Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán lớp 11 Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 11. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Mời các bạn đón xem:

Bài tập Toán 11 Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Bài tập Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Số trung bình của dãy số liệu xấp xỉ bằng:

(0,925.10 + 0,975.20 + 1,025.35 + 1,075.15 + 1,125.5) : 85 = 1,016

Vậy nhóm chứa mốt của dãy số liệu là nhóm [1,0; 1,05).

Mốt của mẫu số liệu trên là:

Gọi x₁; x₂; x₃;....; x₈₅ lần lượt là số viên pin theo thứ tự không giảm.

Do x₁,...., x₁₀ ∈ [0,9; 0,95); x₁₁,...., x₃₀ ∈ [0,95; 1,0); x₃₁,...., x₆₅ ∈ [1,0; 1,05);

x₆₆,...., x₈₀ ∈ [1,05; 1,1); x₈₁,...., x₈₅ ∈ [1,1; 1,15).

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{42}+x_{43}\right)$) thuộc nhóm [1,0; 1,05) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_2=1,0+\frac{\frac{85}{2}-30}{35}$(1,05-1,0) = 1,02

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{21}+x_{22}\right)$) thuộc nhóm [0,95; 1,0) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_1=0,95+\frac{\frac{85}{4}-10}{20}$(1,0-0,95) = 0,98

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{63}+x_{64}\right)$) thuộc nhóm [1,0; 1,05) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_3=1,0+\frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}$(1,05- 1,0) = 1,048.

Vậy trong mẫu số liệu trên, số trung bình là 1,016, mốt là 1,02, tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,98; 1,02; 1,048.

Bài 2. Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg).

a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con mới sinh giống B.

Hướng dẫn giải

Cân nặng của lợn con giống A và giống B được thống kê như sau:

a) Số cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

(1,05.8 + 1,15.28 + 1,25.32 + 1,35.17) : 85 = 1,22 (kg)

Số cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

(1,05.13 + 1,15.14 + 1,25.24 + 1,35.14) : 65 = 1,21 (kg)

Vậy cân nặng trung bình của lợn con giống A lớn hơn lợn con giống B theo số trung bình.

Gọi x₁; x₂; x₃;....; x₈₅ lần lượt là số lợn con giống A theo thứ tự không giảm.

Do x₁,...., x₈ ∈ [1,0; 1,1); x₉,...., x₃₆ ∈ [1,1; 1,2); x₃₇,...., x₆₈ ∈ [1,2; 1,3);

x₆₉,...., x₈₅ ∈ [1,3; 1,4).

Trung vị của mẫu số liệu lợn con giống A thuộc nhóm [1,2; 1,3) là:

$M_A=1,2+\frac{\frac{85}{2}-36}{32}$.(1,3 - 1,2) = 1,22

Gọi y₁; y₂; y₃;....; y₆₅ lần lượt là số lợn con giống B theo thứ tự không giảm.

Do y₁,...., y₁₃ ∈ [1,0; 1,1); y₁₄,...., y₂₇ ∈ [1,1; 1,2); y₂₈,...., y₅₁ ∈ [1,2; 1,3);

y₅₂,...., y₆₅ ∈ [1,3; 1,4).

Trung vị của mẫu số liệu lợn con giống B thuộc nhóm [1,2; 1,3) là:

$M_B=1,2+\frac{\frac{65}{2}-27}{24}$.(1,3 - 1,2) =1,223

 Vậy cân nặng trung bình của lợn con giống A nhỏ hơn lợn con giống B theo trung vị.

b) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu giống A là$\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{21}+x_{22}\right)$) thuộc nhóm [1,1; 1,2) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1A}=1,1+\frac{\frac{85}{4}-8}{28}$(1,2 - 1,1) = 1,15

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu giống A là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{63}+x_{64}\right)$) thuộc nhóm [1,2; 1,3) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3A}=1,2+\frac{\frac{3.85}{4}-36}{32}$(1,3 - 1,2) = 1,29

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu giống B là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(y}}_{16}+y_{17}\right)$) thuộc nhóm [1,1; 1,2) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1B}=1,1+\frac{\frac{65}{4}-13}{14}$(1,2 - 1,1) = 1,12

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu giống B là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(y}}_{48}+y_{49}\right)$) thuộc nhóm [1,2; 1,3) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3B}=1,2+\frac{\frac{3.65}{4}-27}{24}$(1,3 - 1,2) = 1,29

Vậy tứ phân vị thứ nhất của lợn con giống A và giống B lần lượt là 1,15 và 1,12;

Tứ phân vị thứ ba của lợn con giống A và giống B lần lượt là 1,29 và 1,29.

Bài 3. Độ bão hoà oxygen trong máu (còn được gọi là chỉ số SpO₂) biểu thị cho tỉ lệ hemoglobin có oxygen trên tổng lượng hemoglobin trong máu. Chỉ số SpO₂ (đơn vị đo là %) từ 97 – 99 là oxygen trong máu tốt, 94 – 96 là oxygen trong máu trung bình, 90 – 93 là oxygen trong máu thấp, dưới 90 là trường hợp cấp cứu trên lâm sàng. (Theo: Vinmec.com). Đo chỉ số SpO₂ ở một số bệnh nhân Covid–19 người ta thu được kết quả sau:

a) Cho biết các nhóm số liệu và tần số tương ứng.

b) Tính số trung bình, trung vị và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.

Hướng dẫn giải:

a) Có 3 nhóm số liệu gồm 90 – 93, 94 – 96, 97 – 99 với tần số tương ứng là 12, 31, 7.

b) Trước hết, ta hiệu chỉnh các nhóm số liệu và thu được bảng tần số ghép nhóm gồm giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu n = 12 + 31 + 7 = 50 . Do đó, số trung bình là

$\overline{x}=\frac{12\cdot 91,5+31\cdot 95+7\cdot 98}{50}=\mathrm{94,58.}$

Do có $\frac{n}{2}=25$giá trị nhỏ hơn trung vị nên trung vị thuộc nhóm [93,5; 96,5). Ta có, a_p = 93,5; a_{p + 1} = 96,5; m₁ + … + m_{p – 1} = 12, m_p = 31. Do đó, trung vị là

$M_e=93,5+\frac{25-12}{31}\cdot 3\approx \mathrm{94,76.}$

Như vậy, chỉ số SpO₂ trung bình của 50 bệnh nhân là 94,58; có 25 bệnh nhân có chỉ số SpO₂ nhỏ hơn 94,76 và 25 bệnh nhân có chỉ số SpO₂ lớn hơn 94,76.

Bài 4. Một nhóm gồm 45 học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi. Số câu trả lời đúng của mỗi bạn được ghi lại ở bảng sau:

a) Tìm các tứ phân vị của dãy số liệu trên.

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải:

a) Mẫu số liệu đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:

16; 17; 18; 19; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 24; 24; 24; 24; 24;
25; 26; 26; 26; 27; 28; 29; 30; 30; 31; 32; 33; 34; 34; 34;
35;35;36;36;36;37;37;37;37;38;38;39;39;40;40.

Cỡ mẫu là n = 45 là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu là Q₂ = x₂₃ = 30.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(24+24\right)=24.$

Tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(36+36\right)=36.$

b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

c) Do số câu trả lời đúng của học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu như sau:

Gọi x₁; x₂;…; x₄₅ là số câu trả lời đúng của 45 học sinh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₆ $\in$ [15,5; 20,5); x₇, …, x₁₆ $\in$ [20,5; 25,5); x₁₇, …, x₂₄ $\in$ [25,5; 30,5); x₂₅, …, x₃₂ $\in$ [30,5; 35,5); x₃₃, …, x₄₅ $\in$ [35,5; 40,5).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu x₁; x₂;…; x₄₅ là x₂₃ $\in$ [25,5; 30,5).

Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_2=25,5+\frac{\frac{45}{2}-\left(6+10\right)}{8}\cdot \left(30,5-25,5\right)=\mathrm{29,5625.}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu x₁; x₂;…; x₄₅ là

$\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right).$

Do x₁₁ và x₁₂ thuộc nhóm [20,5; 25,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_1=20,5+\frac{\frac{45}{4}-6}{10}.\left(25,5-20,5\right)=\mathrm{23,125}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu x₁; x₂;…; x₄₅ là $\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)$.

Do x₃₄ và x­₃₅ thuộc nhóm [35,5; 40,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_3=35,5+\frac{\frac{3.45}{4}-\left(6+10+8+8\right)}{13}.\left(40,5-35,5\right)\approx \mathrm{36,173}$.

Bài 5. Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến 25% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Hỏi công ty nên gửi đến các hộ tiêu thụ từ bao nhiêu mét khối nước trở lên?

Hướng dẫn giải:

a) Cỡ mẫu n = 160.

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

$\overline{x}=\frac{24.4,5+57.7,5+42.10,5+29.13,5+8.16,5}{160}=\mathrm{9,375}$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm [6; 9).

Do đó: u_m = 6; n_m = 57; n_{m – 1} = 24; n_m+1 = 42.

Mốt của mẫu số liệu là $M_O=6+\frac{57-24}{\left(57-24\right)+\left(57-42\right)}\cdot \left(9-6\right)=\mathrm{8,0625}$

Gọi x₁; x₂;…; x₁₆₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₂₄ $\in$ [3; 6); x₂₅, …, x₈₁ $\in$ [6; 9); x₈₂, …,x₁₂₃$\in$[9; 12); x₁₂₄, …, x₁₅₂$\in$ [12; 15); x₁₅₃, …, x₁₆₀ $\in$ [15; 18).

Cỡ mẫu n = 160 là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}\left(x_{80}+x_{81}\right)$.

Do x₈₀ và x₈₁ thuộc nhóm [6; 9) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_e=6+\frac{\frac{160}{2}-24}{57}.\left(9-6\right)\approx \mathrm{8,95}$.

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ 8,95 m³ nước trở lên.

B. Lý thuyết Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Trung vị

1.1. Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Gọi n là cỡ mẫu.

• Giả sử nhóm [u_m; u_{m + 1}) chứa trung vị.

• n_m là tần số của nhóm chứa trung vị.

• C = n₁ + n₂ + ... + n_{m – 1}.

Khi đó, ta có công thức xác định trung vị như sau:

1.2. Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.

Ví dụ: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau:

Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Gọi x₁; x₂;....; x₂₅ là cân nặng của 25 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm.

Do x₁ ∈ [150; 155); x₂,...., x₈ ∈ [155; 160); x₉,...., x₂₀ ∈ [160; 165) nên trung vị của mẫu số liệu x₁; x₂;....; x₂₅ là x₁₃ ∈ [160; 165).

Ta xác định được n = 25, n_m = 12, C = 1 + 7 = 8, u_m = 160, u_{m + 1} = 165.

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_e=160+\frac{\frac{25}{2}-8}{12}$.(165 - 160) = 161,875.

2. Tứ phân vị

2.1. Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q₂, cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q₁, ta thực hiện như sau:

• Giả sử nhóm [u_m; u_{m + 1}) chứa tứ phân vị thứ nhất.

• n_m là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất.

• C = n₁ + n₂ + ... + n_{m – 1}.

Khi đó,

- Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q₃, ta thực hiện như sau:

• Giả sử nhóm [u_j; u_{j + 1}) chứa tứ phân vị thứ ba.

• n j là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba.

• C = n₁ + n₂ + ... + n_{j – 1}.

Khi đó,

Chú ý:

• Nếu tứ phân vị thứ k là ($\frac{1}{2}\left(x_m+x_{m+1}\right),$ trong đó x_m và x_{m + 1} thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như x_m ∈ [u_{j – 1}; u_j) và x_{m + 1} ∈ [u_j; u_{j + 1}) thì ta lấy Q_k = u_j.

2.2. Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau. Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

- Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn Q₂) và nửa trên (các dữ liệu lớn hơn Q₂) của mẫu số liệu.

Ví dụ: Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Ta có: do số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Gọi x₁; x₂;....; x₁₀₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁,...., x₁₇ ∈ [0,5; 2,5); x₁₈,...., x₅₀ ∈ [2,5; 4,5); x₅₁,...., x₇₅ ∈ [4,5; 6,5);

x₇₆,..., x₉₅ ∈ [6,5; 8,5); x₉₆,...., x₁₀₀ ∈ [8,5; 10,5).

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x₁; x₂;....; x₁₀₀ là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{50}+x_{\mathrm{51)}}\right).$ Do x₅₀ ∈ [4,5; 6,5) và  x₅₁ ∈ [4,5; 6,5) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_2=4,5.$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂;....; x₁₀₀ là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{25}+x_{\mathrm{26)}}\right).$ Do x₂₅ và x₂₆ thuộc nhóm [2,5; 4,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_1=2,5+\frac{\frac{1.100}{4}-17}{33}$.(4,5 - 2,5) = $\frac{197}{66}\approx 2,98.$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x₁; x₂;....; x₁₀₀ là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{75}+x_{\mathrm{76)}}\right).$ Do x₇₅ ∈ [4,5; 6,5) và   x₇₆ ∈ [6,5; 8,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_3=6,5.$