Với giải Bài 1 trang 60 SBT Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 1 trang 60 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh:

a) S_AMB = S_AMC;

b) S_ABG = 2S_BMG;

c) S_GAB = S_GBC = S_GAC.

Lời giải:

a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.

Ta có : ${\text{S}}_{\text{AMB}}=\frac{1}{2}.\text{AH.BM}$ và ${\text{S}}_{\text{AMC}}=\frac{1}{2}.\text{AH.MC}$

Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và có cạnh đáy bằng nhau.

Suy ra S_AMB = S_AMC.

Vậy S_AMB = S_AMC.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABM.

Ta có: ${\text{S}}_{\text{ABG}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AG}$ và ${\text{S}}_{\text{BMG}}=\frac{1}{2}.\text{BK.GM}$

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$ hay AG = 2GM.

Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và có cạnh đáy AG = 2GM.

Suy ra S_ABG = 2S_BMG.

Vậy S_ABG = 2S_BMG.

c) Ta có: S_AMB = S_AMC (chứng minh câu a) và S_AMB + S_AMC = S_ABC

Nên ${\text{S}}_{\text{AMB}}={\text{S}}_{\text{AMC}}=\frac{1}{2}{\text{S}}_{\text{ACB}}$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Lại có: ${\text{S}}_{\text{GAB}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AG}$ và ${\text{S}}_{\text{AMB}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AM}$

Suy ra

$S_{GAB}=\frac{1}{2}.\text{BK.}\frac{2}{3}\text{AM}=\frac{2}{3}{S}_{ABM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Chứng minh tương tự ta có $S_{GAC}=\frac{2}{3}{S}_{ACM}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Ta có S_GAB + S_GAC + S_GBC = S_ABC

Mà $S_{ABG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$; $S_{ACG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Suy ra $S_{BCG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Do đó $S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GAC}\left(=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\right)$

Vậy S_GAB = S_GBC = S_GAC.