Đáp án đúng là A

Vectơ có điểm đầu là P và điểm cuối là Q được kí hiệu là $\overrightarrow{PQ}$.

Đáp án đúng là A

Ta có $\overrightarrow{MN}$ = (-1; 4)

Gọi tọa độ của điểm A là A(x_A; y_A). Khi đó $\overrightarrow{PA}\left(x_A-2;y_A+3\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}$ (tính chất đường trung bình)

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_A-2=-1\\ y_A+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=1\\ y_A=1\end{array}\right.$

⇒ A(1; 1).

Gọi tọa độ điểm B, C lần lượt là B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C).

Vì P là trung điểm của AB nên ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_B=2.2-1\\ y_B=2.\left(-3\right)-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=3\\ y_B=-7\end{array}\right.$

⇒ B(3; -7).

Vì N là trung điểm của AC nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_C=2.\left(-1\right)-1\\ y_C=2.5-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=-3\\ y_C=9\end{array}\right.$

⇒ C(-3; 9).

Khi đó tọa độ trọng tâm G là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1+3+\left(-3\right)}{3}\\ y_G=\frac{1+\left(-7\right)+9}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1}{3}\\ y_G=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow G\left(\frac{1}{3};1\right)$.

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$

Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|>0,\left|\overrightarrow{v}\right|>0$ nên dấu của $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Đáp án đúng là C

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 2 giờ.

Khi đó, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-3+2.2\\ y\text{'}=2+2.5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=1\\ y\text{'}=12\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(1;12\right)$

Vậy sau khi khởi hành 2 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(1; 12).

Đáp án đúng là D

+) Trọng tâm tam giác ABD là: $\left(\frac{11+4+7}{3};\frac{-2+10+6}{3}\right)=\left(\frac{22}{3};\frac{14}{3}\right)$;

+) Trọng tâm tam giác ABC là: $\left(\frac{11+4+\left(-2\right)}{3};\frac{-2+10+2}{3}\right)=\left(\frac{13}{3};\frac{10}{3}\right)$;

+) Trọng tâm tam giác ACD là: $\left(\frac{11+\left(-2\right)+7}{3};\frac{-2+2+6}{3}\right)=\left(\frac{16}{3};2\right)$;

+) Trọng tâm tam giác BCD là: $\left(\frac{4+\left(-2\right)+7}{3};\frac{10+2+6}{3}\right)$ = (3; 6).

Vậy G là trọng tâm tam giác BCD.

Câu 6. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và P là trung điểm của BC.

Phát biểu nào dưới đây là sai.

A. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}$;

B. $\overrightarrow{AA}$cùng hướng với $\overrightarrow{PP}$;

C. $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}$;

D. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PB}$.

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD. Vectơ nào dưới đây bằng $\overrightarrow{CD}$.

A. $\overrightarrow{DC}$;

B. $\overrightarrow{AD}$;

C. $\overrightarrow{CB}$;

D. $\overrightarrow{BA}$.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(3; -1) và N(2; -5). Điểm nào sau đây thẳng hàng với M, N?

A. P(0; 13);

B. Q(1; -8);

C. H(2; 1);

D. K(3; 1).

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 2cm, AC = 7cm. Điểm M là trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ AM.

A. $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\sqrt{53}$cm

B. $\left|\overrightarrow{AM}\right|=3$ cm

C. $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\frac{\sqrt{53}}{2}$ cm

D. $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\frac{3}{2}$ cm

Câu 10. Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo AC, BD lần lượt là 8 cm và 6 cm. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$.

A. 10 cm;

B. 3 cm;

C. 4 cm;

D. 5cm.

Đáp án đúng là A

Xét hình bình hành OAMB, có:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OCND, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}$ (quy tắc hình bình hành) .

Đáp án đúng là A

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ ta có: $\frac{-\frac{2}{5}}{4}=\frac{\frac{1}{5}}{-2}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương.

Các cặp vectơ còn lại không cùng phương, thật vậy

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$ ta có: $\frac{2}{-\frac{2}{5}}\ne \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$ta có: $\frac{2}{-1}\ne \frac{-\frac{1}{3}}{3}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ ta có: $\frac{-1}{-\frac{2}{5}}\ne \frac{3}{\frac{1}{5}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không cùng phương.

Vậy chỉ có duy nhất một cặp vectơ cùng phương

Đáp án đúng là D

Các vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}.$

Vậy tổng có 6 vectơ.

Đáp án đúng là B

Hai vectơ ngược hướng thì cùng phương.

Đáp án đúng là B

Vectơ - không cùng hướng với mọi vectơ nên cùng phương với mọi vectơ.

Mà có vô số vec tơ – không. Do đó B đúng.

Đáp án đúng là A

Quan sát hình vẽ ta thấy:

Các cặp vectơ không cùng phương là: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$

Vậy có tất cả 3 cặp vectơ không cùng phương.

Đáp án đúng là D

Ta có $\overrightarrow{u}=-5\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}.$ Khi đó toạ độ của $\overrightarrow{u}$ là $\overrightarrow{u}$(-5; 6).

Đáp án đúng là C

Ta có $\overrightarrow{BC}$= (3 – 1; -1 – 2) = (2; -3).

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}.$

Đáp án đúng là A

Ta có hai vecto $\overrightarrow{OA}\left(2;1\right),\overrightarrow{OB}\left(3;3\right)$ không cùng phương  (vì $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Suy ra các điểm O, A, B không thẳng hàng

Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}$

Ta có: $\overrightarrow{OA}\left(2;1\right),\overrightarrow{MB}\left(3-x;3-y\right)$ nên

$\left\{\begin{array}{l}2=3-x\\ 1=3-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.\Rightarrow M\left(1;2\right).$

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Đáp án đúng là B

Ta có M(1;3) $\Rightarrow \overrightarrow{OM}\left(1;3\right)\Rightarrow OM=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Ta lại có N(4;2) $\Rightarrow \overrightarrow{ON}\left(4;2\right)\Rightarrow ON=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(-3;1\right)\Rightarrow MN=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2}=\sqrt{10}$

Xét tam giác OMN, có: $OM=MN=\sqrt{10}$ nên tam giác OMN cân tại M.

Ta có: $O{N}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2=20,$$O{M}^2+M{N}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2=20$

$\Rightarrow O{N}^2=O{M}^2+M{N}^2$

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.

Do đó tam giác OMN vuông cân tại M.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(0-(-3x);-2+y-(-1)\right)=\left(3x;-1+y\right)$

Để $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}3x=4\\ -1+y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=0\end{array}\right.$.

Vậy x = $\frac{4}{3}$, y = 0.

Đáp án đúng là

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}-\left(k-\frac{1}{3}\right);k-2-5\right)=\left(1-k;k-7\right)$,

$\overrightarrow{BC}=\left(\frac{2}{3}-\left(-2\right);k-2-12\right)=\left(\frac{8}{3};k-14\right)$

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương

$\iff \frac{1-k}{\frac{8}{3}}=\frac{k-7}{k-14}$

⇔ (1 – k)(k – 14) = $\frac{8}{3}$(k – 7)

⇔ - k² + 15k – 14 = $\frac{8}{3}$k – $\frac{56}{3}$

⇔ - 3k² + 45k – 42 = 8k – 56

⇔ 3k² – 37k – 14 = 0

⇔ k₁ ≈ 12,7 hoặc k₂ ≈ -0,37.

Ta thấy k₁ là giá trị dương nằm trong khoảng (12; 14).

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-1\right)+\left(-1\right).1=-1+\left(-1\right)=-2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=1.2+1.0=2+0=2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.4+3.6=8+18=26\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{z}.\overrightarrow{t}=a.\left(-b\right)+b.a=-ab+ab=0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{z},\overrightarrow{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là D

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=45°.$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a$\sqrt{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}\left(a;0\right)$, $\overrightarrow{BD}\left(-a;a\right)$, $\overrightarrow{AC}\left(a;a\right)$, $\overrightarrow{BC}\left(0;a\right)$, $\overrightarrow{BA}\left(-a;0\right)$.

Khi đó:

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=a.\left(-a\right)+0.a=-a^2$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{BD}\right|}=\frac{-a^2}{a.a\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)={135}^0.$ Do đó A sai.

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$ = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{a^2}{a.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)={45}^0.$ Do đó B đúng

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a.\left(-a\right)+a.a=0$. Do đó C sai.

+) $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc khi $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$= 0.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(1;1\right),\overrightarrow{AC}\left(2x;3x^2-3\right)$.

Khi đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$

Tổng hai nghiệm là 1 + $\left(-\frac{5}{3}\right)$ = $\frac{3}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{2}{3}.$

Vậy tổng hai nghiệm là $-\frac{2}{3}.$

Đáp án đúng là A

Độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{2^2+{\left(3x-3\right)}^2}=\sqrt{4+{\left(3x-3\right)}^2}$.

Độ dài của vectơ $\overrightarrow{v}$ là $\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Suy ra độ dài của vectơ 2$\overrightarrow{v}$ là $\left|\overrightarrow{v}\right|=2.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{5}$.

Để $\left|\overrightarrow{u}\right|$ = 2$\left|\overrightarrow{v}\right|$  thì $\sqrt{4+{\left(3x-3\right)}^2}=2\sqrt{5}$

⇔ 4 + (3x – 3)² = 20

⇔ (3x – 3)² = 16

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x+3=4\\ 3x+3=-4\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x=1\\ 3x=-7\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=-\frac{7}{3}\end{array}\right.$

Ta thấy các giá trị $\frac{1}{3}$ hay $-\frac{7}{3}$ đều không là các giá trị nguyên. Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án đúng là B

Ta có $\overrightarrow{MN}\left(-1;-4\right)$. Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó $\overrightarrow{MF}\left(x-3;y+1\right)$

Để M, N, F thẳng hàng khi $\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ hay $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{-4}$

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: