Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 2: Tích phân sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Tích phân

Bài 1 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)dx$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{t}^2\left(5t^2-2\right)dt$

c) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)dx$

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(9x^2-4\right)dx$

$={\left.\left(3x^3-4x\right)\right|}_0^2$

= (3.2³ – 4.2) – (3.0³ – 4.0) = 16.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{t}^2\left(5t^2-2\right)dt=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(5t^4-2t^2\right)dt$

$={\left.\left(t^5-\frac{2}{3}{t}^3\right)\right|}_1^2$

$=\left(2^5-\frac{2}{3}{.2}^3\right)-\left(1^5-\frac{2}{3}{.1}^3\right)$

$=\frac{79}{3}$

c) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-8\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^4}{4}-8x\right)\right|}_{-1}^1=-16$

Bài 2 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1-2x}{x^2}dx$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{2}dx$

c) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}dx$

Lời giải:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1-2x}{x^2}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right)dx={\left.\left(-\frac{1}{x}-2\ln \left|x\right|\right)\right|}_1^2$

$=\left(-\frac{1}{2}-2\ln 2\right)-\left(-1-2\ln 1\right)=\frac{1}{2}-2\ln 2.$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{2}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x+\frac{1}{x}+2\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}+\ln \left|x\right|+2x\right)\right|}_1^2=\frac{7}{2}+\ln 2.$

c) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+2}dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\sqrt{x}-2\right)dx$

$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(x^{\frac{1}{2}}-2\right)dx={\left.\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x\right)\right|}_1^4=-\frac{4}{3}.$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{e}^{x-2}dx$

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2^x-1\right)}^{2}dx$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^{2x}-1}{e^x+1}dx$

Lời giải:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{e}^{x-2}dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{e^x}{e^2}dx$

$={\left.\frac{e^x}{e^2}\right|}_1^3=\frac{e^3}{e^2}-\frac{e}{e^2}=e-\frac{1}{e}$

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2^x-1\right)}^{2}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4^x-{2.2}^x+1\right)dx$

$={\left.\left(\frac{4^x}{\ln 4}-2.\frac{2^x}{\ln 2}+x\right)\right|}_0^1$ $=1-\frac{1}{2\ln 2}$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^{2x}-1}{e^x+1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\left(e^x+1\right)\left(e^x-1\right)}{e^x+1}dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-1\right)dx={\left.\left(e^x-x\right)\right|}_0^1=e-2$

Bài 4 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(2\cos x+1\right)dx$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+\cot x\right)\text{sinx}dx$

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\tan }^{2}xdx$

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(2\cos x+1\right)dx={\left.\left(2\sin x+x\right)\right|}_0^{\pi }$

$=\left(2\sin \pi +\pi \right)-\left(2\sin 0+0\right)=\pi .$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+\cot x\right)\text{sinx}dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+\frac{\cos x}{\mathrm{s}\text{inx}}\right)\text{sinx}dx$

$=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(\sin \text{x}+\cos x\right)dx$

$={\left.\left(-\cos x+\sin \text{x}\right)\right|}_0^{\pi }=2.$

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\tan }^{2}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$

$={\left.\left(\tan x-x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$=\left(\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)-\left(\tan 0-0\right)=1-\frac{\pi }{4}$

Bài 5 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}$, x > 0. Tính giá trị của f(4) − f(1).

Lời giải:

Ta có:

$f\left(4\right)-f\left(1\right)=\underset{1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\sqrt{x}-1}{x}dx$

$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}\right)dx$

$={\left.\left(2\sqrt{x}-\ln x\right)\right|}_1^4=2-2\ln 2.$

Vậy f(4) – f(1) = 2 – 2ln2.

Bài 6 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tính:

a) $A=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2\right)dx+4\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-1\right)dx$

b) $B=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(t^3-6t\right)dt$

Lời giải:

a) $A=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2\right)dx+4\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-1\right)dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2\right)dx+\underset{-1}{\overset{2}{\int }}4\left(x^2-1\right)dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2+4x^2-4\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}-4x\right)\right|}_{-1}^2=-\frac{21}{2}$

Vậy $A=-\frac{21}{2}$

b) $B=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(t^3-6t\right)dt$

$=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx={\left.\left(\frac{x^4}{4}-3x^2\right)\right|}_{-1}^1=0$

Bài 7 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=-2$; $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)dt=4$. Tính $\underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

Ta có: $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=4.$

Có: $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$

$\Rightarrow \underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 4 – (−2) = 6.

Vậy $\underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=6$

Bài 8 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+x-2\right|dx$

b) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-1\right|dx$

Lời giải:

a) Ta có: x² + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −2.

Ta có: x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 1] và x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Suy ra, $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+x-2\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[-\left(x^2+x-2\right)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-2\right)dx$

$={\left.-\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|}_{-1}^1+{\left.\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|}_1^2=\frac{31}{6}.$

b) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-1\right|dx$

Ta có: e^x – 1 = 0 ⇔ x = 0.

Ta có e^x – 1 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 0] và e^x – 1 ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 1].

Từ đó, $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-1\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(1-e^x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-1\right)dx$

$={\left.\left(x-e^x\right)\right|}_{-1}^0+{\left.\left(e^x-x\right)\right|}_0^1=e+\frac{1}{e}-2$

Bài 9 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = $\sqrt{4x+1}$. Từ đó, tính tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{4x+1}}dx$

Lời giải:

Ta có: F(x) = $\sqrt{4x+1}$

$F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}},x>-\frac{1}{4}$

Nhận thấy $\frac{1}{\sqrt{4x+1}}=\frac{F^{\text{'}}\left(x\right)}{2}$

Do đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{4x+1}}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{F^{\text{'}}\left(x\right)}{2}dx$

$=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{F}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.\frac{1}{2}F\left(x\right)\right|}_0^1$

$=\frac{1}{2}\left[F\left(1\right)-F\left(0\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1\right).$

Bài 10 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (−1; 3) và tiếp tuyến của đồ thị này tại mỗi điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x² – 4x + 1. Tìm f(2)

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có y = f(x) đi qua điểm (−1; 3) hay f(−1) = 3 và f'(x) = 3x² – 4x + 1.

Ta có: f(2) – f(−1) = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2-4x+1\right)dx$

                           $={\left.\left(x^3-2x^2+x\right)\right|}_{-1}^2=6$

Suy ra f(2) – f(−1) = 6 hay f(2) – 3 = 6 suy ra f(2) = 9.

Bài 11 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2,x\le \mathrm{1,}\\ \frac{1}{x},x>1.\end{array}\right.$

a) Chứng tỏ rằng hàn số f(x) liên tục trên ℝ.

b) Tính $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

a) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=1;f\left(x\right)=1$

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

b) Ta có: $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx$

$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_{-1}^1+{\left.\ln \left|x\right|\right|}_{-1}^2=\frac{2}{3}+\ln 2.$

Bài 12 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Một vật đang ở nhiệt độ 100℃ thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30℃. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc độ $T^{\text{'}}\left(t\right)=-140.e^{-2t}$ (℃/phút), trong đó T(t) là nhiệt độ tính theo ℃ tại thời điểm t phút kể từ khi được đặt trong môi trường. Xác định nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của ℃).

Lời giải:

Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{T}^{\text{'}}\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-140e^{-2t}\right)dt$

$=-140\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{-2}\right)}^{t}dt$

$={\left.\frac{-140e^{-2t}}{\ln e^{-2}}\right|}_0^3=70\left(e^{-6}-1\right)$

Theo đề, T(0) = 100℃.

Ta có: T(3) – T(0) = 70(e⁻⁶ – 1) ⇒ T(3) = 100 + 70(e⁻⁶ – 1) ≈ 30,2℃.

Vậy nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi đặt vào môi trường là 30,2℃.

Bài 13 trang 16 SBT Toán 12 Tập 2: Sau khi được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng, một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 20 – 10t (m/s) với 0 ≤ t ≤ 4

a) Xác định độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t = 3.

b) Tính quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu.

