Bài tập trung vị và tứ phân vị mẫu số liệu ghép nhóm

Trả lời nhanh

Muốn tính trung vị M_e của mẫu số liệu ghép nhóm, em lập tần số tích luỹ, tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ n/2 rồi dùng công thức M_e = u_m + (n/2 − C)/n_m · h. Tứ phân vị Q₁, Q₃ làm y hệt, chỉ thay n/2 bằng n/4 và 3n/4; còn Q₂ chính là trung vị. Bên dưới là 20 bài tập có đáp án chia theo 4 dạng.

Công thức cần nhớ trước khi làm bài

Giả sử mẫu có n giá trị, nhóm thứ m là [u_m; u_m+1) có tần số n_m, độ dài h = u_m+1 − u_m, và C là tổng tần số các nhóm đứng trước nhóm m.

Số đặc trưng	Nhóm chứa nó	Công thức
Q₁	nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ n/4	u_m + (n/4 − C)/n_m · h
M_e = Q₂	nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ n/2	u_m + (n/2 − C)/n_m · h
Q₃	nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ 3n/4	u_m + (3n/4 − C)/n_m · h

Ý nghĩa: khoảng 25% số liệu nhỏ hơn Q₁, khoảng 50% nhỏ hơn M_e và khoảng 75% nhỏ hơn Q₃. Vì số liệu đã bị gộp nhóm nên các giá trị tính được chỉ là giá trị ước lượng, không phải giá trị chính xác của mẫu gốc.

Quy trình 4 bước cho mọi bài

Kiểm tra các nhóm: nếu số liệu là số nguyên ghi dạng 0–4, 5–9… thì hiệu chỉnh thành [−0,5; 4,5), [4,5; 9,5)…
Tính n và lập dòng tần số tích luỹ.
Tính vị trí n/4, n/2, 3n/4 rồi dò tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ đạt tới vị trí đó.
Thay u_m, C, n_m, h vào công thức; làm tròn theo yêu cầu.

Dạng 1. Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Thời gian đi từ nhà đến trường (phút) của 40 học sinh: [0; 10): 5; [10; 20): 13; [20; 30): 14; [30; 40): 5; [40; 50): 3. Tính M_e, Q₁, Q₃.

Lời giải. Tần số tích luỹ lần lượt là 5; 18; 32; 37; 40.

n/2 = 20: nhóm đầu tiên có tích luỹ ≥ 20 là [20; 30) với C = 18, n_m = 14. M_e = 20 + (20 − 18)/14 · 10 ≈ 21,43 (phút).
n/4 = 10: nhóm [10; 20), C = 5, n_m = 13. Q₁ = 10 + (10 − 5)/13 · 10 ≈ 13,85.
3n/4 = 30: nhóm [20; 30), C = 18. Q₃ = 20 + (30 − 18)/14 · 10 ≈ 28,57.

Biểu đồ tần số mẫu số liệu ghép nhóm với vị trí trung vị và tứ phân vị — Hình 1. Vị trí Q₁, trung vị Me và Q₃ trên biểu đồ tần số của Bài 1.

Bài 2. Chiều cao (cm) của 50 cây keo giống: [40; 45): 5; [45; 50): 12; [50; 55): 18; [55; 60): 10; [60; 65): 5. Tìm trung vị.

Đáp án. Tích luỹ: 5; 17; 35; 45; 50. n/2 = 25 rơi vào [50; 55) với C = 17. M_e = 50 + (25 − 17)/18 · 5 ≈ 52,22 cm.

Bài 3. Tiền điện một tháng (nghìn đồng) của 60 hộ: [200; 300): 8; [300; 400): 15; [400; 500): 21; [500; 600): 11; [600; 700): 5. Tìm trung vị.

Đáp án. Tích luỹ: 8; 23; 44; 55; 60. n/2 = 30 thuộc [400; 500), C = 23. M_e = 400 + (30 − 23)/21 · 100 ≈ 433,33 nghìn đồng.

