a,

A. $S=\frac{1}{2}ca$

B. $S=\frac{-\sqrt{2}}{4}ac$

C. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}bc$

D. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ca$

Phương pháp giải:

Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}ac.\sin B$

Lời giải:

Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}ac.\sin B$

Mà $\hat{B}={135}^o\Rightarrow \sin B=\sin {135}^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}ac.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.ac$

Chọn D

b,

A. $R=\frac{a}{\sin A}$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Phương pháp giải:

Định lí sin: $R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Lời giải:

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=R$

A. $R=\frac{a}{\sin A}$ đúng

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

Mà $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{b}{\sin B}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=b\sqrt{2}$

Vậy B sai.

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$ (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Chọn A

c,

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab.$

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

D. $b^2=c^2+a^2-2ca\cos {135}^o.$

Phương pháp giải:

Định lí sin: $R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Định lí cos: $b^2=c^2+a^2-2ca.\cos B;a^2=c^2+b^2-2bc.\cos A$

Lời giải:

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab.$ (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$

Không đủ dữ kiện để suy ra $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab.$

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$ (Loại)

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\nRightarrow \frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$(sai vì theo câu a, $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$)

D. $b^2=c^2+a^2-2ca\cos {135}^o.$

Theo định lý cos ta có:

$b^2=c^2+a^2-2ca.\cos B$ (*)

Mà $\hat{B}={135}^o\Rightarrow \cos B=\cos {135}^o$.

Thay vào (*) ta được: $b^2=c^2+a^2-2ca\cos {135}^o$

=> D đúng.

Chọn D

LG a

A. $S=\frac{abc}{4r}$

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}$

C. $a^2=b^2+c^2+2bc\cos A$

D. $S=r(a+b+c)$

Phương pháp giải:

+) Định lí cos: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

+) Công thức tính diện tích: $S=pr=\frac{abc}{4R}$

Lời giải:

a, Chọn đáp án B

A. $S=\frac{abc}{4r}$

Ta có: $S=\frac{abc}{4R}$. Mà $r<R$nên suy ra $S=\frac{abc}{4R}<\frac{abc}{4r}$

Vậy A sai.

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}$

Ta có: $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}$

Mà$p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{S}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2S}{a+b+c}$

Vậy B đúng

C. $a^2=b^2+c^2+2bc\cos A$

Sai vì theo định lí cos ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

D. $S=r(a+b+c)$

Sai vì $S=pr=r.\frac{a+b+c}{2}$

b, Chọn đáp án A

A. $\sin A=\sin (B+C)$

Ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}={180}^o-\hat{A}\\ \Rightarrow \sin (B+C)=\sin A\end{array}$

Vậy A đúng.

B. $\cos A=\cos (B+C)$

Sai vì $\cos (B+C)=-\cos A$(Do $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o$)

C. $\cos A>0$

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu $0^o<\hat{A}<{90}^o$ thì $\cos A>0$

Nếu ${90}^o<\hat{A}<{180}^o$ thì $\cos A<0$

D. $\sin A\le 0$

Ta có $S=\frac{1}{2}bc.\sin A>0$

Mà $b,c>0$

$\Rightarrow \sin A>0$

Vậy D sai.

LG b

A. $\sin A=\sin (B+C)$

B. $\cos A=\cos (B+C)$

C. $\cos A>0$

D. $\sin A\le 0$

Phương pháp giải:

Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

$\sin x=\sin \left({180}^o-x\right)$; $-\cos x=\cos \left({180}^o-x\right)$

Lời giải:

A. $\sin A=\sin (B+C)$

Ta có: $(\hat{A}+\hat{C})+\hat{B}={180}^o$

$\Rightarrow \sin (B+C)=\sin A$

=> A đúng.

B. $\cos A=\cos (B+C)$

Sai vì $\cos (B+C)=-\cos A$

C. $\cos A>0$ Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu $0^o<\hat{A}<{90}^o$ thì $\cos A>0$

Nếu ${90}^o<\hat{A}<{180}^o$ thì $\cos A<0$

D. $\sin A\le 0$

Ta có $S=\frac{1}{2}bc.\sin A>0$. Mà $b,c>0$

$\Rightarrow \sin A>0$

=> D sai.

