Gọi số tự nhiên cần lập có dạng $\overline{abcdef}$, $a,b,c,d,e,f\in \left\{1;2;...;6\right\}$.

Xét các trường hợp:

- TH1: $a=4,b=3$.

+) Nếu $c=2$ thì $d,e,f$ là các số còn lại $1,5,6$. khi đó số lập được sẽ lớn hơn $432000$

+) $c<2$ nên $c=1$, có $1$ cách chọn $c$.

Số cách chọn $d,e,f$ là số hoán vị của $3$ chữ số còn lại nên có $3!$ cách.

Do đó có $\mathrm{1.1.1.3}!=6$ số.

- TH2: $a=4,b<3$.

+) Có $1$ cách chọn $a$.

+) $b<3$ nên $b\in \left\{1;2\right\}$, có $2$ cách chọn $b$.

Số cách chọn $c,d,e,f$ là số hoán vị của $4$ chữ số nên có $4!$ cách.

Do đó có $2.4!=48$ số.

- TH3: $a<4$.

Vì $a<4$ nên $a\in \left\{1;2;3\right\}$ và có $3$ cách chọn $a$.

Số cách chọn các chữ số $b,c,d,e,f$ là số hoán vị của $5$ chữ số còn lại nên có $5!$ cách.

Do đó có $3.5!=360$ số.

Vậy có $6+48+360=414$ số.

Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho $10$ người khách vào một dãy $10$ ghế là một hoán vị của $10$ người.

Suy ra số các cách để xếp chỗ ngồi cho $10$ người khách vào một dãy $10$ ghế là:

$P_{10}=10!=3628800$ (cách)

Mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một cách chọn 3 bông hoa từ 7 bông và sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của ba lọ).

Do đó mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một chỉnh hợp chập $3$ của $7$ bông hoa.

Vậy số cách cắm hoa là: $A_7^3=210$ (cách).

1. Hoán vị

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n\ge 1$). Mỗi cách sắp thứ tự của $n$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của $n$ phần tử khác nhau đã cho ($n\ge 1$) được kí hiệu là $P_n$ và bằng:

$P_n=n(n-1)(n-2)...2.1=n!$

Ví dụ:

Tính số cách xếp $6$ bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp $6$ bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của $6$ phần tử.

Vậy số cách xếp $6$ bạn học sinh thành một hàng dọc là $P_6=6!=720$.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left(n\ge 1\right)$.

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $A_n^k$ và bằng

$A_n^k=n(n–1)\dots (n–k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ $(1\le k\le n)$

Với quy ước $0!=1$.

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy $4$ chữ số từ tập $A=\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}$ và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập $4$ của $7$ phần tử.

Vậy số các số cần tìm là $A_7^4=840$ số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n\ge 1$). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $n$ phần tử đã cho ($0\le k\le n$) được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập $0$ của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $C_n^k$ và bằng

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$  =  $\frac{A_n^k}{k!}$, ($0\le k\le n$)

Ví dụ:

Một bàn học sinh có $3$ nam và $2$ nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra $2$ bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra $2$ bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập $2$ của $5$ phần tử.

Vậy số cách chọn là: $C_5^2=10$ (cách)

Định lí

Với mọi $n\ge 1;0\le k\le n$, ta có:

a) $C_n^k=C_n^{n-k}$

b) $C_n^k+C_n^{k+1}$  =  $C_{n+1}^{k+1}$.

4. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.