$a)$ Điền vào ô trống trong bảng sau ($S$ là diện tích hình tròn bán kính $R$).

$b)$ Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình tròn theo bán kính của nó.

$c)$ Diện tích hình tròn có tỉ lệ thuận với bán kính không?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

$a)$ 

$b)$ Vẽ đồ thị: 

$c)$ Diện tích hình tròn không tỉ lệ thuận với bán kính

$a)$ Điền vào ô trống trong bảng sau ($S$ là diện tích hình quạt $n^{\circ }$).

$b)$ Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình quạt theo $n^{\circ }$.

$c)$ Diện tích hình quạt có tỉ lệ thuận với số đo độ của cung không$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$ hay $S={\displaystyle \frac{lR}{2}}$

Lời giải:

$a)$  

$b)$ Vẽ đồ thị: 

$c)$ Diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo độ của cung tròn.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

+) Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

Gọi bán kính của hình tròn là $R,$ diện tích là $S.$

Ta có: $C=2\pi R$

$\Rightarrow R={\displaystyle \frac{C}{2\pi }}$

$S=\pi R^2=\pi .{\left({\displaystyle \frac{C}{2\pi }}\right)}^2$

$=\pi .{\displaystyle \frac{C^2}{4{\pi }^2}=\frac{C^2}{4\pi }}$ (đơn vị diện tích)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

Hình để trắng là nửa hình tròn có đường kính $4cm$ nên bán kính bằng $2cm$ có diện tích:

$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}\pi {.2}^2=2\pi }$ $(c{m}^2)$

Diện tích ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ hình tròn có bán kính $4cm:$

$S={\displaystyle \frac{1}{4}\pi {.4}^2=4\pi }$ $(c{m}^2)$

Diện tích phần gạch sọc:

$S_2=S-S_1=4\pi -2\pi =2\pi$ $(c{m}^2)$

Vậy:$S_1=S_2$ 

$a)$ Vẽ đường xoắn $(h.11)$ xuất phát từ một hình vuông cạnh $1cm.$ Nói cách vẽ.

$b)$ Tính diện tích hình gạch sọc.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

$a)$

- Vẽ hình vuông $ABCD$ có cạnh $1cm$

- Vẽ cung đường tròn tâm $A$ bán kính $1cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{DE}$

- Vẽ cung đường tròn tâm $B$ bán kính $2cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{EF}$

- Vẽ cung đường tròn tâm $C$ bán kính $3cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{FG}$

- Vẽ cung đường tròn tâm $D$ bán kính $4cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{GH}$

$b)$ Tính diện tích phần gạch sọc.

Diện tích hình quạt $DAE={\displaystyle \frac{1}{4}\pi {.1}^2}$

Diện tích hình quạt $EBF={\displaystyle \frac{1}{4}\pi {.2}^2}$

Diện tích hình quạt $FCG={\displaystyle \frac{1}{4}\pi {.3}^2}$

Diện tích phần gạch sọc:

$S={\displaystyle \frac{1}{4}\pi \left(1^2+2^2+3^2+4^2\right)}$$={\displaystyle \frac{15}{2}(c{m}^2)}$

$a)$ Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiều nếu diện tích mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới$?$

$b)$ Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiêu nếu chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

$a)$ Gọi kích thước thứ $2$ của hình chữ nhật là $x(cm),$ điều kiện: $x>0$

Ta có: $1,2.x+\pi {\left(0,6\right)}^2=2.\pi {\left(0,6\right)}^2$

$\Rightarrow 1,2.x=\pi .{\left(0,6\right)}^2$

$x={\displaystyle \frac{\pi .0,36}{2}\approx 0,942}$ $(m)$

$b)$  Gọi kích thước thứ $2$ của hình chữ nhật là $x(cm),$ điều kiện: $x>0$ 

Chu vi mặt bàn mới là $1,2.\pi +2x$

Theo bài ra ta có: $1,2\pi .2x=2.1,2\pi$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1,2\pi }{2}\approx 1,885}$ $(m)$

Ta sử dụng kiến thức:

+) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Từ dãy tỉ số bằng nhau  ${\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{c}{d}={\displaystyle \frac{e}{f}}}}$ ta suy ra: ${\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{c}{d}={\displaystyle \frac{e}{f}={\displaystyle \frac{a+c+e}{b+d+f}.}}}}$

+) Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$.

Lời giải:

Gọi số đo độ của $3$ cung theo thứ tự là $a,b,c$ $(0<a,b,c<360)$

Ta có  $a+b+c={360}^{\circ }$

Theo bài ra ta có:

${\displaystyle \frac{a}{3}={\displaystyle \frac{b}{4}={\displaystyle \frac{c}{5}}}}$$={\displaystyle \frac{a+b+c}{3+4+5}={\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{12}={30}^{\circ }}}$

$a=3.{30}^{\circ }={90}^{\circ };$

$b=4.{30}^{\circ }={120}^{\circ };$

$c=5.{30}^{\circ }={150}^{\circ }$

Diện tích các hình quạt tương ứng với cung ${90}^{\circ },{120}^{\circ },{150}^{\circ }$ là $S_1,S_2,S_3$

$S_1={\displaystyle \frac{\pi R^2.90}{360}=\frac{\pi R^2}{4}}$

$S_2={\displaystyle \frac{\pi R^2.120}{360}=\frac{\pi R^2}{3}}$

$S_3={\displaystyle \frac{\pi R^2.150}{360}=\frac{5\pi R^2}{12}}$

$a)$ Tính diện tích hình quạt tròn $AOB$ (ứng với cung nhỏ $AB$)

$b)$ Tính diện tích hình viên phân $AmB$ (ứng với cung nhỏ $AB$)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$.

Lời giải:

$a)$ Xét đường tròn $(O)$ có $\hat{C}={45}^{\circ }$  $(gt)$ là g

óc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AmB}$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AmB}=2.\hat{C}$$={2.45}^0={90}^{\circ }$

Diện tích hình quạt $AOB$ là:

$S={\displaystyle \frac{\pi R^2.90}{360}={\displaystyle \frac{\pi R^2}{4}}}$ (đơn vị diện tích)

$b)$ $\widehat{AOB}=sđ\stackrel{⏜}{AmB}={90}^0$

$\Rightarrow OA\mathrm{\perp }OB$

Diện tích tam giác $OAB$ là: $S={\displaystyle \frac{1}{2}OA.OB={\displaystyle \frac{R^2}{2}}}$

Diện tích hình viên phân $AmB$ là:

$S_{qAOB}-S_{AOB}={\displaystyle \frac{\pi R^2}{4}-\frac{R^2}{2}}$$={\displaystyle \frac{R^2\left({\displaystyle \pi -2}\right)}{4}}$ (đơn vị diện tích)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$.

Lời giải:

Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích $3$ hình viên phân trừ diện tích tam giác đều $ABC.$

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$

$\Rightarrow OA=OB=OC$

Vì $∆ABC$ đều nên $AO,$ $BO,$ $CO$ là phân giác của các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C}$

$\widehat{OAC}=\widehat{OCA}={\displaystyle \frac{{60}^{\circ }}{2}={30}^{\circ }}$

$\widehat{AOC}={180}^{\circ }-\left({30}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={120}^{\circ }$

Trong tam giác $O^{\prime }HA$ có $\widehat{O^{\prime }HA}={90}^{\circ }$, $\widehat{H{O}^{\prime }A}={60}^{\circ }$

$AH=R.\sin \widehat{H{O}^{\prime }A}$$=R.\sin {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{R\sqrt{3}}{2}}$

$AC=2AH=R\sqrt{3}$

$\Rightarrow R={\displaystyle \frac{{\displaystyle AC}}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}}$

$S_{quạt}={\displaystyle \frac{\pi {\displaystyle {\left(\frac{{\displaystyle a\sqrt{3}}}{3}\right)}^2.120}}{360}}$

     $={\displaystyle \frac{\pi {\displaystyle \frac{{\displaystyle a^2}}{3}}}{3}=\frac{\pi a^2}{9}}$ (đơn vị diện tích)

$∆O^{\prime }HA$ có $\widehat{O^{\prime }HA}={90}^{\circ }$; $\widehat{H{O}^{\prime }A}={60}^{\circ }$

$O^{\prime }A=R.\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}}$

$S_{\mathrm{\Delta }{O}^{\prime }CA}={\displaystyle \frac{1}{2}{O}^{\prime }H.AC}$${\displaystyle =\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{6}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}}$ (đơn vị diện tích)

Diện tích hình viên phân:

$S_{vp}=S_{quạt}-S_{\mathrm{\Delta }{O}^{\prime }CA}$ $={\displaystyle \frac{\pi a^2}{9}-\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{4\pi a^2-3a^2\sqrt{3}}{36}}$

Diện tích tam giác đều $ABC$ cạnh $a:$  $S_{ABC}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$ (đơn vị diện tích)

Diện tích hình hoa thị là:

$S=3S_{vp}-S_{ABC}$$={\displaystyle 3.\frac{4\pi R^2-3a^2\sqrt{3}}{36}-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$

$={\displaystyle \frac{4\pi a^2-3a^2\sqrt{3}}{12}-\frac{3a^2\sqrt{3}}{12}}$

$={\displaystyle \frac{4\pi a^2-6a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{a^2}{6}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)}$ (đơn vị diện tích)

$a)$ Diện tích hình tròn $(O).$

$b)$ Tổng diện tích hai hình viên phân $AmH$ và $BnH$ (ứng với các cung nhỏ).

$c)$ Diện tích hình quạt tròn $AOH$ (ứng với cung nhỏ $AH$).

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác vuông, bình phương một cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

+) Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

$a)$ $∆ABC$ có $\hat{A}={90}^0$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow A{B}^2=2.\left(2+6\right)=16$

Suy ra $AB=4(cm)$

Diện tích hình tròn tâm $O$ là:

$S={\displaystyle \pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}$$={\displaystyle \pi {\left(\frac{4}{2}\right)}^2=4\pi }$ $(c{m}^2)$

$b)$ Trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$A{H}^2=HB.HC=2.6=12$

Suy ra $AH=2\sqrt{3}$ $(cm)$

$S_{\mathrm{\Delta }AHB}={\displaystyle \frac{1}{2}AH.BH}$$={\displaystyle \frac{1}{2}.2.2\sqrt{3}=2\sqrt{3}}$ $(c{m}^2)$

Tổng diện  tích hai hình viên phân $AmH$ và $BnH$ bằng diện tích nửa hình tròn tâm $O$ trừ diện tích $∆AHB$ nên tổng diện tích hai hình viên phân là:

$S=2\pi -2\sqrt{3}=2\left(\pi -\sqrt{3}\right)$ $(c{m}^2)$

$c)$ $∆BOH$ có $OB=OH=BH=2cm$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BOH$ đều

$\Rightarrow \hat{B}={60}^0$

$\hat{B}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AmH}}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AmH}$ $=2\hat{B}={120}^0$

$S_{qAOH}={\displaystyle \frac{\pi {.2}^2.120}{360}={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}}$  $(c{m}^2)$

Bài tập bổ sung (trang 113 SBT Toán 9)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

Hình đó gồm nửa hình tròn bán kính $5R,$ $3$ nửa hình tròn bán kính $R$ và bớt đi $2$ nửa hình tròn bán kính $R.$

$S={\displaystyle \frac{\pi {\left(5R\right)}^2}{2}+3.\frac{\pi R^2}{2}-2.\frac{\pi R^2}{2}}$

$={\displaystyle \frac{25R^2\pi }{2}+\frac{\pi R^2}{2}}$

$={\displaystyle \frac{26\pi R^2}{2}=13\pi R^2}$ (đơn vị diện tích)