a nên có  cách chọn 

Suy ra |Ω| = 9.504 = 4536.

b) *TH1: nếu d = 5

Có 8 cách chọn a (a khác 0 và a khác d).

Với mỗi cách chọn a có,  cách chọn 

Có 8. = 448 (số thỏa mãn).

*TH2: Nếu d = 0, có  cách chọn 

Nên có 504 số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 có chữ số hàng đơn vị là 0.

Vậy số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là: |Ω| = 448 + 504 = 952.

a. Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được tạo ra từ các số 1;2;3;4 là 

Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn đầu bài là 1 chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử nên có  số thỏa mãn.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là |Ω| = 24.

b. Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124, 134} dưới dạng mệnh đề: Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập từ các số 1; 2; 3; 4 có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước

Bài 5: Gieo một đồng tiền ba lần

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:

A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp"

B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần"

C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần"

Lời giải:

a) Phép thử T được xét là: "Gieo một đồng tiền ba lần". Có thể liệt kê các phần tử của không gian mẫu của phép thử T nhờ sơ đồ cây sau đây:

Không gian (KG) mẫu:

Do đó Ω = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}.

b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN}

B = {SNN, NSN, NNS}

C = {SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} = Ω \ {SSS}.

Bài 6 Gieo một con súc sắc hai lần

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.

Bài 7 Phép thử T được xét là: "Gieo một con súc sắc hai lần".

a) Các phần tử của không gian mẫu của phép thử T được liệt kê trong bảng sau đây.

Lời giải: Trong bảng này, cột I là các mặt i chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ nhất, i = 

Dòng II (dòng trên cùng) là các mặt j chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ 2, j = 

Mỗi ô (i, j) (giao của dòng i và cột j, 1 ≤ i, j ≤ 6) biểu thị một kết quả có thể có của phép thử T là: Lần gieo thứ nhất ra mặt i chấm, lần gieo thứ 2 ra mặt j chấm.

Không gian mẫu:

Ta còn có thể mô tả không gian mẫu dưới dạng như sau:

Ω = {(i, j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ở đó (i, j) là kết quả: "Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm".

Không gian mẫu có 36 phần tử.

b) A = "Lần gieo đầu được mặt 6 chấm"

B = "Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8"

C = "Kết quả ở hai lần gieo là như nhau"

Bài 8 Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau.

A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn"

B: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn"

Lời giải:

a. Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b. A là tập con của không gian mẫu sao cho tổng các số trên hai thẻ là số chẵn.

B là tập con của không gian mẫu sao cho tích các số trên hai thẻ là số chẵn

Bài 9 Gieo một đồng tiền ba lần:

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2.

a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1A2

A: "Không ai bắn trúng"

B: "Cả hai đểu bắn trúng"

C: "Có đúng một người bắn trúng"

D: "Có ít nhất một người bắn trúng"

b) Chứng tỏ rằng A = ; B và C xung khắc.

Bài 2 Phép thử T được xét là: "Hai xạ thủ cùng bắn vào bia".

Theo đề ra ta có  = "Người thứ k không bắn trúng", k = 1, 2.

a) A = "Không ai bắn trúng" = "Người thứ nhất không bắn trúng và người thứ hai không bắn trúng". Suy ra A = .

b) Tương tự, ta có B = "Cả hai đều bắn trúng" = .

Bài 3 Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau:

A: "Lấy được thẻ màu đỏ"
B: "Lấy được thẻ màu trắng"
C: "Lấy được thẻ ghi số chẵn"

Bài 4 Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.

Bài 5 Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố

Bài 6 Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước"
B: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau"
C: "Hai chữ số bằng nhau".

Bài 7 Gieo một đồng tiền ba lần:

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:

A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp";

B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần";

C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần".

Bài 8 Gieo một con súc sắc hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Phát biểu các biến cố sau dười dạng mệnh đề:

A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)};

B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)};

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.

Bài 9 Hai xạ thủ cùng bắn vào bia.Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2.

a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1 A2 :

A: "Không ai bắn trúng";

B: "Cả hai đểu bắn trúng";

C: "Có đúng một người bắn trúng";

D: "Có ít nhất một người bắn trúng".

Bài 10

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau:

A: "Lấy được thẻ màu đỏ";

B: "Lấy được thẻ màu trằng";

C: "Lấy được thẻ ghi số chẵn".

Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.

B. Lý thuyết Phép thử và Biến cố

I. Phép thử, không gian mẫu

1. Phép thử.

Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử. Một thí nghiệm, một phép đo, hay một sự quan sát hiện tượng nào đó… được hiểu là phép thử.

- Ví dụ 1. Gieo ba đồng tiền xu liên tiếp, chọn ba cây tú lơ khơ từ bộ bài 52 cây tứ lơ khơ, chọn 3 bông hoa từ 10 bông hoa trong lọ… đây đều là phép thử.

- Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trước được mặt xuất hiện là sấp hay ngửa. Đó là ví dụ về phép thử ngẫu nhiên.

- Tổng quát. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2. Không gian mẫu.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là $\Omega$ (đọc là ô-mê-ga).

- Ví dụ 2. Nếu phép thử là gieo một con súc sắc một lần, thì không gian mẫu gồm 6 phần tử là: $\Omega$ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

- Ví dụ 3. Nếu phép thử là gieo một đồng tiền ba lần thì không gian mẫu gồm tám phần tử là:

{SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN} .

II. Biến cố.

- Một cách tổng quát, mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mô tả bởi một tập con của không gian mẫu.

- Định nghĩa: Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa A; B; C…

- Tập $\varnothing$ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

- Ví dụ 4. Gieo con súc sắc liên tiếp hai lần thì biến cố: “lần thứ nhất ra mặt 5 chấm, lần thứ 2 ra mặt 8 chấm” là biến cố không. (vì súc sắc không có mặt 8 chấm)

Còn biến cố: “Tổng số chấm hai lần gieo lớn hơn 1 và nhỏ hơn 13” là biến cố chắc chắn.

- Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi các kết quả của phép thử đó là một phần tử của A (hay thuận lợi cho A).

Như vậy, biến cố không thể không bao giờ xảy ra. Trong khi đó, biến cố chắc chắn luôn luôn xảy ra.

III. Phép toán trên các biến cố.

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử

- Tập $\Omega$\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là $\overline{A}$.

$\overline{A}$ xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

- Ví dụ 5. Nếu phép thử là chọn một học sinh trong lớp làm lớp trường thì:

Biến cố A: “bạn đó là nữ”.

Biến cố B: “bạn đó là nam”.

Ta thấy, B là biến cố đối của biến cố A: $B=\overline{A}$.

 - Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa:

Tập $A\cup B$ được gọi là hợp của các biến cố A và B.

Tập $A\cap B$ được gọi là giao của các biến cố A và B.

Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì ta còn nói A và B xung khắc.

- Biến cố $A\cup B$ xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ còn được viết là A.B.

A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.            

- Ta có bảng sau:

- Ví dụ 6. Xét phép thử: gieo súc sắc hai lần liên tiếp, với các biến cố:

A: “Kết quả hai lần gieo giống nhau”.

B. “Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm”.

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến A và B.

Lời giải:

A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

B = {(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6)}.