Giải Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

hoa Ngày: 26-09-2022 Lớp 8

2.4 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phép trừ các phân thức đại số lớp 8.

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Trả lời các câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 48 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính cộng: $\frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3 x}{x + 1}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Lời giải:

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3 x}{x + 1} = \frac{3 x + (- 3 x)}{x + 1}$ $= \frac{0}{x + 1} = 0$

Trả lời câu hỏi 2 trang 49 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm phân thức đối của $\frac{1 - x}{x}$ .

Phương pháp giải: Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ là $- \frac{A}{B}$

Lời giải:

Phân thức đối của $\frac{1 - x}{x}$ là $- \frac{1 - x}{x} = \frac{x - 1}{x}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 49 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính trừ phân thức: $\frac{x + 3}{x^{2} - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} - x}$

Phương pháp giải: Quy tắc: Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$

Lời giải:

$\frac{x + 3}{x^{2} - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} - x}$

Điều kiện xác định: $x - 1 \neq 0; x + 1 \neq 0; x \neq 0$ $\Leftrightarrow x \neq 1; x \neq - 1; x \neq 0$

Ta có:

$\begin{aligned} x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1) \\ x^{2} - x = x (x - 1) \\ \Rightarrow M T C = x (x - 1) (x + 1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} - x} \\ = \frac{x + 3}{x^{2} - 1} + (- \frac{x + 1}{x^{2} - x}) \\ = \frac{x + 3}{x^{2} - 1} + \frac{- x - 1}{x^{2} - x} \\ = \frac{x + 3}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{- x - 1}{x (x - 1)} \\ = \frac{x (x + 3)}{x (x - 1) (x + 1)} + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{x (x - 1) (x + 1)} \\ = \frac{x^{2} + 3 x}{x (x - 1) (x + 1)} + \frac{- x^{2} - x - x - 1}{x (x - 1) (x + 1)} \\ = \frac{x^{2} + 3 x}{x (x - 1) (x + 1)} + \frac{- x^{2} - 2 x - 1}{x (x - 1) (x + 1)} \\ = \frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x - 1}{x (x - 1) (x + 1)} \\ = \frac{x - 1}{x (x - 1) (x + 1)} = \frac{1}{x (x + 1)} \end{aligned}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 49 sgk Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính: $\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{x - 9}{1 - x} - \frac{x - 9}{1 - x}$
Phương pháp giải: Áp dụng: - Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$

- Quy tắc cộng phân thức.

Lời giải:

ĐKXĐ: $x \neq 1$

$\begin{aligned} \frac{x + 2}{x - 1} - \frac{x - 9}{1 - x} - \frac{x - 9}{1 - x} \\ = \frac{x + 2}{x - 1} - \frac{- (x - 9)}{x - 1} - \frac{- (x - 9)}{x - 1} \\ = \frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x - 9}{x - 1} + \frac{x - 9}{x - 1} \\ = \frac{x + 2 + x - 9 + x - 9}{x - 1} \\ = \frac{3 x - 16}{x - 1} \end{aligned}$

Câu hỏi và bài tập (trang 49, 50, 51 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 28 trang 49 sgk Toán 8 Tập 1: Theo quy tắc đổi dấu ta có $\frac{- A}{B} = \frac{A}{- B}$ . Do đó ta cũng có $- \frac{A}{B} = \frac{A}{- B}$ . Chẳng hạn, phân thức đối của $\frac{4}{5 - x}$ là $- \frac{4}{5 - x}$ $= \frac{4}{- (5 - x)}$ $= \frac{4}{x - 5}$ . Áp dụng điều này hãy điền những phân thức thích hợp vào những chỗ trống dưới đây:

a) $- \frac{x^{2} + 2}{1 - 5 x} = . . . = . . .;$

b) $- \frac{4 x + 1}{5 - x} = . . .$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc đổi dấu: $\frac{- A}{B} = \frac{A}{- B} = - \frac{A}{B}$

Lời giải:

a) $- \frac{x^{2} + 2}{1 - 5 x} = \frac{x^{2} + 2}{- (1 - 5 x)} = \frac{x^{2} + 2}{5 x - 1}$ ;

b) $- \frac{4 x + 1}{5 - x} = \frac{4 x + 1}{- (5 - x)} = \frac{4 x + 1}{x - 5}$

Bài 29 trang 50 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính trừ các phân thức sau:

a) $\frac{4 x - 1}{3 x^{2} y} - \frac{7 x - 1}{3 x^{2} y}$ ;

b) $\frac{4 x + 5}{2 x - 1} - \frac{5 - 9 x}{2 x - 1}$ ;

c) $\frac{11 x}{2 x - 3} - \frac{x - 18}{3 - 2 x}$ ;

d) $\frac{2 x - 7}{10 x - 4} - \frac{3 x + 5}{4 - 10 x}$ .

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$ và quy tắc đổi dấu $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B} = \frac{A}{- B}$ .

Lời giải:

a) $\frac{4 x - 1}{3 x^{2} y} - \frac{7 x - 1}{3 x^{2} y}$ $= \frac{4 x - 1}{3 x^{2} y} + \frac{- (7 x - 1)}{3 x^{2} y}$

$= \frac{4 x - 1}{3 x^{2} y} + \frac{- 7 x + 1}{3 x^{2} y}$

$= \frac{4 x - 1 - 7 x + 1}{3 x^{2} y}$ $= \frac{- 3 x}{3 x^{2} y} = - \frac{1}{x y}$ .

b) $\frac{4 x + 5}{2 x - 1} - \frac{5 - 9 x}{2 x - 1}$ $= \frac{4 x + 5}{2 x - 1} + \frac{- (5 - 9 x)}{2 x - 1}$ $= \frac{4 x + 5}{2 x - 1} + \frac{- 5 + 9 x}{2 x - 1}$

$= \frac{4 x + 5 - 5 + 9 x}{2 x - 1} = \frac{13 x}{2 x - 1}$

c) $\frac{11 x}{2 x - 3} - \frac{x - 18}{3 - 2 x}$ $= \frac{11 x}{2 x - 3} + (- \frac{x - 18}{3 - 2 x})$ $= \frac{11 x}{2 x - 3} + \frac{x - 18}{- (3 - 2 x)}$

$= \frac{11 x}{2 x - 3} + \frac{x - 18}{2 x - 3}$ $= \frac{11 x + x - 18}{2 x - 3}$

$= \frac{12 x - 18}{2 x - 3} = \frac{6 (2 x - 3)}{2 x - 3} = 6$

d) $\frac{2 x - 7}{10 x - 4} - \frac{3 x + 5}{4 - 10 x}$ $= \frac{2 x - 7}{10 x - 4} + (- \frac{3 x + 5}{4 - 10 x})$ $= \frac{2 x - 7}{10 x - 4} + \frac{3 x + 5}{- (4 - 10 x)}$

$= \frac{2 x - 7}{10 x - 4} + \frac{3 x + 5}{10 x - 4}$ $= \frac{2 x - 7 + 3 x + 5}{10 x - 4}$ $= \frac{5 x - 2}{2 (5 x - 2)} = \frac{1}{2}$

Bài 30 trang 50 sgk Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{3}{2 x + 6} - \frac{x - 6}{2 x^{2} + 6 x}$ ;

b) $x^{2} + 1 - \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$ .

Lời giải:

a) $\frac{3}{2 x + 6} - \frac{x - 6}{2 x^{2} + 6 x}$ (ĐKXĐ: $x \neq 0; x \neq - 3$ )

$= \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{- (x - 6)}{2 x (x + 3)}$

$= \frac{3 x}{2 x (x + 3)} + \frac{- x + 6}{2 x (x + 3)}$

$= \frac{3 x - x + 6}{2 x (x + 3)} = \frac{2 x + 6}{2 x (x + 3)}$

$= \frac{2 (x + 3)}{2 x (x + 3)} = \frac{1}{x}$

b) $x^{2} + 1 - \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$ (ĐKXĐ: $x \neq 1; x \neq - 1$ )

$= x^{2} + 1 + \frac{- (x^{4} - 3 x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$

$= \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} + \frac{- x^{4} + 3 x^{2} - 2}{x^{2} - 1}$

$= \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) - x^{4} + 3 x^{2} - 2}{x^{2} - 1}$

$= \frac{x^{4} - 1 - x^{4} + 3 x^{2} - 2}{x^{2} - 1}$

$= \frac{3 x^{2} - 3}{x^{2} - 1} = \frac{3 (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} = 3$ .

