Vận dụng trang 50 Toán lớp 10: Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế $\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$ của các ca nô A, B. ?

b) Trong các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$, những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Phương pháp giải:

Vẽ 3 vectơ, lần lượt mô phỏng $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$.

Nhận xét về phương và chiều của chúng để kết luận cùng hướng hay ngược hướng.

Hai vectơ được gọi là cùng phương  nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương mà cùng chiều thì được gọi là cùng hướng.

Hai vectơ cùng phương mà ngược chiều thì được gọi là ngược hướng.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ lần lượt là vectơ vận tốc riêng của ca nô A và B (cùng độ lớn).

Vì ca no A chạy xuôi dòng nên ngoài vận tốc riêng của ca nô, ca nô A còn được đẩy đi bởi vận tốc của dòng nước. Do đó vectơ vận tốc thực của cano A cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ lớn bằng tổng của vận tốc riêng và vận tốc dòng nước, là 18 km/h.

Ngược lại, ca nô đi ngược dòng nên bị cản lại một phần bởi dòng nước. Vì vận tốc của dòng nước nhỏ hơn vận tốc riêng của cano B nên vectơ vận tốc thực của cano B cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ và có độ lớn bằng hiệu giữa vận tốc riêng và vận tốc dòng nước, là 12 km/h.

Ta biểu diễn vận tốc thực của ca nô A và ca nô B như sau:

b) Dễ thấy:

Các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_A},\overrightarrow{v_B}$ đều có giá song song nên chúng cùng phương với nhau.

Ca nô A đi xuôi dòng nên vectơ vận tốc thực của ca nô A cùng hướng với vectơ vận tốc dòng nước.

Hay $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_A}$ cùng hướng.

Ca nô A đi ngược dòng nên vectơ vận tốc thực của ca nô B ngược hướng với vectơ vận tốc dòng nước.

Hay $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_B}$ ngược hướng.

Chú ý khi giải

Vận tốc riêng của cano là vận tốc của cano khi dòng nước đứng im.

Vận tốc thực của cano là vận tốc của cano khi kết hợp với dòng nước (đang chảy)

Bài tập

Bài 4.1 trang 50 Toán lớp 10: Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$đều khác $\overrightarrow{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{0}$;

b) Nếu $\overrightarrow{b}$không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$.

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Lời giải:

a) Đúng vì vectơ $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.

b) Sai. Chẳng hạn: Hai vecto không cùng hướng nhưng cũng không ngược hướng (do chúng không cùng phương).

c) Đúng.

 $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì a // c và b // c do đó a // b tức là $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

d) Đúng.

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương , cùng chiều đo đó cùng hướng.

Bài 4.2 trang 50 Toán lớp 10: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vecto cùng phương, các cặp vecto ngược hướng và các cặp vecto bằng nhau.

Lời giải:

Các vecto cùng phương là: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$

Trong đó cặp vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$ cùng hướng, cặp vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và cặp vecto $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Bài 4.3 trang 50 Toán lớp 10: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.$

Bài 4.4 trang 50 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vecto khác $\overrightarrow{0}$. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vceto khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vecto thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Lời giải:

Tập hợp S là:$S=\{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AO};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BO};\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CO};\overrightarrow{DB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DO};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OA}\}$

Các nhóm trong S là:

$\begin{array}{l}\{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}\},\{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD}\},\{\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC}\},\{\overrightarrow{DA};\overrightarrow{CB}\},\\ \{\overrightarrow{AO};\overrightarrow{OC}\},\{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CO}\},\{\overrightarrow{OB};\overrightarrow{DO}\},\{\overrightarrow{BO};\overrightarrow{OD}\}.\end{array}$

Bài 4.5 trang 50 Toán lớp 10: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy hãy vẽ các vecto $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{MN}$ với A (1; 2), M (0; -1), N (3; 5).