Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 1; 11; 13; 15; 17; 21

Trả lời nhanh

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 1; 11; 13; 15; 17; 21 là R = 21 − 1 = 20. Khoảng biến thiên bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu. Trong mẫu này, giá trị lớn nhất là 21 và giá trị nhỏ nhất là 1, nên các số liệu trải rộng trong một đoạn dài 20 đơn vị.

Khoảng biến thiên là gì?

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu, kí hiệu R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:

R = x_max − x_min

Số R cho biết các số liệu “giãn” rộng đến mức nào. R càng lớn, mẫu càng phân tán; R càng nhỏ, các số liệu càng tập trung.

Lời giải chi tiết

Quan sát mẫu: 1; 11; 13; 15; 17; 21. Mẫu đã được sắp xếp tăng dần.
Giá trị nhỏ nhất là x_min = 1, giá trị lớn nhất là x_max = 21.
Khoảng biến thiên R = 21 − 1 = 20.

Trục số minh hoạ khoảng biến thiên của mẫu số liệu 1; 11; 13; 15; 17; 21 — Hình 1. Khoảng biến thiên là độ dài đoạn từ giá trị nhỏ nhất (1) đến giá trị lớn nhất (21).

Tìm thêm khoảng tứ phân vị của mẫu

Khoảng biến thiên chỉ dựa vào hai số ở hai đầu nên bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị bất thường. Để so sánh, ta tính thêm khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ − Q₁.

Mẫu có 6 số, trung vị Q₂ = (13 + 15) : 2 = 14.
Nửa dưới: 1; 11; 13, nên Q₁ = 11.
Nửa trên: 15; 17; 21, nên Q₃ = 17.
Khoảng tứ phân vị Δ_Q = 17 − 11 = 6.

Khoảng tứ phân vị (6) nhỏ hơn nhiều so với khoảng biến thiên (20). Điều này cho thấy phần lớn số liệu nằm khá gần nhau, còn giá trị 1 nằm xa hẳn nhóm còn lại.

Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Số trung bình: x̄ = (1 + 11 + 13 + 15 + 17 + 21) : 6 = 78 : 6 = 13.

x_i	1	11	13	15	17	21
x_i − x̄	−12	−2	0	2	4	8
(x_i − x̄)²	144	4	0	4	16	64

Phương sai: s² = (144 + 4 + 0 + 4 + 16 + 64) : 6 = 232 : 6 ≈ 38,67. Độ lệch chuẩn: s ≈ √38,67 ≈ 6,22.

Số liệu bất thường ảnh hưởng thế nào?

Giá trị 1 ở mẫu này lệch xa các giá trị còn lại, được gọi là giá trị bất thường (ngoại lệ). Nếu bỏ giá trị này, mẫu còn 11; 13; 15; 17; 21 thì khoảng biến thiên chỉ còn 21 − 11 = 10, giảm đi một nửa. Điều đó cho thấy khoảng biến thiên rất nhạy với giá trị ngoại lệ, còn khoảng tứ phân vị bền vững hơn.

Khi nào dùng số đặc trưng nào?

Số đặc trưng	Ưu điểm	Hạn chế
Khoảng biến thiên R	Tính nhanh, dễ hiểu	Chỉ dùng hai giá trị đầu mút, nhạy với ngoại lệ
Khoảng tứ phân vị Δ_Q	Không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ	Bỏ qua 25% số liệu ở mỗi đầu
Phương sai, độ lệch chuẩn	Dùng mọi giá trị của mẫu	Tính phức tạp hơn, bị ảnh hưởng bởi ngoại lệ

Lỗi sai thường gặp

Lấy giá trị lớn trừ giá trị cuối cùng của dãy khi mẫu chưa được sắp xếp. Cần xác định đúng giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Cộng thay vì trừ: 21 + 1 = 22 là sai.
Nhầm khoảng biến thiên với khoảng tứ phân vị hoặc với độ lệch chuẩn.
Quên đơn vị (nếu số liệu có đơn vị đo) khi viết đáp số.

Bài luyện tập

Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu 4; 9; 2; 15; 7.
Đáp án: x_max = 15, x_min = 2, nên R = 13.
Điểm kiểm tra của tổ 1: 6; 7; 7; 8; 9; điểm của tổ 2: 3; 5; 8; 9; 10. Tổ nào có điểm phân tán hơn theo khoảng biến thiên?
Đáp án: Tổ 1 có R = 9 − 6 = 3, tổ 2 có R = 10 − 3 = 7, nên tổ 2 phân tán hơn.
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14.
Đáp án: Q₂ = 8, Q₁ = 4, Q₃ = 12, nên Δ_Q = 8.

Câu hỏi thường gặp

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là gì?

Là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu: R = x_max − x_min.

Khoảng biến thiên của mẫu 1; 11; 13; 15; 17; 21 bằng bao nhiêu?

R = 21 − 1 = 20.

Vì sao khoảng biến thiên nhạy với giá trị bất thường?

Vì nó chỉ dựa vào giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Chỉ một giá trị ngoại lệ ở đầu mút cũng làm R thay đổi rất nhiều.

Khoảng tứ phân vị của mẫu trên là bao nhiêu?

Q1 = 11, Q3 = 17 nên khoảng tứ phân vị Δ_Q = 6.