Bài 31 trang 50 sgk Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng $1$ :

a) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ ; b) $\frac{1}{x y - x^{2}} - \frac{1}{y^{2} - x y}$ .

Phương pháp giải: Áp dụng qui tắc trừ hai phân thức: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$ .

Lời giải:

a) MTC $= x (x + 1)$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ $= \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$ $= \frac{x + 1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)}$

$= \frac{x + 1 - x}{x (x + 1)} = \frac{1}{x (x + 1)}$

$\begin{aligned} x y - x^{2} = x (y - x) \\ y^{2} - x y = y (y - x) \end{aligned}$

MTC $= x y (y - x)$

$\frac{1}{x y - x^{2}} - \frac{1}{y^{2} - x y}$ $= \frac{1}{x (y - x)} - \frac{1}{y (y - x)}$ $= \frac{1}{x (y - x)} + \frac{- 1}{y (y - x)}$

$= \frac{y}{x y (y - x)} + \frac{- x}{x y (y - x)}$ $= \frac{y - x}{x y (y - x)} = \frac{1}{x y}$

Bài 32 trang 50 sgk Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:

$\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ $+ \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x + 4)}$ $+ \frac{1}{(x + 4) (x + 5)} + \frac{1}{(x + 5) (x + 6)}$

Phương pháp giải: Tách mỗi phân thức trong tổng thành hiệu của hai phân thức, sau đó rút gọn.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$

$\frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$

$\frac{1}{(x + 3) (x + 4)} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$

$\frac{1}{(x + 4) (x + 5)} = \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5}$

$\frac{1}{(x + 5) (x + 6)} = \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 6}$

Do đó, cộng vế với vế của các dòng trên, ta được:

$\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ $+ \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x + 4)}$ $+ \frac{1}{(x + 4) (x + 5)} + \frac{1}{(x + 5) (x + 6)}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$ $+ \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$ $+ \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$ $+ \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5}$ $+ \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 6}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 6}$

$= \frac{x + 6}{x (x + 6)} + \frac{- x}{x (x + 6)}$

$= \frac{x + 6 - x}{x (x + 6)} = \frac{6}{x (x + 6)}$

Bài 33 trang 50 sgk Toán 8 Tập 1: Làm các phép tính sau:

a) $\begin{array}{l} \frac{4 x y - 5}{10 x^{3} y} - \frac{6 y^{2} - 5}{10 x^{3} y} \end{array}$ ;

b) $\begin{array}{l} \frac{7 x + 6}{2 x (x + 7)} - \frac{3 x + 6}{2 x^{2} + 14 x} . \end{array}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} \frac{4 x y - 5}{10 x^{3} y} - \frac{6 y^{2} - 5}{10 x^{3} y} \\ = \frac{4 x y - 5}{10 x^{3} y} + \frac{- (6 y^{2} - 5)}{10 x^{3} y} \\ = \frac{4 x y - 5}{10 x^{3} y} + \frac{- 6 y^{2} + 5}{10 x^{3} y} \\ = \frac{4 x y - 5 - 6 y^{2} + 5}{10 x^{3} y} \\ = \frac{4 x y - 6 y^{2}}{10 x^{3} y} = \frac{2 y (2 x - 3 y)}{2 y .5 x^{3}} \\ = \frac{2 x - 3 y}{5 x^{3}} \end{array}$

Giải Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số (ảnh 1)

Bài 34 trang 50 sgk Toán 8 Tập 1: Dùng quy tắc biến đổi dấu rồi thực hiện các phép tính:

a) $\begin{aligned} \frac{4 x + 13}{5 x (x - 7)} - \frac{x - 48}{5 x (7 - x)}; \end{aligned}$

b) $\begin{aligned} \frac{1}{x - 5 x^{2}} - \frac{25 x - 15}{25 x^{2} - 1} \end{aligned}$

Phương pháp giải: Áp dụng: - Quy tắc trừ hai phân thức: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$

- Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .

Lời giải:

$\begin{aligned} \frac{4 x + 13}{5 x (x - 7)} - \frac{x - 48}{5 x (7 - x)} \\ = \frac{4 x + 13}{5 x (x - 7)} + (- \frac{x - 48}{5 x (7 - x)}) \\ = \frac{4 x + 13}{5 x (x - 7)} + \frac{x - 48}{- 5 x (7 - x)} \\ = \frac{4 x + 13}{5 x (x - 7)} + \frac{x - 48}{5 x (x - 7)} \\ = \frac{4 x + 13 + x - 48}{5 x (x - 7)} \\ = \frac{5 x - 35}{5 x (x - 7)} = \frac{5 (x - 7)}{5 x (x - 7)} = \frac{1}{x} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{1}{x - 5 x^{2}} - \frac{25 x - 15}{25 x^{2} - 1} \\ = \frac{1}{x - 5 x^{2}} + (- \frac{25 x - 15}{25 x^{2} - 1}) \\ = \frac{1}{x (1 - 5 x)} + \frac{25 x - 15}{- (25 x^{2} - 1)} \\ = \frac{1}{x (1 - 5 x)} + \frac{25 x - 15}{1 - 25 x^{2}} \\ = \frac{1}{x (1 - 5 x)} + \frac{25 x - 15}{(1 - 5 x) (1 + 5 x)} \\ = \frac{1 + 5 x}{x (1 - 5 x) . (1 + 5 x)} + \frac{x . (25 x - 15)}{x . (1 - 5 x) (1 + 5 x)} \\ = \frac{1 + 5 x + x (25 x - 15)}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)} \\ = \frac{1 + 5 x + 25 x^{2} - 15 x}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)} \\ = \frac{1 - 10 x + 25 x^{2}}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)} \\ = \frac{1^{2} - 2.1.5 x + {(5 x)}^{2}}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)} \\ = \frac{{(1 - 5 x)}^{2}}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)} = \frac{1 - 5 x}{x (1 + 5 x)} \end{aligned}$

Bài 35 trang 50 sgk Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính:

a) $\frac{x + 1}{x - 3} - \frac{1 - x}{x + 3} - \frac{2 x (1 - x)}{9 - x^{2}}$

b) $\frac{3 x + 1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 3}{1 - x^{2}}$

Phương pháp giải: Áp dụng: - Quy đồng phân thức

- Quy tắc trừ hai phân thức: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$

- Quy tắc đổi dấu: $- \frac{A}{B} = \frac{A}{- B}$ .

Lời giải:

$\begin{aligned} a) \frac{x + 1}{x - 3} - \frac{1 - x}{x + 3} - \frac{2 x (1 - x)}{9 - x^{2}} (x \neq 3; x \neq - 3) \\ = \frac{x + 1}{x - 3} + \frac{- (1 - x)}{x + 3} + \frac{2 x (1 - x)}{- (9 - x^{2})} \\ = \frac{x + 1}{x - 3} + \frac{x - 1}{x + 3} + \frac{2 x (1 - x)}{x^{2} - 9} \\ = \frac{x + 1}{x - 3} + \frac{x - 1}{x + 3} + \frac{2 x - 2 x^{2}}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{2 x - 2 x^{2}}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{(x + 1) (x + 3) + (x - 1) (x - 3) + 2 x - 2 x^{2}}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{x^{2} + 3 x + x + 3 + x^{2} - 3 x - x + 3 + 2 x - 2 x^{2}}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{2 x + 6}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{2}{x - 3} \end{aligned}$

$\begin{aligned} b) \frac{3 x + 1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 3}{1 - x^{2}} (x \neq 1; x \neq - 1) \\ = \frac{3 x + 1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{- (x + 3)}{- (1 - x^{2})} \\ = \frac{3 x + 1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{- (x + 3)}{x^{2} - 1} \\ = \frac{3 x + 1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{- (x + 3)}{(x - 1) (x + 1)} \\ = \frac{(3 x + 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} + \frac{- (x - 1)^{2}}{(x + 1) (x - 1)^{2}} + \frac{- (x + 3) (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} \\ = \frac{(3 x + 1) (x + 1) - {(x - 1)}^{2} - (x + 3) (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} \\ = \frac{3 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 2 x + 1) - (x^{2} + 2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} \\ = \frac{3 x^{2} + 4 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} - 2 x + 3}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} \\ = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{x^{2} + x + 3 x + 3}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} \\ = \frac{(x^{2} + x) + (3 x + 3)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} \\ = \frac{x (x + 1) + 3 (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} \\ = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{x + 3}{{(x - 1)}^{2}} \end{aligned}$