Trả lời nhanh
Với mẫu số liệu ghép nhóm cỡ mẫu n, trung vị là Me = um + [(n/2 − C)/nm]·(um+1 − um), trong đó [um; um+1) là nhóm chứa trung vị, nm là tần số của nhóm đó và C là tổng tần số các nhóm đứng trước. Tứ phân vị Q1, Q3 tính tương tự, chỉ thay n/2 bằng n/4 và 3n/4.
Bài này thuộc chương “Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm” của Toán 11 Chân trời sáng tạo. Nếu bạn chưa vững phần số trung bình và mốt thì xem trước bài 1 tại Lý thuyết Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm. Dưới đây là phần công thức, quy trình làm bài, ví dụ và các lỗi mà học sinh hay mắc.
1. Vì sao phải có công thức trung vị cho dữ liệu ghép nhóm?
Khi số liệu được gộp thành các nhóm như [0; 20), [20; 40)…, ta chỉ biết mỗi nhóm có bao nhiêu giá trị chứ không biết từng giá trị cụ thể. Vì vậy không thể chỉ ra chính xác giá trị đứng giữa dãy. Ta phải ước lượng: tìm nhóm chứa giá trị đứng giữa, rồi giả định các giá trị trong nhóm đó phân bố đều để suy ra một con số xấp xỉ.
Trung vị ước lượng này có thể dùng làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu. Ưu điểm so với số trung bình là ít bị ảnh hưởng bởi một vài giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ.
2. Công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Giả sử mẫu có n giá trị, các nhóm được sắp theo thứ tự tăng dần. Gọi [um; um+1) là nhóm đầu tiên mà tần số tích luỹ của nó lớn hơn hoặc bằng n/2. Khi đó:
Me = um + [(n/2 − C)/nm]·(um+1 − um)
| Kí hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|
| n | Cỡ mẫu = tổng tần số n1 + n2 + … + nk |
| [um; um+1) | Nhóm chứa trung vị |
| nm | Tần số của nhóm chứa trung vị |
| C | C = n1 + … + nm−1: tổng tần số các nhóm đứng trước nhóm chứa trung vị |
| um+1 − um | Độ dài nhóm chứa trung vị |
3. Công thức tứ phân vị Q1, Q2, Q3
Tứ phân vị chia mẫu số liệu thành bốn phần có số phần tử xấp xỉ bằng nhau. Cách tính giống hệt trung vị, chỉ khác “mốc” cần tìm:
- Q1 = um + [(n/4 − C)/nm]·(um+1 − um), với [um; um+1) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ n/4.
- Q2 = Me (mốc n/2).
- Q3 = uj + [(3n/4 − C)/nj]·(uj+1 − uj), với [uj; uj+1) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ 3n/4.
Trong mỗi công thức, C luôn là tổng tần số của các nhóm đứng ngay trước nhóm đang xét, nên C thay đổi theo từng tứ phân vị.
Bộ ba Q1, Q2, Q3 là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và cũng được dùng để đo xu thế trung tâm.
4. Quy trình 4 bước làm bài
- Tính cỡ mẫu n và các mốc cần dùng: n/4, n/2, 3n/4.
- Lập hàng tần số tích luỹ (cộng dồn tần số từ nhóm đầu).
- Xác định nhóm chứa mốc: nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ mốc. Ghi lại um, độ dài nhóm, nm và C (tích luỹ của nhóm liền trước).
- Thay vào công thức và tính, làm tròn theo yêu cầu đề.
5. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Một khảo sát về thời gian tự học mỗi ngày (đơn vị: phút) của 40 học sinh lớp 11 cho kết quả sau (số liệu tự đặt để minh hoạ):
| Thời gian (phút) | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 4 | 8 | 14 | 10 | 4 |
| Tần số tích luỹ | 4 | 12 | 26 | 36 | 40 |
Cỡ mẫu n = 40, mỗi nhóm dài 20 phút. Ta cần Q1, Me, Q3.
Trung vị. n/2 = 20. Tần số tích luỹ 12 < 20 ≤ 26 nên nhóm chứa trung vị là [40; 60), với nm = 14, C = 4 + 8 = 12.
Me = 40 + [(20 − 12)/14]·20 = 40 + 160/14 ≈ 51,4 (phút).
Q1. n/4 = 10. Vì 4 < 10 ≤ 12 nên nhóm chứa Q1 là [20; 40), nm = 8, C = 4.
Q1 = 20 + [(10 − 4)/8]·20 = 20 + 15 = 35 (phút).
Q3. 3n/4 = 30. Vì 26 < 30 ≤ 36 nên nhóm chứa Q3 là [60; 80), nj = 10, C = 26.
Q3 = 60 + [(30 − 26)/10]·20 = 60 + 8 = 68 (phút).
Kết luận: Q1 = 35, Q2 ≈ 51,4, Q3 = 68. Nghĩa là khoảng một nửa số bạn tự học không quá 51 phút mỗi ngày, và khoảng một phần tư số bạn tự học trên 68 phút.
6. Giải thích công thức: nội suy tuyến tính
Hãy hình dung nhóm [um; um+1) có nm giá trị trải đều trên đoạn dài um+1 − um. Trước nhóm này đã có C giá trị. Để “đếm tới” giá trị thứ n/2 ta còn phải đi thêm (n/2 − C) giá trị trong nhóm.
Tỉ lệ (n/2 − C)/nm cho biết phải đi được bao nhiêu phần của nhóm. Nhân tỉ lệ ấy với độ dài nhóm rồi cộng vào đầu mút trái um ta được vị trí cần tìm. Hiểu như vậy thì không cần học vẹt: chỉ cần nhớ “đầu nhóm + tỉ lệ × độ dài nhóm”.
7. Lỗi sai thường gặp
- Dùng tần số của nhóm thay cho C. C là tổng tần số các nhóm trước nhóm chứa mốc, không bao gồm nhóm đó.
- Chọn sai nhóm. Phải lấy nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ mốc, đừng chọn nhóm có tần số lớn nhất (đó là nhóm chứa mốt, khác khái niệm).
- Quên nhân độ dài nhóm. Kết quả phải nằm trong [um; um+1); nếu ra ngoài khoảng này là đã sai.
- Dùng nhầm mốc. Q3 dùng 3n/4, không phải n/4 nhân 3 sau khi đã trừ C.
- Bảng dữ liệu không liên tục. Nếu đề cho các nhóm như 150–159, 160–169, hãy hiệu chỉnh thành các nhóm liên tiếp [149,5; 159,5), [159,5; 169,5) trước khi áp dụng công thức.
Một trường hợp đặc biệt: nếu tần số tích luỹ của nhóm đứng trước đúng bằng mốt cần tìm (ví dụ n = 20, tần số các nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40) lần lượt là 5, 5, 6, 4 thì n/2 = 10 đúng bằng tích luỹ hết nhóm [10; 20)). Khi đó trung vị chính là đầu mút chung của hai nhóm liên tiếp, tức bằng 20. Công thức cho cùng kết quả dù chọn nhóm [10; 20) (C = 5: 10 + (10 − 5)/5·10 = 20) hay nhóm [20; 30) (C = 10: 20 + 0 = 20).
8. Mẹo nhớ nhanh
- Câu thần chú: “Mốc trừ C, chia tần số nhóm, nhân độ dài, cộng đầu nhóm“.
- Mốc lần lượt là n/4, n/2, 3n/4 — viết ra giấy nháp đầu bài để khỏi nhầm.
- Kiểm tra nhanh: Q1 < Q2 < Q3, và mỗi kết quả phải nằm trong nhóm đã chọn.
9. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Chiều cao (cm) của 30 cây con được ghi lại như sau: [140; 150): 3 cây; [150; 160): 9 cây; [160; 170): 12 cây; [170; 180): 6 cây. Hãy ước lượng Me, Q1, Q3.
Đáp án. Tích luỹ: 3; 12; 24; 30.
- n/2 = 15 thuộc nhóm [160; 170) (C = 12, nm = 12): Me = 160 + (15 − 12)/12·10 = 162,5.
- n/4 = 7,5 thuộc nhóm [150; 160) (C = 3, nm = 9): Q1 = 150 + (7,5 − 3)/9·10 = 155.
- 3n/4 = 22,5 thuộc nhóm [160; 170) (C = 12): Q3 = 160 + (22,5 − 12)/12·10 = 168,75.
Bài 2. Quãng đường từ nhà đến trường (km) của 50 học sinh: [0; 2): 10; [2; 4): 18; [4; 6): 12; [6; 8): 7; [8; 10): 3. Tính Q1, Me, Q3 (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án. Tích luỹ: 10; 28; 40; 47; 50.
- n/4 = 12,5 thuộc [2; 4): Q1 = 2 + (12,5 − 10)/18·2 ≈ 2,28.
- n/2 = 25 thuộc [2; 4): Me = 2 + (25 − 10)/18·2 ≈ 3,67.
- 3n/4 = 37,5 thuộc [4; 6) (C = 28, nm = 12): Q3 = 4 + (37,5 − 28)/12·2 ≈ 5,58.
Bài 3. Dùng kết quả Bài 2, hãy cho biết khoảng bao nhiêu phần trăm học sinh ở cách trường không quá 3,67 km.
Đáp án. 3,67 km là trung vị nên khoảng 50% số học sinh ở cách trường không quá 3,67 km.
10. Học tiếp
Để luyện thêm, bạn có thể làm giải SGK Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo), 20 bài tập trung vị và tứ phân vị có đáp án và sách bài tập Toán 11 Bài 2. Toàn bộ kiến thức cả năm có trong tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo.
Câu hỏi thường gặp
Công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là gì?
M_e = u_m + [(n/2 − C)/n_m]·(u_{m+1} − u_m). Trong đó [u_m; u_{m+1}) là nhóm chứa trung vị, n_m là tần số của nhóm, C là tổng tần số các nhóm đứng trước và n là cỡ mẫu.
Làm sao xác định nhóm chứa trung vị hoặc tứ phân vị?
Lập hàng tần số tích luỹ rồi chọn nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng mốc cần tìm: n/4 cho Q1, n/2 cho trung vị, 3n/4 cho Q3.
Tứ phân vị thứ hai Q2 có khác trung vị không?
Không. Q2 chính là trung vị M_e của mẫu số liệu, nên dùng chung công thức với mốc n/2.
Vì sao trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ?
Vì dữ liệu ghép nhóm không cho biết từng giá trị cụ thể. Ta phải giả định các giá trị trong nhóm phân bố đều nên kết quả chỉ là ước lượng cho mẫu số liệu gốc.