Chọn A

B. Tự luận

Bài 3.14 trang 44 Toán lớp 10: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $M=\sin {45}^o.\cos {45}^o+\sin {30}^o$

b) $N=\sin {60}^o.\cos {30}^o+\frac{1}{2}.\sin {45}^o$

c) $P=1+{\tan }^2{60}^o$

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Lời giải:

a) $M=\sin {45}^o.\cos {45}^o+\sin {30}^o$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\sin {45}^o=\cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\\ \sin {30}^o=\frac{1}{2}\end{array}$

Thay vào M, ta được: $M=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=1$

b) $N=\sin {60}^o.\cos {30}^o+\frac{1}{2}.\sin {45}^o$

Ta có: $\sin {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\sin {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Thay vào N, ta được: $N=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3+\sqrt{2}}{4}$

c) $P=1+{\tan }^2{60}^o$

Ta có: $\tan {60}^o=\sqrt{3}$

Thay vào P, ta được: $Q=1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4.$

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Ta có: $\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cot {120}^o=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

Thay vào P, ta được: $Q=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}-{\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{1}{\frac{3}{4}}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1.$

Bài 3.15 trang 44 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $\hat{B}={60}^o,\hat{C}={45}^o,AC=10$. Tính $a,R,S,r$.

Lời giải:

Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=R$

+) Ta có: $R=\frac{b}{\sin B}$

Mà $b=AC=10,\hat{B}={60}^o$

$\Rightarrow R=\frac{10}{\sin {60}^o}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}.$

+) Mặt khác: $R=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow a=R.\sin A$

Mà $R=\frac{20\sqrt{3}}{3},\hat{A}={180}^o-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)={180}^o-\left({60}^o+{45}^o\right)={75}^o$

$\Rightarrow a=\frac{20\sqrt{3}}{3}.\sin {75}^o\approx 11,154$

+) Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}ab.\sin \hat{C}$ $\approx \frac{1}{2}.11,\mathrm{154.10.}\sin {60}^o$$\approx 48,3$

+) Lại có: $R=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow c=\frac{20\sqrt{3}}{3}.\sin {45}^o=\frac{10\sqrt{6}}{3}\approx 8,165$

$\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}\approx \frac{11,154+10+8,165}{2}\approx 14,66$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}\approx \frac{48,3}{14,66}\approx 3,3$

Bài 3.16 trang 44 Toán lớp 10:  Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat{AMB}+\cos \widehat{AMC}=0$

b) $M{A}^2+M{B}^2-A{B}^2=2.MA.MB.\cos \widehat{AMB}$ và $M{A}^2+M{C}^2-A{C}^2=2.MA.MC.\cos \widehat{AMC}$

c) $M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^o$

$\Rightarrow \cos \widehat{AMB}=-\cos \widehat{AMC}$

Hay $\cos \widehat{AMB}+\cos \widehat{AMC}=0$

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

 $\begin{array}{l}A{B}^2=M{A}^2+M{B}^2-2MA.MB\cos \widehat{AMB}\\ \iff M{A}^2+M{B}^2-A{B}^2=2MA.MB\cos \widehat{AMB}(1)\end{array}$

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

$\begin{array}{l}A{C}^2=M{A}^2+M{C}^2-2MA.MC\cos \widehat{AMC}\\ \iff M{A}^2+M{C}^2-A{C}^2=2MA.MC\cos \widehat{AMC}(2)\end{array}$

c) Từ (1), suy ra $M{A}^2=A{B}^2-M{B}^2+2MA.MB\cos \widehat{AMB}$

Từ (2), suy ra $M{A}^2=A{C}^2-M{C}^2+2MA.MC\cos \widehat{AMC}$

Cộng vế với vế ta được:

$2M{A}^2=\left(A{B}^2-M{B}^2+2MA.MB\cos \widehat{AMB}\right)+\left(A{C}^2-M{C}^2+2MA.MC\cos \widehat{AMC}\right)$

$\iff 2M{A}^2=A{B}^2+A{C}^2-M{B}^2-M{C}^2+2MA.MB\cos \widehat{AMB}+2MA.MC\cos \widehat{AMC}$

Mà: $MB=MC=\frac{BC}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\Rightarrow 2M{A}^2=A{B}^2+A{C}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2+2MA.MB\cos \widehat{AMB}+2MA.MB\cos \widehat{AMC}$

$\iff 2M{A}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2+2MA.MB\left(\cos \widehat{AMB}+\cos \widehat{AMC}\right)$

$\iff 2M{A}^2=A{B}^2+A{C}^2-{\frac{BC}{2}}^2$

$\begin{array}{l}\iff M{A}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2-{\frac{BC}{2}}^2}{2}\\ \iff M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}\end{array}$ (đpcm)

Cách 2:

Bài 3.17 trang 44 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Phương pháp giải: