Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 22: Ba đường conic

Giải SBT Toán 10 trang 46 Tập 2

Bài 7.28 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$  của (E) ta có

$\left\{\begin{array}{c}{a}^2=36\\ b^2=16\end{array}\right.\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{5}$

Vậy (E) có hai tiêu điểm là: $F_1\left(-2\sqrt{5};0\right),F_2\left(2\sqrt{5};0\right)$ và có tiêu cự là: $2c=4\sqrt{5}$ .

Bài 7.29 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hypebol (H) có phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$  của (H) ta có

$\left\{\begin{array}{c}{a}^2=16\\ b^2=20\end{array}\right.\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=6$

Vậy (H) có hai tiêu điểm là F₁ (–6; 0), F₂(6; 0) và có tiêu cự là 2c = 12.

Bài 7.30 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc y² = 4x của (P) ta có:

2p = 4 ⇔ p = 2 ⇔ $\frac{p}{2}=1$  .

Vậy (P) có tiêu điểm là F(1; 0) và có đường chuẩn là Δ: x = –1.

Bài 7.31 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (E) có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (trong đó a > b > 0)

Vì (E) đi qua điểm A(6; 0) nên ta có $\frac{6^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$  ⇔ a² = 6² 

Do (E) có tiêu cự là 2c = 8 nên ta có c = 4 ⇒ b² = a² – c² = 6² – 4² = 20.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ .

Bài 7.32 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};-4\right)$ và có một tiêu điểm là F₂(5; 0).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$   (trong đó a, b > 0)

Do (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có:

c = 5 ⇒ b² + a² = c² = 25 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};4\right)$ nên ta có

$\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}{a^2}-\frac{4^2}{b^2}=1\iff \frac{18}{a^2}-\frac{16}{b^2}=1$            (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t. Thay vào (1) ta được

$\frac{18}{25-t}-\frac{16}{t}=1$

⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t²

⇔ t² + 9t – 400 = 0

⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)

Do đó, b² = t = 16, a² = 25 – t = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ .

Bài 7.33 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y² = 2px, trong đó p > 0.

Vì (P) có đường chuẩn là Δ: x + 4 = 0 ⇔ x = –4 ⇔ –p : 2 = –4 ⇔ p = 8

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 16x.

Gọi M (x₀; y₀).

Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M, Δ) = MF = 5 với F là tiêu điểm của (P) và F(4; 0).

$\iff \frac{\left|x_0+4\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5$

⇔ |x₀ + 4| = 5 (*)

TH1: x₀ + 4 ≥ 0 hay x₀ ≥ –4

 (*) ⇔  x₀ + 4 = 5  ⇔ x₀ = 1 (thỏa mãn)

TH2: x₀ + 4 < 0 hay x₀ < –4

 (*) ⇔  –x₀ – 4 = 5  ⇔ x₀ = –9 (thỏa mãn)

Với x₀ = –9, thay vào phương trình của (P) ta được y₀² = 16.(–9) = –144 < 0 (không thể tồn tại)

Với x₀ = 1, thay vào phương trình của (P) ta được y₀² = 16.1 = 16 ⇔ y₀  = ±4

Vậy M(1; 4) hoặc M(1; –4).

Bài 7.34 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình là y² = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của (P) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Lời giải:

Gọi vectơ chỉ phương của Δ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(a;b\right)$ . Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là

$\left\{\begin{array}{c}x=4+at\\ y=0+bt=bt\end{array}\right.$.

Toạ độ giao điểm của Δ và (P) ứng với thoả mãn phương trình

(bt)² =16 . (4 + at) ⇔ b²t² – 16at – 64 = 0. (1)

Phương trình (1) có Δ’ = 64a² + 64b² > 0 (do b ≠ 0), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi A(4 + at₁; bt₁), B(4 + at₂; bt₂), trong đó t₁, t₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Ta có

$d\left(A,Ox\right).d\left(B,Ox\right)=\frac{\left|b{t}_1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}.\frac{\left|b{t}_2\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|b^2.t_1{t}_2\right|$

Dựa vào phương trình (1). Theo định lí Vi–ét ta có: $t_1{t}_2=\frac{-64}{b^2}$ . Từ đó suy ra

$d\left(A,Ox\right).d\left(B,Ox\right)=\left|b^2.\frac{-64}{b^2}\right|=64$

Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

 Bài 7.35 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8 m thì có chiều rộng không quá 3 m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8 m có thể đi qua hầm được không?

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (trong đó a > b > 0).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên OA = 12 : 2 = 6 (m), do đó điểm A có tọa độ (6; 0).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên OB = 3 m, do đó điểm B có tọa độ (0; 3).

Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có:

$$\begin{gathered} \frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2=3^2=9 \\ \frac{6^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow a^2=6^2=36 \end{gathered}$$

Suy ra phương trình của (E) là

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe khoảng 3 : 2 = 1,5 m, tương ứng với x = 1,5. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox.

$\frac{{x_M}^2}{36}+\frac{{y_M}^2}{9}=1$

Suy ra: $y_M=3.\sqrt{1-\frac{x_M^2}{36}}=3.\sqrt{1-\frac{{\mathrm{1,5}}^2}{36}}\approx \mathrm{2,905}>\mathrm{2,8}$

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Giải SBT Toán 10 trang 47 Tập 2

Bài 7.36 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ .

a) Tính MF₁² – MF₂²  theo x₀; y₀. Từ đó tính MF₁, MF₂, theo x₀; y₀.

b) Tìm điểm M sao cho MF₂ = 2MF₁.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F₁; F₂ (tức là góc $\widehat{F_{1}M{F}_2}$ ) là lớn nhất ?

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, $a=\sqrt{2},c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{2-1}=1$.

(E) có hai tiêu điểm là F₁(–1; 0); F₂(1; 0).

a)

Ta có:

MF₁² = (x₀ + 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ + 1)² + y₀²

MF₂² = (x₀ – 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ – 1)² + y₀²

MF₁² – MF₂²  

= (x₀ + 1)² + y₀²  – [(x₀ – 1)² + y₀²]

= (x₀ + 1)²  – (x₀ – 1)²

= x₀²  + 2x₀ + 1 – (x₀²  – 2x₀ + 1)

= 4x₀.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF₁ + MF₂ = 2a = $2\sqrt{2}$  (1)  

Mà: (MF₁ – MF₂)(MF₁ + MF₂) = MF₁² – MF₂²  

 $\Rightarrow M{F}_1-M{F}_2=\frac{M{F}_1^2-M{F}_1^2}{M{F}_1+M{F}_2}=\frac{4x_0}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}{x}_0$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF₁ = $2\sqrt{2}$  + $\sqrt{2}{x}_0$

⇔ MF₁ =  $\sqrt{2}$ +  $\frac{x_0}{\sqrt{2}}$

⇒ MF₂ = $2\sqrt{2}-\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}$ .

b)

Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

$M{F}_2=2M{F}_1\iff \sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}=2\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)\iff \frac{3x_0}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\iff x_0=-\frac{2}{3}$

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{1}=1\iff y_0^2=1-\frac{x_0^2}{2}=1-\frac{{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}{2}=\frac{7}{9}\iff \left[\begin{array}{c}{y}_0=\frac{\sqrt{7}}{3}\\ y_0=-\frac{\sqrt{7}}{3}\end{array}\right.$

Vậy $M\left(-\frac{2}{3};\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$ hoặc $M\left(-\frac{2}{3};-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$ .

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF₁F₂, ta có

$\cos \widehat{F_{1}M{F}_2}=\frac{M{F}_1^2+M{F}_2^2-F_1{F}_2^2}{2.M{F}_1.M{F}_2}$

$=\frac{{\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}^2-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right).\left(\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{x_0^2}{4-x_0^2}$

Ta có: $\frac{x_0^2}{2}=1-y_0^2\le 1$  ⇔ 0 ≤ x₀² ≤ 2 ⇒ 4 – x₀² > 0.

Suy ra $\cos \widehat{F_{1}M{F}_2}\ge 0\Rightarrow \widehat{F_{1}M{F}_2}\le 90°$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₀ = 0 ⇒ y₀  = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.

Bài 7.37 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.

Lời giải:

Xét đường elip như hình vẽ:

Theo đề bài: Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Nên ta có:

2a = 768 800 và 2b = 767 640

Do đó, a = 384 400 và b = 383 820.

Từ đó suy ra $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{384400}^2-{383820}^2}\approx 21108$ .

Vì vậy,

Khoảng cách lớn nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là

a + c ≈ 384 400 + 21 108 = 405 508 (km)

Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là:

a – c ≈ 384 400 – 21 108 = 363 292 (km).

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Lý thuyết Ba đường conic

1. Elip

- Cho hai điểm cố định và phân biệt F₁, F₂. Đặt F₁F₂ = 2c > 0. Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm F₁, F₂ được gọi là hai tiêu điểm và F₁F₂ = 2c được gọi là tiêu cự của elip đó.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm, thì có phương trình

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với a > b > 0. (2)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2) đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm F₁( $-\sqrt{a^2-b^2}$; 0), F₂($\sqrt{a^2-b^2}$ ; 0), tiêu cự 2c = $2\sqrt{a^2-b^2}$ và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Hướng dẫn giải

Ta có a² = 9 ⇒ a = 3 (do a > 0) và b² = 4. Do đó $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$.

Khi đó hai tiêu điểm là F₁( $-\sqrt{5}$; 0); F₂( $\sqrt{5}$; 0). Tiêu cự F₁F₂ = 2c = $2\sqrt{5}$

Tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a = 2.3 = 6.

Vậy hai tiêu điểm của elip là F₁($-\sqrt{5}$; 0); F₂( $\sqrt{5}$; 0); tiêu cự F₁F₂ = $2\sqrt{5}$; tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 6.

2. Hypebol

- Cho hai điểm phân biệt cố định F₁ và F₂. Đặt F₁F₂ = 2c. Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ – MF₂| = 2a được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm F₁, F₂ được gọi là hai tiêu điểm và F₁F₂ = 2c được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Chú ý: Hypebol có hai nhánh, một nhánh gồm những điểm M thỏa mãn MF₁ – MF₂ = 2a và nhánh còn lại gồm những điểm M thỏa mãn MF₁ – MF₂ = – 2a (hay MF₂ – MF₁ = 2a).

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với a, b > 0. (4)

- Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm F₁( $-\sqrt{a^2+b^2}$; 0), F₂( $\sqrt{a^2+b^2}$; 0), tiêu cự 2c = $2\sqrt{a^2+b^2}$ và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol đó. Hiệu khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có a² = 4, b² = 9, nên $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

Do đó hypebol có hai tiêu điểm F₁ ($-\sqrt{13}$ ; 0), F₂ ($\sqrt{13}$ ; 0) và có tiêu cự F₁F₂ = 2c = $2\sqrt{13}$ .

Hiệu khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 2a = 2.2 = 4.

Vậy hypebol có hai tiêu điểm F₁( $-\sqrt{13}$; 0), F₂( $\sqrt{13}$; 0); tiêu cự F₁F₂ = $2\sqrt{13}$ ; hiệu khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 4.

3. Parabol

- Cho một điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và ∆ được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, ∆ được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến ∆ được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

- Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên ∆. Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình y² = 2px (với p > 0) (5)

Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P).

Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ và đường chuẩn ∆: $x=-\frac{p}{2}$

Ví dụ: Cho parabol (P): y² = 4x. Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn ∆ của (P).

Hướng dẫn giải

Ta có 2p = 4 nên p = 2 ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{2}{2}=1$

Khi đó parabol có tiêu điểm F(1; 0) và đường chuẩn ∆: $x=-\frac{p}{2}=-1$.

Vậy parabol có tiêu điểm F(1 ; 0) và đường chuẩn ∆: x = –1.

4. Một số ứng dụng của ba đường conic

* Tính chất quang học

Tương tự gương cầu lồi thường đặt ở những khúc đường cua, người ta cũng có những gương (lồi, lõm) elip, hypebol, parabol. Tia sáng gặp các gương này, đều được phản xạ theo một quy tắc được xác định rõ ràng bằng hình học, chẳng hạn:

- Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol (đối với các gương lõm elip, hypebol) sau khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia (tia phản xạ) nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.29).

- Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol (đối với các gương elip, hypebol lồi), khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.30).

- Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm khi gặp parabol sẽ bị hắt lại theo một tia vuông góc với đường chuẩn của parabol (H.7.31). Ngược lại, nếu tia tới vuông góc với đường chuẩn của parabol thì tia phản xạ sẽ đi qua tiêu điểm của parabol.

Tính chất quang học giúp ta nhận được ánh sáng mạnh hơn khi các tia sáng hội tụ và giúp ta đổi hướng ánh sáng khi cần. Ta cũng có điều tương tự đối với tín hiệu âm thanh, tín hiệu truyền từ vệ tinh.

* Một số ứng dụng

Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và trong cuộc sống, chẳng hạn:

+ Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là những hình ảnh về đường parabol;

+ Khi nghiêng cốc nước tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh sáng mặt trời, bóng của một quả bóng, nhìn chung là một elip;

+ Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường các nhánh hypebol;

+ Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol hay hypebol.

+ Trong vũ trụ bao la, ánh sáng đóng vai trò sứ giả truyền tin. Ánh sáng phát ra từ một thiên thể sẽ mang những thông tin về nơi nó xuất phát. Khi nhận được ánh sáng, các nhà khoa học sẽ dựa vào đó để nghiên cứu, khám phá thiên thể. Trong thiên văn học, các gương trong kính thiên văn (H.7.32a) giúp nhà khoa học nhận được hình ảnh quan sát rõ nét hơn, ánh sáng thu được có các chỉ số phân tích rõ hơn.

+ Ăng-ten vệ tinh parabol (H.7.32b) là thiết bị thu tín hiệu truyền về từ vệ tinh. Tín hiệu sau khi gặp parabol bị hắt lại và hội tụ về điểm thu được đặt tại tiêu điểm của parabol.

+ Đèn pha đáy parabol (H.7.32c) giúp ánh sáng có thể phát xa (chẳng hạn giúp đèn ô tô có thể chiếu xa). Ánh sáng xuất phát từ vị trí tiêu điểm của parabol, chiếu vào đáy đèn, các tia sáng bị hắt lại thành các tia sáng nằm trên các đường thẳng song song.

+ Trong y học, để tán sỏi thận, người ta có thể dùng chùm tia laser phát ra từ một tiêu điểm của gương elip để sau khi phản xạ sẽ hội tụ lại tiêu điểm còn lại cũng chính là vị trí sỏi.

+ Tháp giải nhiệt hình hypebol trong lò phản ứng hạt nhân hay trong nhà máy nhiệt điện có kiến trúc đảm bảo độ vững chãi, tiết kiệm nguyên vật liệu và giúp quá trình tỏa nhiệt được thuận lợi.

+ Bằng các quan sát và phân tích thiên văn, Johannes Kepler (1571 – 1630) đã đưa ra định luật nói rằng, các hành tinh trong hệ Mặt Trời chuyển động theo các quỹ đạo là các đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm.

Ví dụ: Gương elip trong một máy tán sỏi thận ứng với elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{484}+\frac{y^2}{84}=1$ (đơn vị cm)

Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình của elip $\frac{x^2}{484}+\frac{y^2}{84}=1$ ta có a² = 484, b² = 84.

Khi đó $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{484-84}=\sqrt{400}=20$ .

Tiêu cự của elip bằng 2c = 2.20 = 40.

Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán chính là tiêu cự của elip và bằng 40 cm.

Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 40 cm.