Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm $x_0$và hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm $x_0$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $x_n\in \left(a;b\right)$,$x_n\ne x_0$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$hay $f(x)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

2. Giới hạn một bên

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói số L là giới hạn bên phải của $f(x)$khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=L$.

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };b\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n<b$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$.

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}c=c$, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}c=c$.

Với k là một số nguyên dương, ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^k})=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^k})=0$.

4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a, Giới hạn vô cực

- Giả sử (a;b) là một khoảng chứa $x_0$và hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là $+\mathrm{\infty }$khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $\left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $-\mathrm{\infty }$khi $x\to x_0$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, nếu $\underset{x\to x_0}{lim}\left[-f(x)\right]=+\mathrm{\infty }$.

- Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Các giới hạn một bên$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ được định nghĩa tương tự.

b, Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tích$\underset{x\to x_0}{lim}f(x).g(x)$

*Giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$

Sơ đồ tư duy Giới hạn của hàm số.

B. Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}}$;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

a) 

$=\frac{3\cdot 3+1}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$

b) Vì (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Nhưng với x ≠ 1, ta có:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$==$\underset{x\to 1}{\lim }$(x+2) = 3.

Bài 2: Tìm các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$;

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-3) = 1-3 = -2 <0

Do đó: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$ = – ∞.

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(x²-2x+3) = 4²-8+3 = 11 > 0

Do đó: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$ = +∞.

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }$(x³-2x);

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$(x³-3x);

c) .

Hướng dẫn giải

a) 

b) 

c) Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.

Do đó, 

Bài 4: Cho hàm số f(x) = $\frac{2x^2-2}{x-1}$ và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

a) f(x) = g(x).

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\text{f(x)}=\underset{x\to 1}{\lim }\text{g(x)}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.

Ta có: f(x) =  = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.

Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.

b) $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(2x+2) = 4

$\underset{x\to 1}{\lim }$g(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(x+3) = 4

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.

Video bài giảng Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số - Kết nối tri thức

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 15: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 16: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 17: Hàm số liên tục

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Lý thuyết Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục