Với giải bài 16 trang 75 Toán lớp 8 chi tiết trong Bài 3: Hình thang cân giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 16 trang 75 sgk Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, các đường phân giác $BD,CE$ ($D\in AC,E\in AB$). Chứng minh rằng $BEDC$ là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Phương pháp giải: - Hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau.

- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau.

- Hai đường thẳng song song khi có cặp góc đồng vị bằng nhau. 

- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.

Lời giải:

$\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại $A$ (giả thiết)

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AB=AC\\ \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{array}$  (tính chất tam giác cân)

Vì $BD,CE$ lần lượt là phân giác của $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ (giả thiết) 

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\widehat{B_1}=\widehat{B_2}={\displaystyle \frac{\widehat{ABC}}{2}}\\ \widehat{C_1}=\widehat{C_2}={\displaystyle \frac{\widehat{ACB}}{2}}\end{array}$ (tính chất tia phân giác)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

 Xét $∆ABD$ và  $∆ACE$ có:

+) $AB=AC$ (chứng minh trên)

+) $\hat{A}$ chung

+) $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }ACE\left(g.c.g\right)$

$\Rightarrow A\mathrm{D}=A\mathrm{E}$ ($2$ cạnh tương ứng).

Ta có $AD=AE$ (chứng minh trên) nên  $∆ADE$ cân tại $A$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{A\mathrm{E}\mathrm{D}}=\widehat{AD\mathrm{E}}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $∆ADE$ có:  $\widehat{A\mathrm{E}\mathrm{D}}+\widehat{AD\mathrm{E}}+\hat{A}={180}^0$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\widehat{A\mathrm{E}\mathrm{D}}+\hat{A}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{A\mathrm{E}\mathrm{D}}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}\left(1\right)\end{array}$

Xét $∆ABC$ có: $\hat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}={180}^0$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{2ABC}+\hat{A}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{A\mathrm{E}\mathrm{D}}$ = $\widehat{ABC}$, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra $DE//BC$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó $BEDC$ là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$  (chứng minh trên)

Nên $BEDC$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Ta có:

$DE//BC\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{B_2}$ (so le trong)

Lại có $\widehat{B_2}$ = $\widehat{B_1}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{B_1}$ = $\widehat{D_1}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }EB\mathrm{D}$ cân tại $E$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow EB=E\mathrm{D}$ (tính chất tam giác cân).

Vậy $BEDC$ là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác: