$a)$ Chứng minh rằng $OH<OK.$

$b)$ So sánh hai cung nhỏ $BD$ và $BC.$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

+) Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Lời giải:

$a)$ Trong $∆ABC$ ta có:

$BC>AB–AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà $AC=AD(gt)$

$\Rightarrow BC>AB–AD$

Hay $BC>BD$

Trong $(O)$ ta có: $BC>BD$

$\Rightarrow OH<OK$ (dây lớn hơn gần tâm hơn)

$b)$ Ta có dây cung $BC>BD$

Suy ra: $\stackrel{⏜}{BC}$ > $\stackrel{⏜}{BD}$ (dây lớn hơn căng cung lớn hơn).

$a)$ $\stackrel{⏜}{AE}$ = $\stackrel{⏜}{FB};$

$b)$ $\stackrel{⏜}{AE}$ < $\stackrel{⏜}{EF}.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Hai tam giác có hai cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ ba không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Lời giải:

$a)$ $∆OAB$ cân tại $O$ (vì $OA=OB$ = bán kính)

$\Rightarrow \hat{A}=\hat{B}$

Xét  $∆OAC$ và $∆OBD:$

$OA=OB$ (bán kính)

$\hat{A}=\hat{B}$ (chứng minh trên)

$AC=BD(gt)$

Suy ra: $∆OAC=∆OBD(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$     $(1)$

$sđ\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{O_1}$                $(2)$

$sđ\stackrel{⏜}{BF}=\widehat{O_2}$                 $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\stackrel{⏜}{AE}=\stackrel{⏜}{BF}$

$b)$ $∆OAC=∆BOD$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow OC=OD$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OCD$ cân tại $O$ nên $\widehat{ODC}<{90}^0$ mà $\widehat{ODC}+\widehat{CDF}={180}^0$ (hai góc kề bù)

Suy ra: $\widehat{CDF}>{90}^0$

Trong $∆CDF$ ta có: $\widehat{CDF}>{90}^0\Rightarrow CF>CD$ nên $AC<CF$

Xét $∆OAC$ và $∆OCF:$

$OA=OF$ (= bán kính)

$OC$ cạnh chung

$AC<CF$

Suy ra: $\widehat{O_1}<\widehat{O_3}$ (hai tam giác có $2$ cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ $3$ không bằng nhau thì đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

$sđ\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{O_1}$

$sđ\stackrel{⏜}{EF}=\widehat{O_3}$

Suy ra: $\stackrel{⏜}{AE}<\stackrel{⏜}{EF}$.

$a)$ Hai cung nhỏ $CF$ và $DB$ bằng nhau.

$b)$ Hai cung nhỏ $BF$ và $DE$ bằng nhau.

$c)$ $DE=BF.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.

+) Với hai cung nhỏ ttrong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

Lời giải:

$a)$ $∆AFB$ nội tiếp trong $(O)$ có

$AB$ là đường kính nên $∆AFB$ vuông tại $F.$

$\Rightarrow BF\mathrm{\perp }AK$

$AK\mathrm{\perp }CD$ $(gt)$

Suy ra: $BF//CD$

$\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{CF}$ (hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)

$b)$ Đường kính $AB\mathrm{\perp }CE$ tại điểm $H$ nên H là trung điểm của CE

Suy ra $C$ và $E$ đối xứng qua trục $AB.$

$\Rightarrow BC=BE$ nên $\stackrel{⏜}{BC}=\stackrel{⏜}{BE}$

$\stackrel{⏜}{CF}=\stackrel{⏜}{BD}$ (chứng minh trên)

Suy ra: $\stackrel{⏜}{BC}+\stackrel{⏜}{CF}=\stackrel{⏜}{BE}+\stackrel{⏜}{BD}$

Hay $\stackrel{⏜}{BF}=\stackrel{⏜}{DE}$

$c)$ $\stackrel{⏜}{BF}=\stackrel{⏜}{DE}$ (chứng minh trên)

Suy ra $BF=DE$ (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

Ta sử dụng kiến thức:

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải:

Ta có: $\stackrel{⏜}{IA}=\stackrel{⏜}{IB}$ $(gt)$

$\Rightarrow IA=IB$ ($2$ cung bằng nhau căng $2$ dây bằng nhau)

$\Rightarrow I$  nằm trên đường trung trực của $AB$

$OA=OB$ (bán kính $(O)$)

$\Rightarrow O$ nằm trên đường trung trực của $AB$

Suy ra: $OI$ là đường trung trực của $AB$

$H$ là trung điểm của $AB,$ do đó $OI$ đi qua trung điểm $H$

Vậy $3$ điểm $I,H,O$ thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

Vì không phải là cung lớn nên hai cung đó có thể là cung nhỏ hoặc cung nửa đường tròn.

Ta có cung nửa đường tròn có số đo bằng ${180}^o$ và dây cung bằng $2R,$ cung nửa đường tròn này gấp 3 lần cung tròn ${60}^o$ (có góc ở tâm bằng ${60}^o)$

Tam giác tạo bởi dây căng cung và $2$ bán kính đi qua $2$ đầu mút của cung ${60}^0$ là một tam giác đều nên dây căng cung bằng bán kính $R.$ Vậy nửa đường tròn và cung ${60}^o$ thỏa mãn bài toán.

Bài tập bổ sung (trang 101 SBT Toán 9)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Với hai cung trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{AOB}={80}^o$; $\widehat{BOC}={120}^o$

Suy ra: $\widehat{AOC}={360}^o-{80}^o-{120}^o={160}^o$

 $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}={80}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}={120}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{AC}=\widehat{AOC}={160}^o$

$\widehat{AOB}<\widehat{BOC}<\widehat{AOC}$

Suy ra $\stackrel{⏜}{AB}<\stackrel{⏜}{BC}<\stackrel{⏜}{AC}$

Suy ra: $AB<BC<AC$

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.