Hình viên phân là gì? Công thức tính diện tích hình viên phân

Hình viên phân là gì?

Lấy đường tròn (O; R) và một dây AB bất kì. Dây AB chia hình tròn thành hai phần. Mỗi phần được giới hạn bởi một cung và dây AB, gọi là một hình viên phân.

• Phần nằm phía cung nhỏ AB: hình viên phân nhỏ.
• Phần nằm phía cung lớn AB: hình viên phân lớn.
• Nếu AB là đường kính, hai phần bằng nhau, mỗi phần là một nửa hình tròn.

Hình viên phân giống một “lát cắt” của hình tròn khi ta cắt thẳng một nhát dao, khác với hình quạt tròn là lát cắt đi qua tâm.

Công thức tính diện tích hình viên phân

Ý tưởng: hình quạt tròn OAB gồm hình viên phân và tam giác OAB ghép lại. Vì vậy ta tính qua hình quạt và tam giác.

Trường hợp cung nhỏ (số đo cung n° < 180°)

S_{viên phân} = S_quạt − S_OAB

• S_quạt = πR²n/360.
• S_OAB = ½·R·R·sin n° = ½R²sin n° (hoặc tính bằng ½·đáy·chiều cao nếu tam giác đặc biệt).

Công thức gộp: S = πR²n/360 − ½R²sin n°.

Trường hợp cung lớn (180° < n° < 360°)

Lúc này tâm O nằm trong hình viên phân, nên tam giác OAB phải cộng thêm:

S_{viên phân lớn} = S_{quạt cung lớn} + S_OAB.

Cách khác, dễ nhớ hơn: S_{viên phân lớn} = πR² − S_{viên phân nhỏ}.

Trường hợp nửa hình tròn (n = 180°)

Tam giác OAB suy biến (sin 180° = 0) nên S = πR²/2.

Các bước giải bài toán tính diện tích hình viên phân

1. Xác định bán kính R và số đo cung (hoặc góc ở tâm AOB). Nếu đề cho độ dài dây, dùng tam giác OAB để tìm góc.
2. Tính diện tích hình quạt tương ứng.
3. Tính diện tích tam giác OAB (tam giác đều, vuông cân… thì có sẵn công thức quen thuộc).
4. Lấy hiệu (cung nhỏ) hoặc tổng (cung lớn). Ghi đơn vị là đơn vị độ dài bình phương.

Ví dụ có lời giải

(Các ví dụ do biên soạn, số liệu tự đặt.)

Ví dụ 1: góc ở tâm 60°

Đường tròn bán kính R = 6 cm, dây AB căng cung 60°. Tính diện tích hình viên phân nhỏ.

• S_quạt = π·6²·60/360 = 6π (cm²).
• Tam giác OAB có OA = OB = 6 và góc O = 60° nên đều, cạnh 6: S = 6²√3/4 = 9√3 (cm²).
• S_{viên phân} = 6π − 9√3 ≈ 18,85 − 15,59 ≈ 3,26 cm².

Ví dụ 2: góc ở tâm 90°

R = 4 cm, cung 90°. Tam giác OAB vuông cân tại O nên S_OAB = ½·4·4 = 8. Hình quạt: π·16·90/360 = 4π. Vậy S = 4π − 8 ≈ 4,57 cm².

Ví dụ 3: hình viên phân lớn

R = 2 cm, cung nhỏ AB là 120°, tức cung lớn là 240°. Tính diện tích phần hình tròn phía cung lớn.

• S_{quạt cung lớn} = π·4·240/360 = 8π/3.
• S_OAB = ½·2·2·sin 120° = √3.
• S = 8π/3 + √3 ≈ 8,38 + 1,73 ≈ 10,11 cm².

Kiểm tra: viên phân nhỏ = 4π/3 − √3 ≈ 2,46; cộng với 10,11 được ≈ 12,57 = 4π, đúng bằng diện tích cả hình tròn.

Lỗi sai thường gặp

• Nhầm viên phân với hình quạt: hình quạt có hai cạnh là bán kính, hình viên phân có một cạnh là dây.
• Cung lớn mà vẫn trừ tam giác: khi cung lớn hơn 180°, tâm O nằm trong hình viên phân, phải cộng.
• Quên đổi đơn vị góc: công thức πR²n/360 dùng n tính bằng độ.
• Dùng sai diện tích tam giác: tam giác OAB chỉ đều khi góc ở tâm là 60°; nếu không, dùng ½R²sin n° hoặc tính chiều cao từ O xuống AB.

Mẹo nhớ: “Quạt bớt tam giác thì còn viên phân” (cung nhỏ). Cung lớn thì “quạt thêm tam giác”.

Bài luyện tập

1. Tính diện tích hình viên phân nhỏ, biết R = 10 cm và cung 120°.
2. Cho đường tròn bán kính a, cung AB = 90°. Chứng minh diện tích hình viên phân nhỏ bằng a²(π − 2)/4.
3. Đường tròn bán kính 3 cm có dây AB = 3√3 cm. Tính diện tích hình viên phân nhỏ giới hạn bởi dây AB.

Đáp án

1. S_quạt = 100π/3; S_OAB = ½·100·sin 120° = 25√3. S = 100π/3 − 25√3 ≈ 104,72 − 43,30 ≈ 61,42 cm².
2. S_quạt = πa²/4, S_OAB = a²/2. S = πa²/4 − a²/2 = a²(π − 2)/4.
3. Gọi H là trung điểm AB thì HA = 3√3/2, sin(AOH) = HA/OA = √3/2 nên góc AOH = 60°, góc AOB = 120°. S_quạt = π·9·120/360 = 3π; S_OAB = ½·9·sin 120° = 9√3/4. S = 3π − 9√3/4 ≈ 9,42 − 3,90 ≈ 5,53 cm².

Câu hỏi thường gặp

Hình viên phân là gì?

Là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy. Một dây chia hình tròn thành hai hình viên phân: một ứng với cung nhỏ, một ứng với cung lớn.

Công thức tính diện tích hình viên phân nhỏ là gì?

S = πR²n/360 − ½R²sin n°, tức diện tích hình quạt trừ diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính và dây, với n là số đo cung nhỏ.

Khi nào phải cộng diện tích tam giác?

Khi tính hình viên phân ứng với cung lớn (số đo lớn hơn 180°), vì tâm O nằm trong hình viên phân nên tam giác OAB được cộng thêm vào diện tích hình quạt.

Hình viên phân khác hình quạt tròn thế nào?

Hình quạt tròn bị giới hạn bởi hai bán kính và một cung; hình viên phân bị giới hạn bởi một dây và một cung, không chứa hai bán kính làm cạnh.

Bài học liên quan

• Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là gì? Cách xác định và tính bán kính
• Một chiếc phà chạy xuôi dòng từ A đến B mất 3 giờ, ngược dòng mất 6 giờ
• Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, góc DOE = 90°, OC = 3R: tính CD, CE
• Trong các số sau, số nào là căn bậc hai số học của 9?
• Tam giác đều cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R: R bằng bao nhiêu?
• Cho hàm số y = ax + b: khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến?