Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian chi tiết sách Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1. Khái niệm mở đầu

Giải Toán 11 trang 71 Tập 1

Câu hỏi trang 71 Toán 11 Tập 1: Hãy tìm một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế.

Lời giải:

Một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế: mặt bàn, mặt gương phẳng, mặt sàn phẳng, trần nhà phẳng,...

HĐ1 trang 71 Toán 11 Tập 1: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Lời giải:

- Một cục nam châm tròn nhỏ gắn trên mặt bảng cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng;

- Một chiếc đầu đinh được gắn vào mặt bàn khi đinh đóng vào bàn cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng;

...

2. Các tính chất thừa nhận

Giải Toán 11 trang 72 Tập 1

HĐ2 trang 72 Toán 11 Tập 1: Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A, B này không?

Lời giải:

Không thể tìm được đường thẳng nào khác đi qua hai điểm A, B đã cho ngoài đường thẳng tạo bởi xà ngang.

Câu hỏi trang 72 Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?

Lời giải:

Cho 3 điểm không thẳng hàng, để tạo được 1 đường thẳng từ 2 trong 3 điểm đó, ta lấy 2 điểm bất kì và xác định đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Khi đó số đường thẳng tạo thành là $C_3^2=3$ .

HĐ3 trang 72 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.

a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?

b) Có thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?

Lời giải:

a) Khi đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn, mặt màu đỏ của khối rubik nằm trên mặt bàn.

b) Không thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn.

Câu hỏi trang 72 Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?

Lời giải:

Qua ba điểm thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường thẳng. Có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này nên có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.

Luyện tập 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?

Lời giải:

Vì 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng (ABCD).

Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vận dụng 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,...

Lời giải:

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Do đó, khi thiết kế các đồ vật gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,... ta thấy các đồ vật này có thể đứng thẳng mà không bị đổ trên các bề mặt bởi vì các ba chân của các đồ vật này giống như 3 điểm không thẳng hàng.

Giải Toán 11 trang 73 Tập 1

HĐ4 trang 73 Toán 11 Tập 1: Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?

Lời giải:

Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây nằm trên mặt bàn.

Luyện tập 2 trang 73 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?

Lời giải:

Đường thẳng AB có hai điểm phân biệt A, B thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABC). Vì N thuộc đường thẳng AB nên N thuộc mặt phẳng (ABC).

Theo Ví dụ 2, ta có điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Khi đó đường thẳng MN có hai điểm phân biệt M, N thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABC).

HĐ5 trang 73 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?

Lời giải:

Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể giao nhau theo đường thẳng.

Giải Toán 11 trang 74 Tập 1

Luyện tập 3 trang 74 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Lời giải:

Ta có hai đường thẳng BM và CN cắt nhau tại điểm A.

Do đó, điểm A thuộc đường thẳng BM nên cũng thuộc mặt phẳng (SBM), điểm A thuộc đường thẳng CN nên cũng thuộc mặt phẳng (SCN). Vậy A là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Vì S và A là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA. Ta viết SA = (SBM) ∩ (SCN).

3. Các xác định một mặt phẳng

HĐ6 trang 74 Toán 11 Tập 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C phân biệt (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng d. Điểm A thuộc mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa điểm A.

Mặt phẳng (ABC) chứa các điểm A, B, C nên mặt phẳng (ABC) chứa hai đường thẳng AB và BC.

Giải Toán 11 trang 75 Tập 1

Luyện tập 4 trang 75 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: mp(S, a) và mp(S, c); mp(S, b) và mp(S, c).

Lời giải:

Gọi L là giao điểm của a và c, K là giao điểm của b và c.

Vì L thuộc a nên L thuộc mp(S, a). Vì L thuộc c nên L thuộc mp(S, c). Hai điểm S và L cùng thuộc mp(S, a) và mp(S, c) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SL.

Vì K thuộc b nên K thuộc mp(S, b). Vì K thuộc c nên K thuộc mp(S, c). Hai điểm S và K cùng thuộc mp(S, b) và mp(S, c) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SK.

Vận dụng 2 trang 75 Toán 11 Tập 1: Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to đập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.

Lời giải:

Phụ kiện hít cửa nam châm đại diện cho 1 điểm cố định, một cạnh của cánh cửa đại diện cho một đường thẳng không chứa điểm phụ kiện hít cửa nam châm. Chính vì vậy có một mặt phẳng được xác định khi phụ kiện hít cửa và một cạnh của cánh cửa, khi đó cánh cửa luôn được giữa cố định.

4, Hình chóp và hình tứ diện

HĐ7 trang 75 Toán 11 Tập 1: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?

Lời giải:

Các hình ảnh đã cho đều có các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.

Giải Toán 11 trang 76 Tập 1

Luyện tập 5 trang 76 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó.

Lời giải:

Hình chóp S.ABCD có

+ Bốn mặt bên là các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA.

+ Một mặt đáy là tứ giác ABCD.

HĐ8 trang 76 Toán 11 Tập 1: Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.

Lời giải:

Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp thứ ba tính từ trái sang (hình khối rubik) có ít mặt nhất.

Hình chóp này có 6 cạnh và 4 mặt.

Luyện tập 6 trang 76 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Vì điểm E nằm trong tam giác BCD nên đường thẳng DE cắt cạnh BC tại một điểm K. Các điểm A, E thuộc mặt phẳng (ADK) nên đường thẳng AE thuộc mặt phẳng (ADK), do đó điểm F thuộc mặt phẳng (ADK). Như vậy các điểm A, D, E, F, K cùng thuộc mặt phẳng (ADK).

Trong tam giác ADK, đường thẳng DF cắt AK tại G. Vì G thuộc AK và A, K cùng thuộc mặt phẳng (ABC) nên G thuộc mặt phẳng (ABC). Vậy G là giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng (ABC).

Giải Toán 11 trang 77 Tập 1

Bài 4.1 trang 77 Toán 11 Tập 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P).

b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P).

c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P).

d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P).

Lời giải:

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì đường thẳng a có thể cắt mặt phẳng (P).

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng (theo tính chất thừa nhận).

c) Mệnh đề c) là mệnh đề đúng.

Giả sử giao điểm của a và b là H, vì H thuộc a và a nằm trong (P) nên H thuộc (P).

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai.

Chẳng hạn trường hợp như trong hình dưới đây có thể xảy ra: đường thẳng b cắt đường thẳng a tại giao điểm A nhưng đường thẳng b không nằm trong mặt phẳng (P).

Bài 4.2 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc cạnh SA, SB và D, E khác S.

a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không?

b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).

Lời giải:

a) Vì D thuộc cạnh SA nên D thuộc mặt phẳng (SAB).

Vì E thuộc cạnh SB nên E thuộc mặt phẳng (SAB).

Vì D và E cùng thuộc mặt phẳng (SAB) nên đường thẳng DE nằm trong mặt phẳng (SAB).

b) Vì F thuộc DE nên F thuộc mặt phẳng (CDE).

Vì F thuộc AB nên F thuộc mặt phẳng (SAB).

Do đó, F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).

Bài 4.3 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải:

Giả sử đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B.

Vì A thuộc a và a nằm trong (P) nên A thuộc (P).

Vì B thuộc B và b nằm trong (P) nên B thuộc (P).

Đường thẳng c có hai điểm phân biệt A và B cùng thuộc mặt phẳng (P) nên tất cả các điểm của đường thẳng c đều thuộc (P) hay đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

Bài 4.4 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

Lời giải:

Vì N thuộc đường thẳng AB nên N thuộc mặt phẳng (ABM), lại có M thuộc mặt phẳng (ABM) nên đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABM) (1).

Vì N thuộc đường thẳng CD nên N thuộc mặt phẳng (SCD), vì M thuộc cạnh SC nên M thuộc mặt phẳng (SCD), do đó đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SCD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

Bài 4.5 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A). Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.

a) Xác định giao điểm của mp(E, d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của mp(E, d) với các mặt của hình chóp.

Lời giải:

a) +) Vì E thuộc cạnh SA nên E thuộc mặt phẳng (SAB). Vì P thuộc đường thẳng AB nên P thuộc mặt phẳng (SAB). Như vậy, các điểm S, A, B, E, P cùng thuộc mặt phẳng (SAB).

Trong tam giác SAB, đường thẳng EP cắt cạnh SB tại một điểm H. Do P thuộc đường thẳng d nên EP nằm trong mp(E, d) và H thuộc EP, do đó H thuộc mp(E, d). Vậy H là giao điểm của đường thẳng SB và mp(E, d).

+) Vì E thuộc cạnh SA nên E thuộc mặt phẳng (SAD). Vì Q thuộc đường thẳng AD nên Q thuộc mặt phẳng (SAD). Như vậy, các điểm S, A, D, E, Q cùng thuộc mặt phẳng (SAD).

Trong tam giác SAD, đường thẳng EQ cắt cạnh SD tại một điểm I. Do Q thuộc đường thẳng d nên EQ nằm trong mp(E, d) và I thuộc EQ, do đó I thuộc mp(E, d). Vậy I là giao điểm của đường thẳng SD và mp(E, d).

b)

+) Đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N, do đó M, N thuộc d, mà d nằm trong mp(E, d) nên đường thẳng MN cũng nằm trong mp(E, d). Ta lại có, M thuộc CB nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên M thuộc mặt phẳng (ABCD), tương tự N thuộc CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên N thuộc mặt phẳng (ABCD), do đó đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABCD). Vậy MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và mp(E, d).

+) Vì H thuộc SB nằm trong mặt phẳng (SAB) nên H thuộc mặt phẳng (SAB), lại có E thuộc mặt phẳng (SAB), do đó EH nằm trong mặt phẳng (SAB). Vì E thuộc mp(E, d) và H thuộc mp(E, d) nên EH nằm trong mp(E, d). Vậy EH là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và mp(E, d).

+) Vì I thuộc SD nằm trong mặt phẳng (SAD) nên I thuộc mặt phẳng (SAD), lại có E thuộc mặt phẳng (SAD), do đó EI nằm trong mặt phẳng (SAD). Vì E thuộc mp(E, d) và I thuộc mp(E, d) nên EI nằm trong mp(E, d). Vậy EI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và mp(E, d).

+) Vì H thuộc SB nên H thuộc mặt phẳng (SBC), vì M thuộc BC nên M thuộc mặt phẳng (SBC), do đó HM nằm trong mặt phẳng (SBC). Lại có M thuộc d nên M thuộc mp(E, d) và H thuộc mp(E, d) nên HM nằm trong mp(E, d). Vậy HM là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và mp(E, d).

+) Vì I thuộc SD nên I thuộc mặt phẳng (SCD), vì N thuộc CD nên N thuộc mặt phẳng (SCD), do đó IN nằm trong mặt phẳng (SCD). Lại có N thuộc d nên N thuộc mp(E, d) và I thuộc mp(E, d) nên IN nằm trong mp(E, d). Vậy IN là giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và mp(E, d).

Bài 4.6 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CM, BN = CN, BP = 2DP.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Lời giải:

a) Trong tam giác BCD, N thuộc cạnh BC thỏa mãn BN = CN hay N là trung điểm của BC và P thuộc cạnh BD sao cho BP = 2DP. Khi đó, đường thẳng NP cắt CD tại một điểm E. Vì E thuộc NP nằm trong mặt phẳng (MNP) nên E thuộc mặt phẳng (MNP). Vậy E là giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Vì M thuộc cạnh AC nên M thuộc mặt phẳng (ACD), vì E thuộc CD nên E thuộc mặt phẳng (ACD), do đó đường thẳng ME nằm trong mặt phẳng (ACD).

Vì E thuộc mặt phẳng (MNP) và M thuộc mặt phẳng (MNP) nên ME nằm trong mặt phẳng (MNP).

Vậy ME là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Bài 4.7 trang 77 Toán 11 Tập 1: Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao?

Lời giải:

Ba đầu ngón tay minh họa cho 3 điểm phân biệt không thẳng hàng. Theo tính chất thừa nhận, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Khi đó, mỗi khay, đĩa đồ ăn đại diện cho một mặt phẳng đi qua ba điểm ở đầu ngón tay làm cho khay, đĩa đồ ăn được giữ vững bằng phẳng.

Bài 4.8 trang 77 Toán 11 Tập 1: Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Lời giải:

Phần dao cắt có một đầu được gắn cố định vào bàn, giấy cắt được đặt lên phần bàn hình chữ nhật, khi cắt mặt phẳng cắt giao với mặt phẳng giấy theo một giao tuyến là phần đường cắt nên nó luôn là một đường thẳng.

Video bài giảng Toán 11 Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Kết nối tri thức

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 11: Hai đường thẳng song song

Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1. Khái niệm mở đầu

Hình ảnh về mặt phẳng

- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng 1 hình bình hành như hình vẽ:

- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).

VD: Mặt phẳng (P), mặt phẳng ($\alpha$).

- Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu $A\in (P)$, điểm B không thuộc mặt phẳng (P) ta kí hiệu $B\notin (P)$.Nếu $A\in (P)$ta còn nói A nằm trên (P) hoặc (P) chứa A hoặc (P) đi qua A.

*Quy tắc biểu diễn hình:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song, của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

2. Các tính chất thừa nhận

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu có một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu $d\subset (P)$ hoặc .

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu .

- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hìn$d=(P)\cap (Q)$h học phẳng đều đúng.

3. Xác định một mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa 1 đường thẳng không đi qua điểm đó.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

4. Hình chóp và hình tứ diện

Cho đa giác lồi $A_1{A}_2...A_n$ và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$để được n tam giác $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$. Hình gồm n tam giác  $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$và đa giác  $A_1{A}_2...A_n$được gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1{A}_2...A_n$.

Trong hình chóp $S.A_1{A}_2...A_n$điểm S được gọi là đỉnh và đa giác$A_1{A}_2...A_n$ được gọi là mặt đáy, các tam giác $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$được gọi là các mặt bên; các cạnh $S{A}_1,S{A}_2,...,S{A}_n$được gọi là cạnh bên; các cạnh$A_1{A}_2,A_2{A}_3...,A_n{A}_1$ được gọi là các cạnh đáy.

VD: Hình chóp tứ giác S.ABCD

Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.

Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.

Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.