Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 1: Đường tròn sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Đường tròn

Bài 1 trang 84 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh bốn đỉnh của hình vuông ABCD có cạnh bằng 16 cm đều nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn này.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD, khi đó O là trung điểm của AC và BD, nên OA = OB = OC = OD = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A ta có:

$BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=\sqrt{{16}^2+{16}^2}=\sqrt{2\cdot {16}^2}=16\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}).$

Do đó $OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}\cdot 16\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}).$

Suy ra bốn đỉnh của hình vuông ABCD đều nằm trên đường tròn $\left(O;8\sqrt{2} \text{cm}\right).$

Bài 2 trang 84 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm và có BH, CK là hai đường cao.

Chứng minh:

a) Bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên đường tròn (O; R).

b) Điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R).

Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó, $OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Do BH và CK là đường cao tam giác ABC nên BH ⊥ AC tại H; CK ⊥ AB tại K

Suy ra tam giác BHC vuông tại H; tam giác BKC vuông tại K

Xét tam giác BKC vuông tại H có KO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên $KO=\frac{1}{2}BC.$

Chứng minh tương tự đối với ∆BKC vuông tại K, ta có $HO=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra $KO=OH=OB=OC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}).$

Tứ giác BKHC có: OB = OK = OH = OC = 5 cm nên bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên đường tròn (O; R) với R = 5 cm.

b) Xét ∆ABC cân tại A (do AB = AC) có AO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, suy ra ∆ABO vuông tại O.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AOB vuông tại O, ta có:

$OA=\sqrt{B{A}^2-O{B}^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{144}=12\left(\text{cm}\right).$

Vì 12 > 5 nên OA > R, suy ra điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R).

Bài 3 trang 85 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) trong mỗi trường hợp sau:

a) OO’ = 7, R = 29, R’ = 4;

b) OO’ = 21, R = 44, R’ = 23;

c) OO’ = 15, R = 7, R’ = 8;

d) OO’ = 6, R = 24, R’ = 20.

Lời giải:

a) Ta có: 7 < 29 – 4 nên OO’ < R – R’, suy ra đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O’; R’).

b) Ta có: 21 = 44 – 23 nên OO’ = R – R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong.

c) Ta có: 15 = 7 + 8 nên OO’ = R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài.

d) Ta có: 24 – 20 < 6 < 24 + 20 nên R – R’ < OO’ < R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau.

Bài 4 trang 85 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 8 cm) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn thoả mãn AB = 6 cm. Vẽ đường kính MN sao cho hai đoạn thẳng MN và AB không có điểm chung. Gọi A’, B’ lần lượt là hai điểm đối xứng với A, B qua MN. Chứng minh:

a) ABB’A’ là hình thang cân.

b) Bốn điểm A, B, B’, A’ cùng nằm trên đường tròn (O; 8 cm).

Lời giải:

a) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của MN với AA’, BB’.

Do A’, B’ lần lượt là hai điểm đối xứng với A, B qua MN nên AA’ ⊥ MN tại I, IA = IA’ và BB’ ⊥ MN tại J, JB = JB’.

Xét ∆AIJ và ∆A’IJ, có:

$\widehat{AIJ}=\widehat{A^{\text{'}}IJ}=90°,$ IA = IA’, cạnh IJ chung

Do đó ∆AIJ  = ∆A’IJ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AJ = A’J và $\widehat{\text{AJI}}=\widehat{A^{\text{'}}JI}$ (các cặp cạnh và góc tương ứng).

Ta có: $\widehat{\text{AJI}}+\widehat{BJA}=90°;\widehat{A^{\text{'}}JI}+\widehat{A^{\text{'}}J{B}^{\text{'}}}=90°$ và $\widehat{\text{AJI}}=\widehat{A^{\text{'}}JI}$  nên $\widehat{BJA}=\widehat{A^{\text{'}}J{B}^{\text{'}}}.$

Xét ∆ABJ và ∆A’B’J, có:

JB = JB’,$\widehat{BJA}=\widehat{A^{\text{'}}J{B}^{\text{'}}},$  AJ = A’J

Do đó ∆ABJ = ∆A’B’J (c.g.c), suy ra $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}.$

Ta có AA’ // BB’ (cùng vuông góc với MN) nên ABB’A’ là hình thang, lại có $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ nên ABB’A’ là hình thang cân.

b) Ta có MN là trục đối xứng của đường tròn (O; 8 cm), A, B đã thuộc đường tròn (O; 8 cm) suy ra A’, B’ là hai điểm đối xứng với A, B qua MN nên cũng thuộc đường tròn (O; 8 cm), suy ra bốn điểm A, B, B’, A’ cùng nằm trên đường tròn (O; 8 cm).

Bài 5 trang 85 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Cho biết AM = 1 cm, $CD=2\sqrt{3} \text{cm}.$ Tính:

a) Bán kính đường tròn (O).

b) Số đo $\widehat{CAB}.$

Lời giải:

a) Ta có đường kính AB là trục đối xứng của đường tròn (O)

Suy ra $MC=MD=\frac{CD}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \left(\text{cm}\right).$

Tam giác ABC có CO là đường trung tuyến và $CO=\frac{1}{2}AB,$ suy ra ABC là tam giác vuông tại C.

