Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm. Chứng minh ABC đều
Lớp 7Toán

Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm. Chứng minh ABC đều

Trả lời nhanh

Vì H trùng trọng tâm G nên đường cao kẻ từ A cũng chính là trung tuyến kẻ từ A. Đường cao đồng thời là trung tuyến thì tam giác cân tại đỉnh đó, nên AB = AC. Làm tương tự với đỉnh B được BA = BC. Suy ra AB = BC = CA, vậy tam giác ABC đều.

Đề bài

Cho tam giác ABC có H là trực tâm và H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Kiến thức cần nhớ

  • Trực tâm H là giao điểm của ba đường cao của tam giác.
  • Trọng tâm G là giao điểm của ba đường trung tuyến; G nằm trên mỗi trung tuyến và cách đỉnh tương ứng bằng 2/3 độ dài trung tuyến đó.
  • Tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó cân (chứng minh bằng hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).
  • Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Gọi AD là đường cao kẻ từ A (D thuộc BC), BE là đường cao kẻ từ B (E thuộc AC). Theo giả thiết, H cũng là trọng tâm nên ta kí hiệu H = G.

Bước 1: Chứng minh AB = AC.

  1. G là trọng tâm nên G nằm trên trung tuyến AM.
  2. G = H là trực tâm nên G nằm trên đường cao AD.
  3. Hai đường thẳng AM và AD cùng đi qua hai điểm phân biệt A và G (G nằm trong tam giác, cách A một khoảng bằng 2/3AM nên G ≠ A). Hai đường thẳng có hai điểm chung phân biệt thì trùng nhau, nên AM trùng AD.
  4. Vậy AM vuông góc với BC tại M, mà M là trung điểm của BC.
  5. Xét hai tam giác vuông ABM và ACM có: AM chung, MB = MC, góc AMB = góc AMC = 90°. Do đó △ABM = △ACM (c.g.c), suy ra AB = AC.

Bước 2: Chứng minh BA = BC. Lập luận hoàn toàn tương tự: G nằm trên trung tuyến BN và trên đường cao BE nên BN trùng BE. Vậy BN ⊥ AC tại N là trung điểm của AC. Hai tam giác vuông BNA và BNC bằng nhau (c.g.c) nên BA = BC.

Bước 3: Kết luận. Từ AB = AC và BA = BC suy ra AB = BC = CA. Vậy tam giác ABC đều. ∎

Tam giác đều ABC với ba trung tuyến AM, BN, CP đồng thời là ba đường cao, cắt nhau tại điểm H trùng G
Kết quả cần chứng minh: khi H trùng G, mỗi trung tuyến cũng là đường cao và tam giác ABC đều.

Vì sao cách làm này hợp lý?

Điểm mấu chốt là một điểm G chịu hai “vai trò” cùng lúc: nằm trên trung tuyến và nằm trên đường cao đi qua cùng một đỉnh. Hai đường thẳng cùng đi qua A và G thì chỉ có thể là một. Nhờ đó “đường cao” và “trung tuyến” hoá thành một đường, và tính chất “vừa cao vừa trung tuyến thì cân” cho ta hai cạnh bằng nhau.

Vì sao cần làm hai lần? Mỗi lần chỉ cho một tam giác cân (cân tại A, rồi cân tại B). Hai cặp cạnh bằng nhau có chung một cạnh (AB) mới nối thành chuỗi AC = AB = BC.

Lỗi sai thường gặp

  • Dừng lại ở “tam giác cân”. Chỉ chứng minh cân tại A rồi kết luận đều là thiếu. Phải có thêm một tam giác cân ở đỉnh khác (hoặc một góc bằng 60°).
  • Quên nêu G ≠ A. Khi nói “AM và AD trùng nhau” cần có hai điểm chung phân biệt là A và G.
  • Nhầm trực tâm với trọng tâm. Trực tâm là giao của các đường cao, trọng tâm là giao của các đường trung tuyến. Chỉ khi tam giác đều (với một số trường hợp đặc biệt khác) hai điểm này mới trùng nhau.
  • Dùng luôn “tam giác đều thì H = G” để chứng minh. Đó là chiều ngược lại, không phải điều đề yêu cầu.

Mẹo nhớ

Với tam giác cân, bốn điểm đặc biệt (trọng tâm, trực tâm, giao ba phân giác, giao ba trung trực) cùng nằm trên một đường thẳng – đường đối xứng. Với tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau. Gặp đề “hai trong các điểm đó trùng nhau”, hãy nghĩ ngay đến việc chứng minh các đường tương ứng trùng nhau rồi suy ra tam giác cân.

Bài luyện tập

  1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G cũng là giao điểm ba đường trung trực. Chứng minh tam giác ABC đều.
    Gợi ý – đáp án: G nằm trên trung tuyến AM và trên trung trực của BC, hai đường này cùng qua A và G nên trùng nhau. Khi đó A nằm trên trung trực của BC nên AB = AC. Tương tự BA = BC. Vậy AB = BC = CA.
  2. Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là giao điểm ba đường phân giác. Chứng minh ABC đều.
    Đáp án: AH vừa là đường cao vừa là phân giác nên tam giác ABC cân tại A (hai tam giác vuông có chung cạnh góc vuông và hai góc nhọn bằng nhau). Tương tự cân tại B. Suy ra tam giác đều.
  3. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BN và CP đồng thời là hai đường cao. Chứng minh ABC đều.
    Đáp án: BN là trung tuyến và đường cao nên BA = BC; CP là trung tuyến và đường cao nên CA = CB. Do đó AB = BC = CA.

Câu hỏi thường gặp

Tam giác có trực tâm trùng trọng tâm thì là tam giác gì?

Là tam giác đều. Khi trực tâm trùng trọng tâm, mỗi đường cao trùng với trung tuyến cùng đỉnh nên cả ba cạnh bằng nhau.

Có cần chứng minh cả ba cạnh bằng nhau không, hay chỉ cần hai cặp?

Chỉ cần hai cặp cạnh bằng nhau có chung một cạnh, ví dụ AB = AC và BA = BC, rồi suy ra AB = BC = CA.

Đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì suy ra điều gì?

Tam giác cân tại đỉnh xuất phát đường đó. Chứng minh bằng hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Tam giác đều thì trực tâm có trùng trọng tâm không?

Có. Trong tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, giao ba phân giác và giao ba trung trực đều trùng nhau tại một điểm.

Bài học liên quan