Giải Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

Huyen Luong Ngày: 23-02-2023 Lớp 10

312

Với Giải toán lớp 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.16 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Phương pháp giải:

Độ dài vectơ $\vec{O M} (x, y)$ là $| \vec{O M} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Lời giải:

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

$\Rightarrow \vec{O M} (1; 3), \vec{O N} (4; 2), \vec{M N} = (4 - 1; 2 - 3) = (3; - 1)$

$\Rightarrow O M = | \vec{O M} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10},$ $O N = | \vec{O N} | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5},$ $M N = | \vec{M N} | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$

b) Dễ thấy: $O M = \sqrt{10} = M N$ $\Rightarrow Δ O M N$ cân tại M.

Lại có: $O M^{2} + M N^{2} = 10 + 10 = 20 = O N^{2}$

$\Rightarrow$ Theo định lí Pythagore đảo, ta có $Δ O M N$ vuông tại M.

Vậy $Δ O M N$ vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j},$ $\vec{b} = (4; - 1)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{M N}$ và $2 \vec{a} - \vec{b}$ .

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Phương pháp giải:

b) Các điểm O, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ cùng phương

c) OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{b} = (4; - 1)$ và $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j} \Rightarrow \vec{a} (3; - 2)$

$\Rightarrow 2 \vec{a} - \vec{b} = (2.3 - 4; 2. (- 2) - (- 1)) = (2; - 3)$

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

$\Rightarrow \vec{M N} = (3 - (- 3); - 3 - 6) = (6; - 9)$

Dễ thấy: $(6; - 9) = 3. (2; - 3)$ $\Rightarrow \vec{M N} = 3 (2 \vec{a} - \vec{b})$

b) Ta có: $\vec{O M} = (- 3; 6)$ ( do M(-3; 6)) và $\vec{O N} = (3; - 3)$ (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{- 3}{3} \neq \frac{6}{- 3}$ ).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$ .

Bài 4.16 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do $\vec{O M} = (- 3; 6), \vec{P N} = (3 - x; - 3 - y)$ nên

$\vec{O M} = \vec{P N} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 3 = 3 - x \\ 6 = - 3 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 6 \\ y = - 9 \end{cases}$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Bài 4.18 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Phương pháp giải:

a) Các điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $(0; 0) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{D}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{D}}{3})$

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1), \vec{A C} = (- 3 - 1; 2 - 3) = (- 4; - 1)$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{- 4} \neq \frac{1}{- 1}$ ).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{1 + 2}{2}; \frac{3 + 4}{2}) = (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{1 + 2 + (- 3)}{3}; \frac{3 + 4 + 2}{3}) = (0; 3)$

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $(0; 0) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{D}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{D}}{3})$

$\Leftrightarrow (0; 0) = (\frac{1 + 2 + x}{3}; \frac{3 + 4 + y}{3})$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (0; 0) = (1 + 2 + x; 3 + 4 + y) \\ \Leftrightarrow (0; 0) = (x + 3; y + 7) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 0 = x + 3 \\ 0 = y + 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 7 \end{cases} \end{array}$

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Bài 4.19 trang 65 Toán lớp 10: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Phương pháp giải:

Lập luận chỉ ra $\vec{A B} = 1, 5. \vec{v}$

Lời giải:

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$ nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng $| \vec{v} |$ .

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: $\vec{A B} = 1, 5. \vec{v}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1; y - 2) = 1, 5 . (3; 4) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 1 = 4, 5 \\ y - 2 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 5, 5 \\ y = 8 \end{cases} \end{array}$