Bài 5.15 trang 31 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

∆: $\frac{\mathrm{x}-2}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$ và ∆': $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3+\mathrm{t}\end{array}\right.$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (1; −1; 2) và $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}$ = (2; 1; 1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và ∆'.

Do đó, cos$\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}\right)$ = $\left|\cos \left(\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}.\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}\right|.\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right|}$

$=\frac{\left|1.2+1.(-1)+2.1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}$ = $\frac{1}{2}$.

⇒ $\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}\right)$ = 60°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 60°.

Bài 5.16 trang 32 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng ∆: $\frac{\mathrm{x}+3}{-2}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$ và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (−2; 1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

           $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (1; 2; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó: sin$\left(\mathrm{\Delta },\left(\mathrm{P}\right)\right)$ = $\left|\cos \left(\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\right)\right|$ = $\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}\right|.\left|\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\right|}$

$=\frac{\left|-2.1+1.2+2.(-2)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}.\sqrt{2^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}$ = $\frac{4}{9}$

⇒ $\left(\mathrm{\Delta },\left(\mathrm{P}\right)\right)$ ≈ 26,4°.

Bài 5.17 trang 32 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + y – z = 0.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$= (2; −1; 2), $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}$ = (1; 1; −1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Do đó: cos$\left(\left(\mathrm{P}\right),\left(\mathrm{Q}\right)\right)$ = $\left|\cos \left(\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}},\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}.\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\right|.\left|\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}\right|}$

                                 $=\frac{\left|2.1+\left(-1\right).1+2.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}.\sqrt{1^2+1^2+\left(-1^2\right)}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{9}$.

⇒ $\left(\left(\mathrm{P}\right),\left(\mathrm{Q}\right)\right)$ ≈ 78,9°.

Bài 5.18 trang 32 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=2+\sqrt{3}\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3+\mathrm{t}\end{array}\right.$.

a) Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (Oxy).

b) Tính góc giữa đường thẳng ∆ và trục Oy.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (0; $\sqrt{3}$; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

                $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ = (0; 0; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Do đó, $\sin \left(\mathrm{\Delta },\left(\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{y}\right)\right)$ = $\left|\cos \left(\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{\mathrm{k}}\right)\right|$ = $\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}.\overrightarrow{\mathrm{k}}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{k}}\right|}$

$=\frac{\left|0.0+\sqrt{3}.0+1.1\right|}{\sqrt{0^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$ = $\frac{1}{2}$.

⇒ $\left(\mathrm{\Delta },\left(\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{y}\right)\right)$ = 30°.

Bài 5.19 trang 32 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Oy.Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm A(0; 2; 0) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = (1; 4; 1). Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng ∆ đi qua A nhận $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = (1; 4; 1) làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng ∆ là: $\frac{\mathrm{x}}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{4}=\frac{\mathrm{z}}{1}$.

Một vectơ chỉ phương của trục Oy là $\overrightarrow{\mathrm{j}}$ = (0; 1; 0).

Ta có: cos(∆, Oy) = $\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}.\overrightarrow{\mathrm{j}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{j}}\right|}$ 

                            = $\frac{\left|1.0+4.1+1.0\right|}{\sqrt{1^2+4^2+1^2}.\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

⇒ (∆, Oy) ≈ 19,5°.

Bài 5.20 trang 32 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng:

∆₁: $\frac{\mathrm{x}-2}{1}=\frac{\mathrm{y}+1}{2}=\frac{\mathrm{z}}{1}$ và ∆₂: $\frac{\mathrm{x}+1}{3}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$.

a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁ qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1}$ = (1; 2; 1).

Đường thẳng ∆₂ qua điểm B(−1; 2; −1) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}$ = (3; 1; 4).

a) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (−3; 3; −1), $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}\right]$ = (7; −1; −5).

⇒ $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}\right].\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = −19 ≠ 0.

Suy ra ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.

b) Ta có: cos(∆₁, ∆₂) = $\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1}\right|.\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}\right|}$

                                  $=\frac{\left|1.3+2.1+1.4\right|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}.\sqrt{3^2+1^2+4^2}}$ = $\frac{9}{\sqrt{156}}$.

⇒ (∆₁, ∆₂) ≈ 43,9°.

Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian