Phương pháp giải và bài tập về Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp

Tải xuống 3 7.6 K 14

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập trắc nghiệm Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp Toán lớp 11, tài liệu bao gồm 3 trang, tuyển chọn bài tập trắc nghiệm Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp có phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp gồm các nội dung chính sau:

Phương pháp

-          Gồm phương pháp giải đầy đủ và ngắn gọn Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp.

Các ví dụ

-          Gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp (ảnh 1)

DẠNG 7. CÁCH CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

 Phương pháp: Dựa vào các công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Pn=n!

Ank=n!(nk)!1kn

Cnk=n!k!(nk)!0kn

n!=n(n1)(n2)...(nk1).(nk)!

Các ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. Cnk+3Cnk+1+3Cnk+2+Cnk+3=Cn+3k+3. với n*,0kn3

2. An+kn+2+An+kn+1=k2An+kn với n,k*,k2

Lời giải.

1. Ta có: Cnk+Cnk1=n!(nk)!k!+n!(k1)!(nk+1)!

=n!(k1)!(nk)!1k+1nk+1                                 

=n!(k1)!(nk)!n+1k(nk+1)                                 

=(n+1)!k!(n+1k)!=Cn+1k                                 .

Áp dụng kết quả trên ta có:

VT=(Cnk+Cnk+1)+2(Cnk+1+Cnk+2)+(Cnk+2+Cnk+3)      

=Cn+1k+1+2Cn+1k+2+Cn+1k+3=(Cn+1k+1+Cn+1k+2)+(Cn+1k+2+Cn+1k+3)=Cn+2k+2+Cn+2k+3=Cn+3k+3=VP       .

2. Ta có: An+kn+2+An+kn+1=(n+k)!(k2)!+(n+k)!(k1)!=(n+k)!(k2)!1+1k1

=(n+k)!(k2)!kk1=k2(n+k)!k!=k2An+kn                                  

Ví dụ 2 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. Cnk+4Cnk1+6Cnk2+4Cnk3+Cnk4=Cn+4k với 4kn

2. Pk.An+12.An+32.An+52=nk!An+55

3. Cn0Cnk+Cn1Cn1k1+...+CnkCnk0=2kCnk

Lời giải:

1.  Ta có: VT=Cnk+Cnk1+3Cnk1+Cnk2+3Cnk2+Cnk3+Cnk3+Cnk4

=Cn+1k+3Cn+1k1+3Cn+1k2+Cn+1k3=Cn+4k                       .

2.  Ta có:  VT=k!(n+1)!(n1)!.(n+3)!(n+1)!.(n+5)!(n+3)! =k!(n+5)!(n1)!=nk!An+55.

3.  Ta có: CnmCnmkm=n!m!(nm)!.(nm)!(km)!(nk)!=n!m!(km)!(nk)!

=k!m!(km)!.n!k!(nk)!=Ckm.Cnk                              

Suy ra:  m=0kCnmCnmkm=m=0kCkmCnk=Cnkm=0kCkm=2kCnk.

 

Ví dụ 3 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1.  AnkAn1k=k.An1k1 với n,k*,n2,kn1

2. n+1n+21Cn+1k+1Cn+1k+1=1Cnk với  n,k*, kn.

Lời giải:

1. Ta có: AnkAn1k=n!(nk)!(n1)!(n1k)!

=(n1)!(nk1)!nnk1=k(n1)!(nk)!=kAn1k1                                

2. Ta có:  n+1n+21Cn+1k+1Cn+1k+1=n+1n+2.k!n+1k!+k+1!nk!n+1!

=1n+2.k!nk!n!n+1k+k+1                                 

=k!nk!n!=1Cnk                                  .

Ví dụ 4 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. Cn1...Cnn12n1nn với n*,n2

2. C2n+kn.C2nknC2nn2 với n,k và 0kn.

Xem thêm
Phương pháp giải và bài tập về Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp (trang 1)
Trang 1
Phương pháp giải và bài tập về Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp (trang 2)
Trang 2
Phương pháp giải và bài tập về Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp (trang 3)
Trang 3
Tài liệu có 3 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống