Đáp án đúng là: C

Vì 

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý hàm số cosin, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC\cos A=27\Rightarrow BC=3\sqrt{3}$ (đơn vị độ dài).

Ta có: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \hat{A}=\frac{1}{2}\mathrm{.3.6.}\sin {60}^0=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Lại có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BC.h_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{BC}=3$ (đơn vị độ dài).

Đáp án đúng là: D

Ta có : $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$. Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Đáp án đúng là : A

Ta có:

 là hình bình hành.

Mặt khác, ABCD là hình bình hành  và $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}$ cùng hướng <$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ là ABCD là hình bình hành.

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình thoi, có $\widehat{BAD}=60°\Rightarrow \widehat{ABC}=120°$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$\Rightarrow 1^2+1^2-\mathrm{2.1.1.}\cos 120°=3\Rightarrow AC=\sqrt{3}$

Câu 6. Tam giác ABC có $AB=5,BC=7,CA=8$. Số đo góc $\hat{A}$ bằng:

A. $30°;$

B. $45°;$

C. $60°;$

D. $90°.$

Câu 7. Tam giác ABC có $AC=4,\widehat{BAC}=30°,\widehat{ACB}=75°$. Tính diện tích tam giác ABC.

A. $S_{\Delta ABC}=8$;

B.$S_{\Delta ABC}=4\sqrt{3}$;

C. $S_{\Delta ABC}=4$;

D. $S_{\Delta ABC}=8\sqrt{3}$.

Câu 8. Cho tam giác ABC, có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C.

A. 3

B. 6

C. 4

D. 9

Câu 9. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

A. 4;

B. 6;

C. 7;

D. 9.

Câu 10. Tam giác ABC có $AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3}$ và $\hat{C}=45°$. Tính độ dài cạnh BC.

A. $BC=\sqrt{5};$

B. $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};$

C. $BC=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};$

D. $BC=\sqrt{6}.$

Đáp án đúng là: C

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

- Gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho

$OC=3OA$$\Rightarrow 3\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}.$

Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho

$OD=4OB$$\Rightarrow 4\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}.$

Dựng hình chữ nhật OCED suy ra $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Ta có: 

Do đó, A đúng

- B đúng, vì 

- D đúng, vì 

Vậy chỉ còn đáp án C.

Đáp án đúng là : A

Tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Do đó, H là trung điểm BC (tính chất tam giác cân).

Ta có:

-  Do đó, B đúng.

- H là trung điểm . Do đó, C, D đúng.

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\right)$

$=\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}\right).$

Theo bài ra, ta có: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}.$ Thật vậy:

$3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}\iff 3\overrightarrow{AM}=2\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$

$\iff 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AM}=0$

$\iff 2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=0$

$3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DC}\iff 3\overrightarrow{DN}=2(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{NC})$

$\iff 3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}-2\overrightarrow{NC}=0$

$\iff \overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=0$

Vậy $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: D

Áp dụng quy tắc 3 điểm cho A, B, D ta có: $\overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{BD}$.

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120°\Rightarrow \widehat{BAD}=60°$

$\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=45°$

Trong $\Delta ABD$ có $\widehat{BAD}=60°,\widehat{ABD}=45°\Rightarrow \widehat{ADB}=75°$.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ $\overrightarrow{DM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC}.$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

Và M là trung điểm AB nên $2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có:  (do cùng song song và bằng $\frac{1}{2}AC$).

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Vì MNPQ là hình bình hành nên 

Đáp án đúng là: C

Vì F là trung điểm của AC$\Rightarrow$$FC=\frac{1}{2}AC=15cm.$

Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó: $\frac{d\left(B;\left(AC\right)\right)}{d\left(G;\left(AC\right)\right)}=\frac{BF}{GF}=3\Rightarrow d\left(G;\left(AC\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(B;\left(AC\right)\right)=\frac{AB}{3}=10cm.$

Vậy diện tích tam giác GFC là:

$S_{\Delta GFC}=\frac{1}{2}.d\left(G;\left(AC\right)\right).FC=\frac{1}{2}\mathrm{.10.15}=75c{m}^2.$

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow AH\perp BC.$

Xét tam giác vuông AHC ta có:

$A{H}^2+H{C}^2=A{C}^2$

$\iff AH=\sqrt{A{C}^2-H{C}^2}$

$\iff AH=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}$

Suy ra $AH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Ta lại có 

Suy ra : 

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\iff OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}$

$\iff \frac{1}{\sin 30°}.\sin \widehat{OAB}=2\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi

$\sin \widehat{OAB}=1\iff \widehat{OAB}=90°$.

Khi đó OB = 2.

Đáp án đúng là: C

Vì K là trung điểm của MN nên ta có :

Ta có : $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)$.

Mà M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2AN nên ta có :

Do đó, $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff \left(\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=0\iff \frac{2}{5}{\overrightarrow{a}}^2-\frac{13}{5}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^2=0$

Suy ra

Đáp án đúng là: C

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={120}^0$ (do tam giác ABC là tam giác đều nên góc $\hat{B}=60°$, do đó, góc ngoài của góc B có số đo là 120^o).

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có:  và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$$\Rightarrow$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh bằng a.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\iff \frac{a}{\sin {60}^0}=2.4\iff a=8.\sin {60}^0=4\sqrt{3}$ (đơn vị độ dài).

Vậy diện tích cần tính là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}.{\left(4\sqrt{3}\right)}^2.\sin {60}^0=12\sqrt{3}c{m}^2.$

Đáp án đúng là: C

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0.$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}$$\Rightarrow$A đúng

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}\Rightarrow$B đúng.

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)$ là góc $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)={120}^0.$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$.a.$\frac{\sqrt{3}}{2}$= $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.cos\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{120}^0=-\frac{a^2}{6}\Rightarrow$C sai.

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là góc $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{30}^0=\frac{a^2}{2}\Rightarrow$D đúng.

Đáp án đúng là: B

Áp dung định lý Py – ta – go ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{c^2+b^2}$

Cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Lại có: cos B chính là cos $\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)$

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=BA.BC.cos\hat{B}=c.\sqrt{b^2+c^2}.\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}=c^2.$

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi là:

Ta có: $p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{2\sqrt{3}+3AB}{2}$.

Suy ra $S=\sqrt{\left(\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}-AB}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+AB}{2}\right)}$.

Lại có $S=\frac{1}{2}BC.AH=2\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Từ đó ta có: $2\sqrt{3}=\left(\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}-AB}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+AB}{2}\right)$

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$

Khi đó

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}.$

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 4

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tổ hợp