Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chương 4: Quan hệ song song trong không gian sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

A. Lý thuyết Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

1. Khái niệm mở đầu

• Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

Chú ý:

+ Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.

+ Để ký hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).

Ví dụ: mặt phẳng (P) và mặt phẳng (α) như sau:

• Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu A ∈ (P).

Điểm B không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu B ∉ (P).

Nếu A ∈ (P) ta còn nói A nằm trên (P), hoặc (P) chứa A, hoặc (P) đi qua A.

Chú ý: Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

Ví dụ:

- Hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật:

- Hình biểu diễn của hình lập phương:

- Hình biểu diễn của hình chóp tam giác đều:

2. Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2:Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là (ABC). Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.

Tính chất 4: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Chú ý: Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Khi đó ta kí hiệu là d ⸦ (P) hoặc (P) ⸧ d.

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Chú ý: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và ký hiệu là d = (P) ∩ (Q).

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới dây, d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β), kí hiệu là d = (α) ∩ (β).

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

3. Cách xác định một mặt phẳng

- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Chú ý: Mặt phẳng được xác định bởi điểm A và đường thẳng d không chứa A được kí hiệu là mp(A, d). Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là mp(a, b).

4. Hình chóp và hình tứ diện

4.1. Hình chóp

- Cho đa giác lồi A₁A₂…A_n và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A₁, A₂,…,A_n để được n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …, SA_nA₁. Hình gồm n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …, SA_nA₁ và đa giác A₁A₂…A_n được gọi là hình chóp và kí hiệu là SA₁A₂…A_n.

- Trong hình chóp SA₁A₂…A_n, điểm S được gọi là đỉnh và đa giác A₁A₂…A_n được gọi là mặt đáy; các tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …, SA_nA₁ được gọi là các mặt bên; các cạnh SA₁, SA₂, …, SA_n được gọi là các cạnh bên; các cạnh A₁A₂, A₂A₃, …, A_nA₁ được gọi là các cạnh đáy.

Chú ý: Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.

4.2. Hình tứ diện

- Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD.

- Trong hình tứ diện ABCD, các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, C, DA, AC, BD được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD được gọi là các mặt của tứ diện.

- Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

Nhận xét: Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của tứ diện cũng có thể được coi là mặt đáy.

Chú ý: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

Ví dụ: Khối rubik tam giác là hình ảnh của một hình tứ diện.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.

- Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

- Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.

TH1: a và b cùng nằm trong một mặt phẳng

TH2: a và b không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào

Nhận xét:

+ Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

+ Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Chú ý: Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.

6. Tính chất của hai đường thẳng song song

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Tính chất 2: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tính chất 3: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

7. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Nếu d và (α) không có điểm chung thì ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

Ngoài ra:

- Nếu d và (α) có một điểm chung duy nhất M thì ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu d ∩ (α) = {M} hay d ∩ (α) = M.

- Nếu d và (α) có nhiều hơn một điểm chung thì ta nói d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu d ⸦ (α) hay (α) ⸧ d.

8. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

- Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).

- Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

9. Hai mặt phẳng song song

- Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu (α) // (β) hay (β) // (α).

Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau và đường thẳng d nằm trong (α) thì d và (β) không có điểm chung, tức là d song song với (β). Như vậy, nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.

Ví dụ: Hình ảnh về các mặt phẳng song song

-Các bậc cầu thang

- Mặt bàn và mặt nền phòng học

10. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau.

• Tính chất của hai mặt phẳng song song:

-Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

- Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

11. Định lí Thalès trong không gian

- Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Theo hình minh họa trên, ta có : $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$ .

12. Hình lăng trụ và hình hộp

- Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α'). Trên (α) cho đa giác lồi A₁A_2…A_n. Qua các đỉnh A₁, A₂,…A_n vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng (α') tại A₁', A₂',…A_n'. Hình gồm hai đa giác A₁A_2…A_n, A₁'A₂'…A_n' và các tứ giác A₁A₁'A₂'A₂,…, A_nA_n' A₁'A₁ được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là A₁A_2…A_n.A₁'A₂'…A_n'

+ Các điểm A₁, A₂,…A_n và A₁', A₂',…A_n' được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng A₁A₁', A₂A₂',…, A_nA_n' được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng A₁A₂, …, A_nA₁ và A₁'A₂', A₂'A₃', …, A_n' A₁' được gọi là các cạnh đáy của hình lăng trụ.

+ Hai đa giác A₁A_2…A_n và A₁'A₂'…A_n' được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

+ Các tứ giác A₁A₁'A₂'A₂,…, A_nA_n' A₁'A₁ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

Chú ý: Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy.

Chẳng hạn, hình lăng trụ có đáy là tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là hình lăng trụ tứ giác.

- Hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

+ Các cặp điểm A và C', B và D', C và A', D và B' được gọi là các đỉnh đối diện của hình hộp.

+ Các đoạn thẳng AC', BD', CA' và DB' được gọi là các đường chéo của hình hộp.

+ Các cặp tứ giác ABCD và A'B'C'D', ADD'A' và BCC'B', ABB'A' và CDD'C' được gọi là hai mặt đối diện của hình hộp.

Nhận xét:

- Các đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường;

- Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau và có thể coi là hai đáy của hình hộp.

13. Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng ∆ cắt (α). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M’ như sau:

- Nếu M thuộc ∆ thì M' là giao điểm của (α) và ∆.

- Nếu M không thuộc ∆ thì M' là giao điểm của (α) và đường thẳng qua M song song với ∆.

Điểm M' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (α) theo phương ∆.

Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M với hình chiếu M' của nó được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương ∆.

Mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương ∆ được gọi là phương chiếu.

- Cho hình ℋ, tập hợp ℋ ' các hình chiếu M' của các điểm M thuộc ℋ qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của ℋ qua phép chiếu song song đó.

Chú ý: Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Kể từ đây, nếu không nói gì thêm ta chỉ xét các phép chiếu mà phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

14. Tính chất của phép chiếu song song

- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

- Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

$\frac{AB}{CD}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{C\text{'}D\text{'}}$

$\frac{AB}{CD}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{C\text{'}D\text{'}}$

15. Hình biểu diễn của một hình không gian

- Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì hình biểu diễn của hình phẳng đó có các tính chất sau:

+ Hình biểu diễn của một tam giác (cân, đều, vuông) là một tam giác;

+ Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành;

+ Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB // CD là một hình thang A'B'C'D' với A'B' // C'D' thỏa mãn $\frac{AB}{CD}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{C\text{'}D\text{'}}$ .

+ Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Ví dụ:

- Hình lập phương

- Hình lăng trụ

B. Bài tập

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đáy S.ABCD với ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

b) MO là giao tuyến của (SAC) và (MBD).

Hướng dẫn giải

a)

Ta có $\Rightarrow$ S$\in$(SAC)$\cap$(SBD) (1)

Vì O = AC ∩ BD nên  $\Rightarrow$ O$\in$(SAC)$\cap$(SBD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra : SO = (SAC) ∩ (SBD).

b) Vì M ∈ SA nên M ∈ (SAC) nên M là điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MBD)

Vì O = AC BD nên  $\Rightarrow$O$\in$(SAC)$\cap$(MBD)

Suy ra: MO = (SAC) ∩ (MBD).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm nằm bên trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNI) và (BCD).

Hướng dẫn giải

Gọi E là giao điểm của MN và BC.

Ta có:

$\Rightarrow$I$\in$(IMN)$\cap$(BCD) (1)

Vì E là giao điểm của MN và BC nên:

$\Rightarrow$ E$\in$(IMN)$\cap$(BCD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra : IE = (MNI) ∩ (BCD)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì ba đường thẳng PQ, RS và AC hoặc song song hoặc đồng quy.

Hướng dẫn giải

$\Rightarrow$P $\in$ (ABC)

Mà P ∈ (PQRS) suy ra P ∈ (PQRS) ∩ (ABC)

Tương tự Q ∈ (PQRS) suy ra Q ∈ (PQRS) ∩ (ABC)

Suy ra: PQ = (PQRS) ∩ (ABC)

Chứng minh tương tự với RS, ta được RS = (PQRS) ∩ (ABC)

Ta có: AC = (ABC) ∩ (ACD)

Theo tính chất, suy ra ba đường thẳng PQ, RS và AC đôi một song song hoặc đồng quy.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác PQCD là hình thang.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác SAB ta có PQ là đường trung bình suy ra PQ // AB.

Mà AB // CD (theo giả thiết) do đó PQ // CD.

Suy ra PQCD là hình thang.

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao tuyến của (GIJ) và (BCD)?

Hướng dẫn giải

Ta thấy: G ∈ (GIJ) ∩ (BCD)

Vì I, J là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra IJ // CD.

Mà IJ ⸦ (GIJ), CD ⸦ (BCD)

Suy ra: giao tuyến của 2 mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là 1 đường thẳng d đi qua G và song song với CD.

Bài 6: Cho hai tam giác MNP và MNQ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MQ.

a) Đường thẳng ME có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

b) Đường thẳng EF có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

Hướng dẫn giải

a) ME cắt (NPQ) tại N nên ME không song song với (NPQ).

b) Ta thấy: EF là đường trung bình của tam giác MNQ nên EF // NQ.

Ta có:  nên EF // (NPQ).

Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng BD // (APQ).

Hướng dẫn giải

Ta có: P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD nên PQ là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra PQ // BD.

Ta có:  nên BD // (APQ).

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.

a) Chứng minh MN // (SBC), MN // (SAD).

b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP).

Hướng dẫn giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD (hình bình hành cũng là hình thang).

Suy ra MN // BC và MN // AD.

Ta có:

, suy ra MN // (SBC)

, suy ra MN // (SAD)

b) Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD).

Mà MN // AD

Do đó giao tuyến của (MNP) và (SAD) là đường thẳng qua P song song với AD và MN và đường thẳng này cắt SD tại Q.

Suy ra: PQ = (MNP) ∩ (SAD)

Xét $∆$SAD, ta có: PQ // AD

Mà P là trung điểm SA

Suy ra: Q là trung điểm SD.

Khi đó, QN là đường trung bình của $∆$SCD.

Suy ra QN // SC.

Ta có :  nên SC // (MNP).

Lại có M và P lần lượt là trung điểm của AB và SA nên MP là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MP // SB.

Ta có:  nên SB // (MNP).

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của SA, SD lần lượt là M, N. Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC).

Hướng dẫn giải

Ta có: Trong tam giác SAC, MO là đường trung bình. Suy ra MO // AC

 nên MO // (SBC).

SD, BD có N và O lần lượt là trung điểm nên NO là đường trung bình của tam giác SBD. Suy ra NO // SB.

Do đó, NO // (SBC).

Ta có:

 suy ra (OMN) // (SBC).

Bài 10: Cho hình tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂B. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (BCD) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại C₁, D₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại D₁, D₂. Chứng minh AC₁ = C₁C₂ = C₂C và AD₁ = D₁D₂ = D₂D.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AC ta có: $\frac{A{C}_1}{A{A}_1}=\frac{C_1{C}_2}{A_1{A}_2}=\frac{C_{2}C}{A_{2}B}$ mà AA₁ = A₁A₂ = A₂B.

Suy ra: AC₁ = C₁C₂ = C₂C.

Chứng minh tương tự: Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AD ta có: $\frac{A{D}_1}{A{A}_1}=\frac{D_1{D}_2}{A_1{A}_2}=\frac{D_{2}D}{A_{2}B}$ mà AA₁ = A₁A₂ = A₂B

Suy ra: AD₁ = D₁D₂ = D₂D.

Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của A'B'. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Suy ra giao tuyến của (IBD) với (A'B'C'D') là đường thẳng d đi qua I và song song với BD.

- Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), gọi M là giao điểm của d và A'D'.

Suy ra, IM // BD // B'D'.

Khi đó thiết diện là tứ giác IMDB và tứ giác này là hình thang.

Bài 12: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 3 cm, CD = 9 cm.

Hướng dẫn giải

Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn các mặt bên là hình tam giác.

Hình thang ABCD có AB // CD và AB = 3 cm, CD = 9 cm nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có đáy CD gấp ba lần đáy AB và hai đáy này song song với nhau.

Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của S.ABCD như hình dưới đây.

Bài 13: Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G' của tam giác A'B'C' trong đó A'B'C' là hình chiếu song song của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của cạnh AB.

Ta có: A, I, B thẳng hàng và AI = IB

Do vậy A', I', B' thẳng hàng và A'I' = I'B', tức I' là trung điểm B'A'

Hay hình chiếu I' của I là trung điểm của A'B'.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên C, G, I thẳng hàng

Do G ∈ CI nên G' ∈ C'I';

Vậy G' là trọng tâm tam giác A'B'C'.

Video bài giảng Toán 11 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức

Lý thuyết Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 11: Hai đường thẳng song song

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 14: Phép chiếu song song

Xem chi tiết