Do $\widehat{CAM}+\widehat{CBM}=90°;\widehat{CAM}+\widehat{ACM}=90°$ nên $\widehat{CBM}=\widehat{ACM}.$

Xét ∆CMB và ∆AMC có:

$\widehat{AMC}=\widehat{CMB}=90°$ và $\widehat{CBM}=\widehat{ACM}$

Do đó ∆CMB ᔕ ∆AMC (g.g).

Suy ra $\frac{MC}{MA}=\frac{MB}{MC},$ nên $MB=\frac{M{C}^2}{MA}=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{1}=3 \left(\text{cm}\right).$

Gọi R là bán kính đường tròn đường kính AB, khi đó AB = 2R.

Ta có AB = MA + MB = 1 + 3 = 4 = 2R, suy ra R = 2 cm.

b) Xét tam giác AMC vuông tại M, ta có:

$\tan \widehat{CAB}=\tan \widehat{CAM}=\frac{MC}{MA}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3},$ suy ra $\widehat{CAB}\approx 60°.$

Bài 6 trang 85 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai điểm A, B trên đường tròn (O; R). Cho biết AB = 9 cm và khoảng cách từ O đến đường thẳng AB là $OH=\frac{R}{2}.$

Tính:

a) Số đo $\widehat{OBH}.$

b) Bán kính R của đường tròn.

Lời giải:

a) Xét tam giác OHB vuông tại H, ta có:

$\sin \widehat{OBH}=\frac{OH}{OB}=\frac{\frac{R}{2}}{R}=\frac{1}{2},$ suy ra $\widehat{OBH}=30°.$

b) Xét tam giác AOB cân tại O (do OB = OA = R) có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, suy ra $HB=HA=\frac{AB}{2}=\frac{9}{2}=4,5\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}).$

Xét tam giác OHB vuông tại H, ta có:

$\cos \widehat{OBH}=\frac{BH}{OB},$ suy ra $OB=\frac{BH}{\cos \widehat{OBH}}=\frac{4,5}{\cos 30°}=\frac{4,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3\sqrt{3} \left(\text{cm}\right).$

Suy ra $R=OB=3\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}.$

Bài 7 trang 85 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn (O) và (O’) trong Hình 12.

Lời giải:

Vẽ đường thẳng d đi qua tâm O và O’ của hai đường tròn, ta có d là trục đối xứng của (O) và (O’), suy ra d là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn (O) và (O’).

Bài 8 trang 85 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm.

a) Vẽ các đường tròn tâm A, B, C, D bán kính 2 cm.

b) Nêu nhận xét về vị trí giữa các cặp đường tròn (A; 2 cm) và (B; 2 cm), (A; 2 cm) và (C; 2 cm).

Lời giải:

a)

b) Ta có AB = 4 = 2 + 2, suy ra cặp đường tròn (A; 2 cm) và (B; 2 cm) tiếp xúc ngoài.

Do ABCD là hình vuông nên AD = DC = 4 cm và $\widehat{ADC}=90°,$ áp dụng định lí Pythagore cho ∆ADC vuông tại D, ta có:

$AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}).$

Mà AC = $4\sqrt{2}$   > 2 + 2, suy ra cặp đường tròn (A; 2 cm) và (C; 2 cm) ở ngoài nhau.

Lý thuyết Đường tròn

1. Khái niệm đường tròn

Khi không cần chú ý đến bán kính, đường tròn (O;R) còn được kí hiệu là (O).

Vị trí tương đối của điểm và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và điểm M. Khi đó:

- Nếu OM = R thì điểm M nằm trên đường tròn hay M thuộc đường tròn;

- Nếu OM < R thì điểm M nằm trong đường tròn;

- Nếu OM > R thì điểm M nằm ngoài đường tròn.

2. Tính đối xứng của đường tròn

Ví dụ:

Hình tròn tâm I có:

I là tâm đối xứng;

Đường thẳng a, b là các trục đối xứng của hình tròn (I).

3. Đường kính và dây cung của đường tròn

Cho hai điểm C, D cùng thuộc một đường tròn. Đoạn thẳng CD gọi là dây cung hoặc dây. Đường kính AB  là một dây đi qua tâm.

Quan hệ giữa dây và đường kính

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Chú ý: Nếu OO’ = 0 thì O trùng với O’. Hai đường tròn có tâm trùng nhau gọi là hai đường tròn đồng tâm.

Bảng tóm tắt vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt (O;R) và (O’; R’) với $R\ge R^{\prime }$

Ví dụ 1: Cho OO’ = 5cm, khi đó hai đường tròn (O;4cm) và (O’;3cm) cắt nhau vì:

4cm – 3cm = 1cm < 5cm < 7cm = 4cm + 3cm.

Ví dụ 2: Cho OO’ = 5cm, khi đó hai đường tròn (O;3cm) và (O’;2cm) tiếp xúc ngoài với nhau vì 5cm = 3cm + 2cm.

Cho OO’ = 3cm, khi đó hai đường tròn (O;8cm) và (O’;5cm) tiếp xúc trong với nhau vì 3cm = 8cm - 5cm.

Ví dụ 3: Cho đường tròn (O;3cm) và (O’;4cm) có $O{O}^{\prime }>8cm$ thì $O{O}^{\prime }=8cm>3cm+4cm=R+R^{\prime }$ nên (O;3cm) và (O’;4cm) là hai đường tròn ngoài nhau.