Bài 4. Số cuốn sách 50 bạn đọc trong năm: 0–4: 7 bạn; 5–9: 13; 10–14: 16; 15–19: 9; 20–24: 5. Ước lượng trung vị.

Lời giải. Số sách là số nguyên nên giữa hai nhóm có “khe hở”. Hiệu chỉnh thành [−0,5; 4,5), [4,5; 9,5), [9,5; 14,5), [14,5; 19,5), [19,5; 24,5). Tích luỹ: 7; 20; 36; 45; 50. n/2 = 25 thuộc [9,5; 14,5), C = 20. M_e = 9,5 + (25 − 20)/16 · 5 ≈ 11,06 cuốn.

Bài 5. Mẫu gồm [0; 2): 10; [2; 4): 15; [4; 6): 15; [6; 8): 10. Tìm M_e.

Lời giải. n = 50, n/2 = 25 và tần số tích luỹ của nhóm thứ hai đúng bằng 25. Nhóm chứa trung vị là [2; 4): M_e = 2 + (25 − 10)/15 · 2 = 4. Nếu lỡ chọn nhóm [4; 6) thì M_e = 4 + 0 = 4, vẫn cùng kết quả: khi n/2 trùng tần số tích luỹ, trung vị chính là đầu mút chung của hai nhóm.

Dạng 2. Tính tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃

Bài 6. Tuổi thọ (giờ) của 80 bóng đèn: [1000; 1200): 9; [1200; 1400): 17; [1400; 1600): 26; [1600; 1800): 20; [1800; 2000): 8. Tính Q₁, Q₃.

Đáp án. Tích luỹ: 9; 26; 52; 72; 80. n/4 = 20 thuộc [1200; 1400): Q₁ = 1200 + (20 − 9)/17 · 200 ≈ 1329,41 giờ. 3n/4 = 60 thuộc [1600; 1800): Q₃ = 1600 + (60 − 52)/20 · 200 = 1680 giờ.

Bài 7. Cân nặng (kg) của 45 học sinh: [40; 45): 4; [45; 50): 11; [50; 55): 15; [55; 60): 10; [60; 65): 5. Tìm bộ ba tứ phân vị.

Đáp án. Tích luỹ: 4; 15; 30; 40; 45. Với n lẻ, vị trí vẫn lấy đúng n/4 = 11,25; n/2 = 22,5; 3n/4 = 33,75 (không làm tròn vị trí).

Q₁ = 45 + (11,25 − 4)/11 · 5 ≈ 48,30 kg.
Q₂ = 50 + (22,5 − 15)/15 · 5 = 52,5 kg.
Q₃ = 55 + (33,75 − 30)/10 · 5 ≈ 56,88 kg.

Bài 8 (nhóm có độ dài khác nhau). Thu nhập (triệu đồng/tháng) của 80 lao động: [5; 8): 12; [8; 10): 20; [10; 12): 25; [12; 15): 18; [15; 20): 5. Tính Q₁, Q₃.

Lời giải. Tích luỹ: 12; 32; 57; 75; 80. Q₁: n/4 = 20 thuộc [8; 10), h = 2, nên Q₁ = 8 + (20 − 12)/20 · 2 = 8,8. Q₃: 3n/4 = 60 thuộc [12; 15), h = 3, nên Q₃ = 12 + (60 − 57)/18 · 3 = 12,5. Chú ý h lấy theo đúng nhóm đang xét, không lấy chung một số.

Bài 9. Tốc độ (km/h) của 100 xe qua trạm: [40; 50): 15; [50; 60): 32; [60; 70): 28; [70; 80): 18; [80; 90): 7. Tính Q₃ và nêu ý nghĩa.

Đáp án. Tích luỹ: 15; 47; 75; 93; 100. 3n/4 = 75 thuộc [60; 70): Q₃ = 60 + (75 − 47)/28 · 10 = 70 km/h. Khoảng 25% số xe chạy từ 70 km/h trở lên.

Bài 10 (cho sẵn tần số tích luỹ). Tuổi của 60 người tham gia giải chạy, tần số tích luỹ của các nhóm [15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35), [35; 40) lần lượt là 6; 20; 42; 55; 60. Tính Q₁, Q₃.

Lời giải. Suy ngược tần số từng nhóm: 6; 14; 22; 13; 5. Q₁: n/4 = 15 thuộc [20; 25): Q₁ = 20 + (15 − 6)/14 · 5 ≈ 23,21 tuổi. Q₃: 3n/4 = 45 thuộc [30; 35): Q₃ = 30 + (45 − 42)/13 · 5 ≈ 31,15 tuổi.

Dạng 3. Bài toán ngược: tìm tần số chưa biết

Bài 11. Mẫu [0; 10): 5; [10; 20): x; [20; 30): 12; [30; 40): 8 có trung vị 22,5. Tìm x.

Lời giải. Vì 22,5 ∈ [20; 30) nên nhóm chứa trung vị là nhóm thứ ba, C = 5 + x, n = 25 + x. Ta có 20 + [(25 + x)/2 − 5 − x]/12 · 10 = 22,5 ⇔ (15 − x)/2 = 3 ⇔ x = 9. Thử lại: n/2 = 17, tích luỹ trước nhóm là 14 < 17 ≤ 26, thoả mãn.

Bài 12. Mẫu 50 giá trị: [0; 10): a; [10; 20): b; [20; 30): 15; [30; 40): 10; [40; 50): 5, biết Q₁ = 15. Tìm a, b.

Lời giải. a + b = 20. Q₁ = 15 ∈ [10; 20) nên 10 + (12,5 − a)/b · 10 = 15 ⇔ 2(12,5 − a) = 20 − a ⇔ a = 5, b = 15. Kiểm tra: 5 < 12,5 ≤ 20, đúng nhóm.

Bài 13. Mẫu [0; 10): 6; [10; 20): 10; [20; 30): m; [30; 40): 4 (m nguyên dương). Chứng minh trung vị luôn nhỏ hơn 25.

Lời giải. n = 20 + m, n/2 = 10 + m/2. Nếu m ≤ 12 thì n/2 ≤ 16 nên trung vị nằm trong hai nhóm đầu, M_e ≤ 20. Nếu m > 12, nhóm chứa trung vị là [20; 30): M_e = 20 + (m/2 − 6)/m · 10 = 25 − 60/m < 25. Vậy luôn có M_e < 25.

Dạng 4. So sánh và giải thích ý nghĩa thực tế

Bài 14. Thời gian chạy 100 m (giây) của hai lớp, mỗi lớp 40 bạn:

Thời gian	[13; 14)	[14; 15)	[15; 16)	[16; 17)	[17; 18)
Lớp 11A	3	9	14	10	4
Lớp 11B	6	12	9	8	5

Đáp án. 11A: Q₁ ≈ 14,78; M_e ≈ 15,57; Q₃ = 16,4. 11B: Q₁ ≈ 14,33; M_e ≈ 15,22; Q₃ ≈ 16,38. Chạy càng ít giây càng nhanh, nên xét theo trung vị và Q₁, lớp 11B chạy nhanh hơn; nhóm 25% chậm nhất của hai lớp gần như ngang nhau.

Bài 15. Thu nhập (triệu đồng/tháng) của 100 hộ: [6; 9): 10; [9; 12): 24; [12; 15): 30; [15; 18): 22; [18; 21): 14. Tính tứ phân vị và diễn giải.

Đáp án. Q₁ = 10,875; M_e = 13,6; Q₃ = 16,5. Khoảng một phần tư số hộ có thu nhập dưới 10,9 triệu, một nửa dưới 13,6 triệu và một phần tư có thu nhập từ 16,5 triệu trở lên.

Bài 16. Thời gian tập thể dục (phút) của 20 người: 12, 15, 18, 22, 25, 25, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 52, 58. So sánh trung vị của mẫu gốc với trung vị sau khi ghép thành các nhóm [10; 20), [20; 30), …, [50; 60).

Lời giải. Mẫu gốc: trung vị = (31 + 33)/2 = 32. Ghép nhóm được tần số 3; 5; 6; 4; 2, n/2 = 10 thuộc [30; 40): M_e = 30 + (10 − 8)/6 · 10 ≈ 33,33. Hai kết quả lệch nhau vì công thức giả định số liệu trải đều trong nhóm, đó là lí do ta gọi là “ước lượng”.

Trắc nghiệm nhanh (Bài 17–20)

Bài 17. Tần số tích luỹ của các nhóm [0; 4), [4; 8), [8; 12), [12; 16), [16; 20) là 8; 22; 41; 53; 60. Nhóm chứa Q₃ là: A. [4; 8) B. [8; 12) C. [12; 16) D. [16; 20).

Đáp án C. 3n/4 = 45; tích luỹ 41 < 45 ≤ 53. Chọn B là lỗi lấy nhóm có tần số lớn nhất (đó là nhóm chứa mốt).

Bài 18. Mẫu [50; 60): 4; [60; 70): 10; [70; 80): 16; [80; 90): 10 có trung vị là: A. 72,5 B. 73,75 C. 75 D. 76,25.

Đáp án B. n/2 = 20, C = 14: M_e = 70 + 6/16 · 10 = 73,75. Đáp án C là trung điểm nhóm, không phải trung vị.

Bài 19. Tứ phân vị thứ hai Q₂ bằng: A. số trung bình B. trung vị C. mốt D. Q₃ − Q₁.

Đáp án B. Q₂ chia mẫu thành hai nửa bằng nhau nên chính là trung vị.

Bài 20. Mẫu [0; 20): 12; [20; 40): 18; [40; 60): 20; [60; 80): 10 có Q₁ xấp xỉ: A. 23,33 B. 25 C. 20 D. 26,67.

Đáp án A. n/4 = 15 thuộc [20; 40): Q₁ = 20 + (15 − 12)/18 · 20 ≈ 23,33. Đáp án C chỉ là đầu mút trái của nhóm, chỉ đúng khi n/4 trùng với tần số tích luỹ của nhóm trước.

Lỗi sai thường gặp

Chọn nhóm có tần số lớn nhất làm nhóm chứa trung vị – phải dò theo tần số tích luỹ.
Lấy C bằng tần số tích luỹ của chính nhóm chứa trung vị thay vì của các nhóm đứng trước.
Quên hiệu chỉnh khi số liệu nguyên ghi dạng 10–14, 15–19.
Làm tròn vị trí n/4 thành số nguyên khi n không chia hết cho 4.

Ôn lại phần lý thuyết tại Lý thuyết trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và đối chiếu với lời giải SGK Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo).

Câu hỏi thường gặp

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xác định thế nào?

Lập dòng tần số tích luỹ rồi tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng n/2. Không chọn theo nhóm có tần số lớn nhất, vì đó là cách tìm nhóm chứa mốt.

Tứ phân vị thứ hai Q2 có khác trung vị không?

Không. Q2 chia mẫu số liệu thành hai phần có số giá trị bằng nhau nên Q2 chính là trung vị Me.

Khi n không chia hết cho 4 thì tính Q1 thế nào?

Vẫn dùng đúng giá trị n/4 (có thể là số thập phân như 11,25) để dò nhóm và thay vào công thức, không làm tròn vị trí thành số nguyên.

Vì sao trung vị tính từ bảng ghép nhóm khác trung vị của số liệu gốc?

Khi ghép nhóm, ta mất thông tin từng giá trị và công thức giả định số liệu phân bố đều trong mỗi nhóm, nên kết quả chỉ là giá trị ước lượng gần đúng.