Với giải Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 16: Công thức tính góc trong không gian giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = $115\sqrt{2}$.

Xét tam giác SOB vuông tại O, có $SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{{219}^2-{\left(115\sqrt{2}\right)}^2}=7\sqrt{439}$

Ta có $A\left(-115\sqrt{2};0;0\right),B\left(0;-115\sqrt{2};0\right),C\left(115\sqrt{2};0;0\right),S\left(0;0;7\sqrt{439}\right)$

Ta có $\overrightarrow{SA}=\left(-115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right),\overrightarrow{SB}=\left(0;-115\sqrt{2};-7\sqrt{439}\right),$

$\overrightarrow{SC}=\left(115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right)$

Ta có $\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=$$\left(\left|\begin{array}{cc}0& -7\sqrt{439}\\ -115\sqrt{2}& -7\sqrt{439}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-7\sqrt{439}& -115\sqrt{2}\\ -7\sqrt{439}& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-115\sqrt{2}& 0\\ 0& -115\sqrt{2}\end{array}\right|\right)$

$=\left(-805\sqrt{878};-805\sqrt{878};26450\right)$

$\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-115\sqrt{2}& -7\sqrt{439}\\ 0& -7\sqrt{439}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-7\sqrt{439}& 0\\ -7\sqrt{439}& 115\sqrt{2}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}0& -115\sqrt{2}\\ 115\sqrt{2}& 0\end{array}\right|\right)$

$=\left(805\sqrt{878};-805\sqrt{878};26450\right)$

Mặt phẳng (SAB) nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=\left(-161\sqrt{878};-161\sqrt{878};5290\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(161\sqrt{878};-161\sqrt{878};5290\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l}\cos \left(\left(SAB\right),\left(SBC\right)\right)\\ =\frac{\left|-{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2\right|}{\sqrt{{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}.\sqrt{{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}}\end{array}$

$=\frac{{5290}^2}{{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}$$\approx \mathrm{0,3807}$

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.