Lời giải:

a) Kí hiệu h(t) là độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 4).

Ta có:  h'(t) = v(t) và h(0) = 0.

Từ đó, $h\left(3\right)-h\left(0\right)=\underset{0}{\overset{3}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-10t\right)dt$

        $={\left.\left(20t-5t^2\right)\right|}_0^3=15\left(m\right).$

Suy ra h(3) = 15 + h(0) = 15 + 0 = 15 (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu là:

$s=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|v\left(t\right)\right|dt=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|20-10t\right|dt$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(20-10t\right)dt+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(10t-20\right)dt$

$={\left.\left(20t-5t^2\right)\right|}_0^2+{\left.\left(5t^2-20t\right)\right|}_0^2= 20 + 5 = 25 \left(m\right).$

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi

S = F(b) – F(a),

trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = 3^x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Hướng dẫn giải

Hàm số y = 3^x liên tục, dương trên đoạn [1; 2] và có một nguyên hàm là F(x) = $\frac{3^x}{\ln 3}$.

Do đó, diện tích hình thang cong cần tìm là:

S = F(2) – F(1) = $\frac{3^2}{\ln 3}-\frac{3^1}{\ln 3}=\frac{6}{\ln 3}$.

2. Khái niệm tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Hiệu số F(b) – F(a) còn được kí hiệu là ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b$.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$là dấu tích phân, a và b là cận tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

+ Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0và\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$.

+ Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$.

+ Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Vậy S = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:

a)$\underset{2}{\overset{3}{\int }}4xdx$;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}4xdx$$=2{\left.x^2\right|}_2^3$ = 2(3² – 2²) = 10. 

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$$={\left.e^x\right|}_0^1$= e¹ – e⁰ = e – 1.

Chú ý:

+ Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và f'(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì

f(b) – f(a) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

+ Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm (v(t) = s'(t)). Do đó, nếu biết tốc độ v(t) tại mọi thời điểm t ∈ [a; b] thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b theo công thức

s = s(b) – s(a) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(t\right)dt$.

Ví dụ 3. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = 20 – 4t (m/s) (0 ≤ t ≤ 5). Tính quãng đường xe di chuyển từ khi hãm phanh đến khi dừng hẳn.

Hướng dẫn giải

Xe dừng hẳn khi v(t) = 20 – 4t = 0 hay t = 5 (v(t) = 20 – 4t ≥ 0 với mọi t ∈ [0; 5]).

Vậy quãng đường ô tô di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là:

 $s=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(20-4t\right)dt={\left.\left(20t-2t^2\right)\right|}_0^5=50$ (m).

Nhận xét: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

3. Tính chất của tích phân

• Tính chất 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], k là số thực. Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Cho $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=2$. Tính $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}8f\left(x\right)dx$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}8f\left(x\right)dx=8\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=8\cdot 2=16$.

• Tính chất 2. Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x\right)dx$;

b) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{4}{{\sin }^{2}x}-\frac{\sqrt{3}}{{\cos }^{2}x}\right)dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx$$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^2+{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^2$

                       $=\left(\frac{8}{3}-0\right)+\left(\frac{4}{2}-0\right)=\frac{14}{3}$.

b) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{4}{{\sin }^{2}x}-\frac{\sqrt{3}}{{\cos }^{2}x}\right)dx$$=4\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx-\sqrt{3}\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$={\left.4\cdot \left(-\cot x\right)\right|}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}-\sqrt{3}\cdot {\left.\tan x\right|}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}$

$=-4\left(\cot \frac{\pi }{4}-\cot \frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}\left(\tan \frac{\pi }{4}-\tan \frac{\pi }{6}\right)$

$=-4\left(1-\sqrt{3}\right)-\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$=-3+3\sqrt{3}$.

• Tính chất 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], c ∈ (a; b). Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 6. Tính $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|x+1\right|dx$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|x+1\right|dx$$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left|x+1\right|dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|x+1\right|dx$

$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left(-x-1\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right)dx$

$=\left[\left(-\frac{1}{2}+1\right)-\left(-2+2\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$= $\frac{5}{2}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Tích phân

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian