Giải SBT Toán 10 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 21-11-2022 Lớp 10

630

Với lời giải SBT Toán 10 trang 49 Tập 2 chi tiết trong Bài tập cuối chương 7 sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7

Bài 7.49 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng $k : \{\begin{matrix} x = - 1 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \end{matrix}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là

A. trùng nhau;

B. song song;

C. cắt nhau nhưng không vuông góc;

D. vuông góc.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng $k : \{\begin{matrix} x = - 1 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \end{matrix}$ có vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương lần lượt là: $\vec{n_{d}} = (4; 3)$ , $\vec{u_{k}} = (3; - 4)$

Do đó, đường thẳng k có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{k}} = (4; 3)$ .

Do đó, $\vec{n_{d}} = \vec{n_{k}}$ nên d và k hoặc song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm $(1; - \frac{2}{3})$ thuộc đường thẳng d.

Thay x = 1, y = $- \frac{2}{3}$ vào phương trình tham số của đường thẳng k ta có:

$\{\begin{matrix} 1 = - 1 + 3 t \\ - \frac{2}{3} = 2 - 4 t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = \frac{2}{3} \\ t = \frac{2}{3} \end{cases}$

Do đó, $(1; - \frac{2}{3})$ cũng thuộc vào đường thẳng k

Vậy d và k trùng nhau.

Bài 7.50 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M(8; 0) và có tiêu cự bằng 6 là

A. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{28} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{73} = 1$ ;

D. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{55} = 1$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0

Elip (E) đi qua điểm M(8; 0) nên ta có:

$\frac{8^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇔ a²= 8² = 64

Mà tiêu cự là 2c = 6 ⇔ c = 3

Ta có: $c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow b^{2} = a^{2} - c^{2} = 64 - 3^{2} = 55$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{55} = 1$ .

Bài 7.51 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm I(1; – 1) và đường thẳng d: x – y + 2 = 0. Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là

A. (x – 1)² + (y + 1)² = 4;

B. (x + 1)² + (y – 1)² = 4;

C. (x – 1)² + (y + 1)² = 8;

D. (x + 1)² + (y – 1)² = 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d nên ta có bán kính

R = d(I, d) = $\frac{|1 - (- 1) + 2|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$

Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

(x – 1)² + (y + 1)² = ( $2 \sqrt{2}$ )²

⇔ (x – 1)² + (y + 1)² = 8.

Bài 7.52 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là $\sqrt{2}$ là

A. x + y + 1 = 0 và x + y + 3 = 0;

B. x – y – 1 = 0;

C. x – y + 3 = 0;

D. x – y + 3 = 0 và x – y – 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: (không có đáp án phù hợp)

Phương trình đường thẳng song song với d có dạng là: d’: x – y + c = 0 với c ≠ 3

Chọn điểm A(1; 4) thuộc đường thẳng d

Do d’ // d và d’ cách d một khoảng là $\sqrt{2}$ nên ta có:

d(A, d’) = $\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|1 - 4 + c|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \sqrt{2}$

⇔ |c – 3| = 2 (*)

TH1: c – 3 ≥ 0 hay c ≥ 3

(*) ⇔ c – 3 = 2 ⇔ c = 5 (thỏa mãn)

TH2: c – 3 < 0 hay c < 3

(*) ⇔ –c + 3 = 2 ⇔ c = 1 (thỏa mãn)

Với c = 5 ta có, d’: x – y + 5 = 0.

Với c = 1 ta có, d’: x – y + 1 = 0.

Bài 7.53 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(–3; 2) và vectơ $\vec{u} = (2; - 5) .$ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và nhận $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương.

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(–3; 2)và nhận $\vec{u} = (2; - 5)$

là một vectơ chỉ phương là $\{\begin{matrix} x = - 3 + 2. t \\ y = 2 + (- 5) . t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 3 + 2 t \\ y = 2 - 5 t \end{matrix}$ .

Bài 7.54 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm N(2; –1) và vectơ $\vec{n} = (3; - 1)$ .Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến.

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến là:

3(x – 2) – 1(y + 1) = 0

⇔ 3x – y – 6 – 1 = 0

⇔ 3x – y – 7 = 0.

Bài 7.55 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC với A(1; –1), B(3; 5), C(–2; 4).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

Lời giải:

Ta có $\vec{A B} = (2; 6)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên vectơ $\vec{u} = (1; 3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của AB.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; –1) và nhận $\vec{u} = (1; 3)$ là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 + 3 t \end{matrix}$ .

Do AH vuông góc với BC nên $\vec{B C} = (- 5; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; –1) nhận $\vec{n} = - \vec{B C} = (5; 1)$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 1(y + 1) = 0

⇔ 5x – 5 + y + 1 = 0

⇔ 5x + y – 4 = 0.

Đường thẳng BC nhận vectơ $\vec{B C} = (- 5; - 1)$ là một vectơ chỉ phương nên BC nhận $\vec{n'} = (1; - 5)$ là một vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình đường thẳng BC là:

1(x – 3) – 5(y – 5) = 0

⇔ x – 3 – 5y + 25 = 0

⇔ x – 5y + 22 = 0.

Khoảng cách từ điểm A(1; –1) đến đường thẳng BC là

$d (A, B C) = \frac{|1 - 5. (- 1) + 22|}{\sqrt{1^{2} + {(- 5)}^{2}}} = \frac{14 \sqrt{26}}{13}$ .

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC có hai vectơ chỉ phương lần lượt là: $\vec{A B} = (2; 6), \vec{A C} = (- 3; 5) .$

Khi đó

$\cos α = |\cos (\vec{A B}, \vec{A C})| = \frac{|\vec{A B} . \vec{A C}|}{|\vec{A B}| . |\vec{A C}|} = \frac{|2. (- 3) + 6.5|}{\sqrt{2^{2} + 6^{2}} . \sqrt{{(- 3)}^{2} + 5^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{85}}$