Với giải Bài 5.24 trang 53 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 16: Công thức tính góc trong không gian giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Bài 5.24 trang 53 Toán 12 Tập 2: (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.

a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên).

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

40 cm = 0,4 m, 44 cm = 0,44 m, 48 cm = 0,48 m.

Khi đó ta có A(0; 1; 0,4), B(1; 1; 0,44), C(1; 0; 0,48).

Có $\overrightarrow{AB}=\left(1;0;\mathrm{0,04}\right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$\iff \left\{\begin{array}{l}1-x_D=1\\ -y_D=0\\ \mathrm{0,48}-z_D=\mathrm{0,04}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=0\\ y_D=0\\ z_D=\mathrm{0,44}\end{array}\right.$

Suy ra D(0; 0; 0,44).

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đáy bể là 44 cm.

b) Ta có đáy bể nằm trong mặt phẳng Oxy: z = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;0;\mathrm{0,04}\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(1;-1;\mathrm{0,08}\right)$, $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\mathrm{0,04};-\mathrm{0,04};-1\right)$

Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 1; 0,4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\mathrm{0,04};-\mathrm{0,04};-1\right)$ có phương trình là:

0,04x – 0,04(y – 1) – (z – 0,4) = 0 ⇔ 0,04x – 0,04y – z + 0,44 = 0.

Do đó góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy.

Có $\cos \left(\left(ABCD\right),\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{1}.\sqrt{{\mathrm{0,04}}^2+{\left(-\mathrm{0,04}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}$$=\frac{25}{\sqrt{627}}$

Suy ra ((ABCD), (Oxy)) ≈ 3,2°.