Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 21-01-2023 Lớp 7

796

Với giải Câu 4 trang 112 Vở bài tập Toán lớp 7 Cánh diều chi tiết trong Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong Vở bài tập Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Câu 4 trang 112 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh:

a) IA, IB, IC lần lượt là tia phân giác của các góc NIP, PIM, MIN.

b) $\hat{N I P}$ = 180^o – $\hat{B A C}$ ;

c) $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ ;

d) $\hat{M N P}$ = 90^o – $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ ;

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu

a) Xét hai tam giác vuông IAP và IAN, ta có:

IA là cạnh chung;

$\hat{I A P}$ = $\hat{I A N}$ (do I nằm trên tia phân giác góc A).

Suy ra ∆IAP = ∆IAM (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó $\hat{A I P}$ = $\hat{A I N}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tia IA là tia phân giác của góc NIP.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

IB là tia phân giác của góc PIM, IC là tia phân giác của góc MIN.

b) Xét tam giác vuông AIP, ta có $\hat{A I P}$ + $\hat{I A P}$ = 90^o

Xét tam giác vuông AIN, ta có $\hat{A I N}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o

Suy ra $\hat{A I P}$ + $\hat{I A P}$ + $\hat{A I N}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o + 90^o = 180^o

( $\hat{A I P}$ + $\hat{A I N}$ ) + ( $\hat{I A P}$ + $\hat{I A N}$ ) = 180^o (1)

Mà $\hat{A I P}$ và $\hat{A I N}$ , $\hat{I A P}$ và $\hat{I A N}$ là các cặp góc kề nhau nên:

$\hat{A I P}$ + $\hat{A I N}$ = 90^o và $\hat{I A P}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\hat{N I P}$ + $\hat{N A P}$ = 180^o hay $\hat{N I P}$ + $\hat{B A C}$ = 180^o

Do đó: $\hat{N I P}$ = 180^o – $\hat{B A C}$ ;

c) Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IP

Suy ra tam giác INP là tam giác cân tại I. Do đó: $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$

Mà $\hat{I N P}$ + $\hat{I P N}$ + $\hat{N I P}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra 2 $\hat{I N P}$ + (180^o – $\hat{B A C}$ ) = 180^o hay 2 $\hat{I N P}$ – $\hat{B A C}$ = 0^o.

Suy ra : $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ .

d) Chứng minh tương tự câu c, ta có: $\hat{I M P}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A B C}$ , $\hat{I M N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ .

Suy ra $\hat{N M P}$ = $\hat{I M P}$ + $\hat{I M N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A B C}$ + $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ = $\frac{1}{2}$ ( $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ ) (3)