Một số bài toán liên quan tổ hợp chọn lọc, có lời giải

Quý Lê Xuân Ngày: 08-03-2024 Lớp 11

Tải xuống 2 2.5 K 4

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập trắc nghiệm Một số bài toán liên quan tổ hợp Toán lớp 11, tài liệu bao gồm 2 trang, tuyển chọn Một số bài toán liên quan tổ hợp có đáp án và lời giải chi tiết, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Một số bài toán liên quan tổ hợp gồm các nội dung chính sau:

Các ví dụ

- Gồm 3 ví dụ minh họa đa dạng của Một số bài toán liên quan tổ hợp có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Một số bài toán liên quan tổ hợp (ảnh 1)

DẠNG 6. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỔ HỢP

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho $n \in ℕ *$ và ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}$ . Biết rằng tồn tại số nguyên $k$ ( $1 \leq k \leq n - 1$ )sao cho $\frac{a_{k - 1}}{2} = \frac{a_{k}}{9} = \frac{a_{k + 1}}{24}$ . Tính $n = ?$ .

A.10 B.11 C.20 D.22

Lời giải:

Ta có: $a_{k} = C_{n}^{k}$ , suy ra hệ $\{\begin{cases} \frac{1}{2} \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} = \frac{1}{9} \frac{n!}{(n - k)! k!} \\ \frac{1}{9} \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{1}{24} \frac{n!}{(n - k - 1)! (k + 1)!} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 k = 2 (n - k + 1) \\ 24 (k + 1) = 9 (n - k) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 n - 11 k = - 2 \\ 9 n - 33 k = 24 \end{cases} \Leftrightarrow n = 10, k = 2$ .

Ví dụ 2. Cho khai triển ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}$ , trong đó $n \in ℕ *$ . Tìm số lớn nhất trong các số $a_{0}, a_{1}, ..., a_{n}$ , biết các hệ số $a_{0}, a_{1}, ..., a_{n}$ thỏa mãn hệ thức: $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$ .

A.126720 B.213013 C.130272 D.130127

Lời giải:

Đặt $f (x) = {(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}$

$\Rightarrow a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = f (\frac{1}{2}) = 2^{n}$

Với mọi $k \in \{0, 1, 2, ..., 11\}$ ta có: $a_{k} = 2^{k} C_{12}^{k}, a_{k + 1} = 2^{k + 1} C_{12}^{k + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{a_{k}}{a_{k + 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{2^{k} C_{12}^{k}}{2^{k + 1} C_{12}^{k + 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{k + 1}{2 (12 - k)} < 1 \Leftrightarrow k < \frac{23}{3}$

Mà $k \in Z \Rightarrow k \leq 7$ . Do đó $a_{0} < a_{1} < ... < a_{8}$

Tương tự: $\frac{a_{k}}{a_{k + 1}} > 1 \Leftrightarrow k > 7 \Rightarrow a_{8} > a_{9} > ... > a_{12}$

Số lớn nhất trong các số $a_{0}, a_{1}, ..., a_{12}$ là. $a_{8} = 2^{8} C_{12}^{8} = 126720$

Ví dụ 3. Cho một tập hợp A gồm $n$ phần tử ( $n \geq 4$ ). Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần số tập con gồm hai phần tử của A

1. Tìm $n$

A.20 B.37 C.18 D.21

2. Tìm $k \in \{1, 2, 3, ..., n\}$ sao cho số tập con gồm $k$ phần tử của tập A là lớn nhất.

A.12 B.9 C.21 D.19

Lời giải:

1. Số tập con gồm 4 phần tử của tập A: $C_{n}^{4}$

Số tập con gồm 2 phần tử của tập A: $C_{n}^{2}$

Theo bài ra ta có: $C_{n}^{4} = 20 C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{n!}{4! (n - 4)!} = 20 \frac{n!}{2! (n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4!} = \frac{10}{(n - 2) (n - 3)} \Leftrightarrow n^{2} - 5 n - 234 = 0 \Leftrightarrow n = 18$

Vậy tập A có 18 phần tử.

2. Giả sử $C_{18}^{k}$ là số tập con con lớn nhất của A. Khi đó

$\{\begin{cases} C_{18}^{k} \geq C_{18}^{k - 1} \\ C_{18}^{k} \geq C_{18}^{k + 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{18!}{k! (18 - k)!} \geq \frac{18!}{(k - 1)! (19 - k)!} \\ \frac{18!}{k! (18 - k)!} \geq \frac{18!}{(k + 1)! (17 - k)!} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{k} \geq \frac{1}{19 - k} \\ \frac{1}{18 - k} \geq \frac{1}{k + 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k \leq \frac{19}{2} \\ k \geq \frac{17}{2} \end{cases} \Rightarrow k = 9$