Trả lời nhanh
Trong tam giác đều ABC, mỗi đường trung tuyến vừa là đường cao (vì tam giác cân tại đỉnh tương ứng). Do đó ba đường cao AM, BN, CP cũng chính là ba đường trung tuyến, chúng cắt nhau tại trọng tâm G. Vậy G thuộc cả ba đường cao, tức G là trực tâm của tam giác ABC.
Đề bài
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.
Kiến thức cần nhớ
- Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến; nó cách mỗi đỉnh bằng 2⁄3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
- Trực tâm là giao điểm của ba đường cao.
- Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau (AB = BC = CA) và ba góc đều bằng 60°.
Như vậy, muốn chứng minh G là trực tâm thì chỉ cần chỉ ra ba đường trung tuyến cũng là ba đường cao.
Cách 1: Dùng tam giác bằng nhau (lớp 7)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó AM, BN, CP là ba đường trung tuyến và cắt nhau tại G.
- Xét hai tam giác ABM và ACM có: AB = AC (tam giác ABC đều), MB = MC (M là trung điểm BC), AM chung. Suy ra ΔABM = ΔACM (c.c.c).
- Từ đó ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng).
- Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° (hai góc kề bù) nên ∠AMB = ∠AMC = 90°. Vậy AM ⊥ BC, tức AM là đường cao.
- Chứng minh tương tự (đổi vai trò các đỉnh): BN ⊥ CA và CP ⊥ AB.
- Ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại G (vì G là giao của ba trung tuyến trùng với chúng). Vậy G là trực tâm của tam giác ABC. ∎
Cách 2: Dùng vectơ (lớp 10)
Vì G là trọng tâm nên AG = 1⁄3(AB + AC). Ta có BC = AC − AB. Tích vô hướng:
AG · BC = 1⁄3(AB + AC)(AC − AB) = 1⁄3(AC2 − AB2) = 0
vì AB = AC. Suy ra AG ⊥ BC. Làm tương tự với BG ⊥ CA, CG ⊥ AB. Vậy G là giao điểm của ba đường cao, tức là trực tâm.
Vì sao chỉ tam giác đều mới có tính chất này?
Trong tam giác thường, trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh không trùng nhau, nên trọng tâm và trực tâm là hai điểm khác nhau. Trung tuyến chỉ trùng đường cao khi tam giác cân tại đỉnh đó. Tam giác đều cân tại cả ba đỉnh, nên cả ba cặp đường đều trùng nhau.
Điều ngược lại cũng đúng: nếu trọng tâm trùng trực tâm thì tam giác đó đều (xem bài luyện tập 2 bên dưới).
Các hệ quả hay dùng
Trong tam giác đều ABC cạnh a, tâm G vừa là trọng tâm, trực tâm, vừa là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp (ba đường trung trực, ba đường phân giác cũng trùng với trung tuyến).
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Độ dài trung tuyến (cũng là đường cao) AM | a√3 / 2 |
| GA = GB = GC | (2/3)·AM = a√3 / 3 |
| GM = GN = GP | (1/3)·AM = a√3 / 6 |
Mẹo nhớ: tam giác đều thì “một đường làm bốn việc” – trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực.
Lỗi sai thường gặp
- Viết “AM là trung tuyến nên AM ⊥ BC” mà không giải thích. Phải nói rõ vì tam giác cân (hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau).
- Chỉ chứng minh AM ⊥ BC rồi kết luận ngay. Cần chỉ ra cả ba đường, hoặc ít nhất hai đường cắt nhau tại G.
- Nhầm tỉ lệ GA = 2⁄3AM với GA = 1⁄3AM. Đỉnh luôn là phần dài hơn.
Bài luyện tập
Bài 1. Tam giác đều ABC cạnh 6 cm, G là trọng tâm. Tính AG.
Đáp án: AM = 6√3/2 = 3√3 cm, nên AG = (2/3)·3√3 = 2√3 ≈ 3,46 cm.
Bài 2. Tam giác ABC có trọng tâm G cũng là trực tâm. Chứng minh ABC đều.
Gợi ý: AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên ΔABC cân tại A, suy ra AB = AC. Tương tự BN vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại B, suy ra BA = BC. Vậy AB = BC = CA, tam giác đều.
Bài 3. Tam giác đều ABC có G là trọng tâm, GA = 4 cm. Tính cạnh BC.
Đáp án: a√3/3 = 4 nên a = 12/√3 = 4√3 ≈ 6,93 cm.
Câu hỏi thường gặp
Trọng tâm của tam giác đều nằm ở đâu?
Trọng tâm G nằm trên mỗi đường trung tuyến, cách đỉnh bằng 2/3 độ dài trung tuyến. Trong tam giác đều, G cũng là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
Trọng tâm có luôn trùng trực tâm không?
Không. Chỉ khi tam giác đều thì hai điểm này trùng nhau. Tam giác cân thì chúng nằm cùng trên một đường (trục đối xứng) nhưng nói chung khác nhau.
Độ dài GA trong tam giác đều cạnh a là bao nhiêu?
GA = (2/3)·(a√3/2) = a√3/3. Ví dụ cạnh 6 cm thì GA = 2√3 cm, xấp xỉ 3,46 cm.
Cần chứng minh bao nhiêu đường cao đi qua G?
Nên chứng minh cả ba đường AM, BN, CP đều là đường cao. Về mặt lí thuyết, hai đường cao cắt nhau tại G cũng đủ vì đường cao thứ ba luôn đi qua giao điểm đó.