Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập trắc nghiệm Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp Toán lớp 11, tài liệu bao gồm 3 trang, tuyển chọn bài tập trắc nghiệm Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp có phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp gồm các nội dung chính sau:

Phương pháp

-          Gồm phương pháp giải đầy đủ và ngắn gọn Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp.

Các ví dụ

-          Gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 7. CÁCH CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

 Phương pháp: Dựa vào các công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* $P_n=n!$

*  $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $1\le k\le n$

*  $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $0\le k\le n$

* $n!=n(n-1)(n-2)\mathrm{...}(n-k-1).(n-k)!$

Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. $C_n^k+3C_n^{k+1}+3C_n^{k+2}+C_n^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}$. với $n\in \mathbb{N}*,0\le k\le n-3$

2. $A_{n+k}^{n+2}+A_{n+k}^{n+1}=k^2{A}_{n+k}^n$ với $n,k\in \mathbb{N}*,k\ge 2$

Lời giải:

1. Ta có: $C_n^k+C_n^{k-1}=\frac{n!}{(n-k)!k!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$

$=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k+1}\right)$                                 

$=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\frac{n+1}{k(n-k+1)}$                                 

$=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=C_{n+1}^k$                                 .

Áp dụng kết quả trên ta có:

$VT=(C_n^k+C_n^{k+1})+2(C_n^{k+1}+C_n^{k+2})+(C_n^{k+2}+C_n^{k+3})$      

$=C_{n+1}^{k+1}+2C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}=(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2})+(C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3})$$=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}=VP$       .

2. Ta có: $A_{n+k}^{n+2}+A_{n+k}^{n+1}=\frac{(n+k)!}{(k-2)!}+\frac{(n+k)!}{(k-1)!}=\frac{(n+k)!}{(k-2)!}\left(1+\frac{1}{k-1}\right)$

$=\frac{(n+k)!}{(k-2)!}\frac{k}{k-1}=k^2\frac{(n+k)!}{k!}=k^2{A}_{n+k}^n$                                  

Ví dụ 2. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. $C_n^k+4C_n^{k-1}+6C_n^{k-2}+4C_n^{k-3}+C_n^{k-4}=C_{n+4}^k$ với $4\le k\le n$

2. $P_k.A_{n+1}^2.A_{n+3}^2.A_{n+5}^2=nk!A_{n+5}^5$

3. $C_n^0{C}_n^k+C_n^1{C}_{n-1}^{k-1}+\mathrm{...}+C_n^k{C}_{n-k}^0=2^k{C}_n^k$

Lời giải:

1.  Ta có: $VT=\left(C_n^k+C_n^{k-1}\right)+3\left(C_n^{k-1}+C_n^{k-2}\right)+3\left(C_n^{k-2}+C_n^{k-3}\right)+\left(C_n^{k-3}+C_n^{k-4}\right)$

$=C_{n+1}^k+3C_{n+1}^{k-1}+3C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3}=C_{n+4}^k$                       .

2.  Ta có:  $VT=k!\frac{(n+1)!}{(n-1)!}.\frac{(n+3)!}{(n+1)!}.\frac{(n+5)!}{(n+3)!}$ $=k!\frac{(n+5)!}{(n-1)!}=nk!A_{n+5}^5$.

3.  Ta có: $C_n^m{C}_{n-m}^{k-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}.\frac{(n-m)!}{(k-m)!(n-k)!}=\frac{n!}{m!(k-m)!(n-k)!}$

$=\frac{k!}{m!(k-m)!}.\frac{n!}{k!(n-k)!}=C_k^m.C_n^k$                              

Suy ra:  $\sum _{m=0}^k{C}_n^m{C}_{n-m}^{k-m}=\sum _{m=0}^k{C}_k^m{C}_n^k=C_n^k\sum _{m=0}^k{C}_k^m=2^k{C}_n^k$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1.  $A_n^k-A_{n-1}^k=k.A_{n-1}^{k-1}$ với $n,k\in \mathbb{N}*,n\ge 2,k\le n-1$

2. $\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}}\right)=\frac{1}{C_n^k}$ với  $n,k\in \mathbb{N}*,k\le n$.

Lời giải:

1. Ta có: $A_n^k-A_{n-1}^k=\frac{n!}{(n-k)!}-\frac{(n-1)!}{(n-1-k)!}$

$=\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}\left(\frac{n}{n-k}-1\right)=k\frac{(n-1)!}{(n-k)!}=k{A}_{n-1}^{k-1}$                                

2. Ta có:  $\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}}\right)=\frac{n+1}{n+2}.\frac{k!\left(n+1-k\right)!+\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}{\left(n+1\right)!}$

$=\frac{1}{n+2}.\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}\left[\left(n+1-k\right)+\left(k+1\right)\right]$                                 

$=\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}=\frac{1}{C_n^k}$                                  .

Ví dụ 4. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. $C_n^1\mathrm{...}{C}_n^{n-1}\le {\left(\frac{2^n-1}{n}\right)}^n$ với $n\in \mathbb{N}*,n\ge 2$

2. $C_{2n+k}^n.C_{2n-k}^n\le {\left(C_{2n}^n\right)}^2$ với $\forall n,k\in \mathbb{Z}$ và $0\le k\le n$.

Ví dụ 5. Đề thi môn toán của lớp 12 ở một trường THPT gồm 2 loại đề trắc nghiệm và tự luận. Từng học sinh khi dự thi phải làm 2 đề thi bao gồm 1 trắc nghiệm và 1 tự luận. Trong đó có 12 đề tự luận và 15 đề trắc nghiệm. Vậy hỏi từng học sinh sẽ có mấy cách để chọn để thi?

Lời giải:

Ta sẽ có số cách để chọn một đề tự luận là: 12 cách và số cách để chọn một đề trắc nghiệm sẽ là 15 cách. Vì vậy 1 bạn học sinh phải thực hiện song song cả hai đề. Cho nên sẽ có tất cả là 12 x 15 = 180 cách để chọn đề thi.

Ví dụ 6. Ta có một tập hợp A bao gồm các chữ số là 1, 2, 3, 5, 7, 9:

a. Từ tập hợp trên có thể thiết lập được mấy số tự nhiên bao gồm 04 chữ số từng đôi một khác nhau.

b. Từ tập hợp trên có thể thiết lập được mấy số tự nhiên chẵn bao gồm 05 chữ số từng đôi một khác nhau.

Lời giải:

a. Ta gọi số tự nhiên 04 chữ số là n = a1a2a3a4. Để có được số n như vậy thì chúng ta phải chọn song song các số a1, a2, a3, a4. Trong đó ta có:

- a1 có tổng cộng 6 cách để chọn.
- a2 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a3 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 3 cách để chọn.

Như vậy thì chúng ta có tổng cộng là: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 số n muốn tìm.

b. Ta gọi số tự nhiên chẵn bao gồm 05 số là n = a1a2a3a4a5. Trong đó ta có:

- a5 có đúng 1 cách chọn là 2.
- a1 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a2 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a3 có tổng cộng 3 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 2 cách để chọn.

Như vậy thì số n muốn tìm là 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 số.

Ví dụ 7. Cho một tập hợp A gồm các số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ tập hợp A này có thể thiết lập được mấy số tự nhiên gồm 05 chữ số từng đôi một khác nhau và đảm bảo số 5 và số 2 không đứng bên cạnh nhau.

Lời giải:

1. Tìm ra số tự nhiên có 05 chữ số khác nhau từng đôi một tùy ý:

Số tự nhiên gồm 05 chữ số khác nhau với đôi một tùy ý có dạng là n = a1a2a3a4a5. Trong đó:

- a1 có tổng cộng là 6 cách để chọn (a1 ≠ 0).
- a2 có tổng cộng 6 cách để chọn.
- a3 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a5 có tổng cộng 3 cách để chọn.

Như vậy thì chúng ta có 6 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2169 số tự nhiên.

2. Tìm ra số tự nhiên gồm 05 chữ số khác nhau từng đôi một và có số 2 với 5 không được đứng cạnh nhau:

Giả sử ta có số 2 với số 5 là một chữ số a ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ tìm số tự nhiên có 04 chữ số:

* Trường hợp 1: a1 = a

- a1 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a2 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 3 cách để chọn.

Như vậy thì chúng ta sẽ có 5 x 4 x 3 = 60 số.

* Trường hợp 2: a1 ≠ a nên:

- a1 có tổng cộng 4 cách để chọn (Vì a1 ≠ 0,2,5).
- giả sử a2 = a thì có 3 vị trí cho số a.
- a3 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 3 cách để chọn.

Như vậy ta sẽ có 4 x 3 x 4 x 3 = 204. Mà số 2 và số 5 có thể hoán đổi vị trí cho nhau. Vì thế nên suy ra ta có: 204 x 2 = 408 số.

Theo yêu cầu bài toán thì: 2160 – 408 = 1572 cách.