Với giải Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Tích phân giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Tích phân

Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.

a) Tính S(3).

b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.

c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).

Lời giải:

a)

Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(3; 4), D(1; 2).

Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.

Do đó $S\left(3\right)=S_{ABCD}=\frac{\left(AD+BC\right).AB}{2}=\frac{\left(2+4\right).2}{2}=6$.

b)

Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).

Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.

Do đó $S\left(x\right)=S_{ABCD}=\frac{\left(AD+BC\right).AB}{2}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2}=\frac{x^2+2x-3}{2}$ , x ≥ 1.

c) Có $S^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{x^2+2x-3}{2}\right)}^{\text{'}}=\frac{2x+2}{2}=x+1=f\left(x\right)$.

Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên

$F\left(x\right)=\int \left(x+1\right)dx=\frac{x^2}{2}+x+C$.

Do đó $F\left(3\right)=\frac{3^2}{2}+3+C=\frac{15}{2}+C$; $F\left(1\right)=\frac{1^2}{2}+1+C=\frac{3}{2}+C$.

Suy ra $F\left(3\right)-F\left(1\right)=\frac{15}{2}+C-\left(\frac{3}{2}+C\right)=6=S\left(3\right)$.

Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).